Aritmetika Progresi adalah barisan bilangan di mana setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambahkan bilangan yang sama \(d\) (beda barisan). Setiap sukunya dapat ditemukan dengan rumus \(a_n = a_1 + (n-1)d\), dan jumlah n suku pertama dengan rumus \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Halaman ini membahas definisi dan beda, kedua rumus jumlah, sifat karakteristik, pemeriksaan keanggotaan bilangan dalam barisan, perbedaan dengan barisan geometri, soal-soal tipikal Ujian Nasional, dan pelatih interaktif untuk menguji diri sendiri.
Apa itu Aritmetika Progresi
Aritmetika Progresi adalah barisan bilangan di mana setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambahkan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut beda barisan dan dilambangkan dengan huruf \(d\).
Definisi dalam satu rumus: barisan \(a_1, a_2, a_3, \dots\) disebut barisan aritmetika jika untuk setiap nomor \(n\) berlaku kesamaan
Ambil barisan 3, 7, 11, 15, 19, … Suku pertama di sini \(a_1 = 3\), dan bedanya \(d = 4\): setiap bilangan berikutnya lebih besar dari sebelumnya tepat 4. Oleh karena itu, suku berikutnya adalah 23, dan sebelum tiga (jika dilanjutkan ke belakang) adalah satu dengan tanda minus.
Seluruh barisan ditentukan hanya oleh dua bilangan — suku pertama \(a_1\) dan beda \(d\). Mengetahui pasangan ini, Anda dapat menyebutkan suku mana pun, menghitung jumlah berapa pun dari suku-suku pertama, dan memeriksa apakah bilangan yang diberikan ada dalam barisan. Barisan dilambangkan dengan simbol \((a_n)\), dan suku-sukunya dengan \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), dan seterusnya, di mana indeks bawah selalu menunjukkan nomor, bukan nilai.
Beda barisan aritmetika: cara mencari d
Beda adalah selalu suku berikutnya dikurangi suku sebelumnya:
Urutan pengurangan penting: jika dikurangi sebaliknya, tanda beda akan berlawanan. Untuk barisan 20, 17, 14, 11, 8 bedanya adalah \(17 - 20 = -3\), bukan \(+3\).
Tanda \(d\) sepenuhnya menentukan perilaku barisan:
- \(d > 0\) — barisan naik, suku-suku bertambah;
- \(d < 0\) — barisan turun, suku-suku berkurang;
- \(d = 0\) — semua suku sama, misalnya 6, 6, 6, 6, … Ini juga barisan aritmetika, hanya saja konstan.
Jika diketahui dua suku dengan nomor berbeda, beda dicari dengan rumus
Contoh. Misalkan \(a_4 = 30\) dan \(a_{10} = 6\). Maka \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), dan suku pertama adalah \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Mari kita periksa awal barisan: 42, 38, 34, 30 — suku keempat memang 30.
Beda tidak harus bilangan bulat: barisan 1; 1,5; 2; 2,5 memiliki beda 0,5, dan ini adalah barisan aritmetika yang utuh.
Rumus suku ke-n barisan aritmetika
Rumus utama topik ini memungkinkan Anda menemukan suku mana pun tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya:
Dari mana datangnya \(n - 1\)? Untuk mencapai suku ke-n dari suku pertama, beda ditambahkan bukan \(n\) kali, tetapi satu kali lebih sedikit: ke suku kedua — satu langkah, ke suku ketiga — dua, ke suku kedua puluh — sembilan belas.
Contoh. Untuk barisan 3, 7, 11, 15, 19, … kita punya \(a_1 = 3\) dan \(d = 4\), jadi
Bentuk ringkas seperti ini sangat nyaman: langsung terlihat bahwa \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), dan \(a_{100} = 399\). Selain itu, ini menunjukkan bedanya: setiap barisan aritmetika memiliki rumus suku ke-n yang linier, berbentuk \(a_n = dn + c\), dan koefisien di depan \(n\) adalah bedanya.
Terkadang suku pertama tidak diketahui, tetapi suku lain diketahui. Maka ide yang sama berlaku dalam bentuk umum: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Sifat karakteristik barisan aritmetika
Setiap suku barisan, kecuali yang pertama, sama dengan rata-rata aritmetika dari suku-suku tetangganya:
Justru karena itulah barisan ini disebut aritmetika. Kesamaan ini juga berlaku sebaliknya: jika dalam suatu barisan setiap suku tengah sama dengan setengah jumlah tetangganya, maka barisan tersebut adalah barisan aritmetika. Pernyataan seperti itu disebut kriteria barisan aritmetika, dan dalam soal-soal digunakan untuk membuktikan bahwa tiga bilangan membentuk barisan.
Contoh. Bilangan 7, \(x\), 23 adalah tiga suku berurutan dari barisan. Maka \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Pemeriksaan: 7, 15, 23 — selisihnya 8 dan 8, semuanya cocok.
Bentuk penulisan yang nyaman dari sifat yang sama: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), yaitu dua kali suku tengah sama dengan jumlah suku ujung. Dalam bentuk ini, sifatnya lebih mudah diterapkan ketika suku-suku diberikan dalam ekspresi huruf.
Jumlah n suku pertama barisan aritmetika
Jumlah \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) dihitung menggunakan salah satu dari dua rumus:
Ide rumus pertama adalah yang sama, yang menurut legenda ditemukan oleh siswa Gauss saat menjumlahkan bilangan dari 1 hingga 100. Jika Anda menjumlahkan suku pertama dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua terakhir, dan seterusnya, semua pasangan akan menghasilkan jumlah yang sama. Dari sini \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Rumus kedua diperoleh dari rumus pertama dengan substitusi \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — ini diperlukan ketika suku terakhir tidak diketahui dan Anda tidak ingin menghitungnya secara terpisah.
Contoh. Mari kita cari jumlah dua puluh suku pertama dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, …
Menurut rumus pertama: \(a_{20} = 79\), jadi \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Menurut rumus kedua: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Hasilnya sama — ini adalah pemeriksaan terbaik untuk perhitungan.
Jawaban: Jumlahnya 820.
Cara mengetahui apakah suatu bilangan termasuk dalam barisan aritmetika
Pertanyaan 'apakah suatu bilangan merupakan suku barisan' diselesaikan dengan persamaan. Suatu bilangan termasuk dalam barisan jika dan hanya jika nomornya \(n\) adalah bilangan asli: 1, 2, 3, dan seterusnya. \(n\) yang berupa pecahan atau tidak positif berarti suku tersebut tidak ada.
Contoh 1. Apakah bilangan 99 termasuk dalam barisan 3, 7, 11, 15, 19, …? Rumus suku ke-n di sini adalah \(a_n = 4n - 1\), jadi kita selesaikan \(4n - 1 = 99\), dari mana \(4n = 100\) dan \(n = 25\). Nomornya bilangan asli — berarti 99 ada dalam barisan, itu adalah suku kedua puluh lima.
Contoh 2. Bagaimana dengan bilangan 2026? Dari \(4n - 1 = 2026\) kita peroleh \(4n = 2027\) dan \(n = 506{,}75\). Nomornya pecahan, jadi 2026 bukan suku barisan ini.
Petunjuk berguna untuk perkiraan cepat: barisan dengan rumus \(a_n = 4n - 1\) semua sukunya jika dibagi 4 memberikan sisa 3. Bilangan 2026 memberikan sisa 2, jadi 'melenceng' dari barisan.
Soal-soal tipikal Ujian Nasional tentang Aritmetika Progresi
Dalam Ujian Nasional matematika, barisan progresif muncul setiap tahun, dan hampir semua soal merujuk pada empat skenario.
Mencari suku berdasarkan nomor. Diberikan \(a_1\) dan \(d\) (atau beberapa suku pertama) — substitusikan ke dalam \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Mencari nomor berdasarkan nilai. Diberikan sebuah bilangan — samakan dengan rumus suku ke-n dan selesaikan persamaan terhadap \(n\).
Mencari jumlah. Hitung \(S_n\) menggunakan salah satu dari dua rumus; jika \(a_n\) kurang — hitung terlebih dahulu.
Mencari jumlah suku. Dari rumus suku ke-n diperoleh turunan yang nyaman: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Secara terpisah ada soal cerita, di mana barisan tersembunyi dalam cerita. Misalnya: pada hari pertama pekerja membuat 12 suku cadang, dan setiap hari berikutnya — 3 suku cadang lebih banyak dari hari sebelumnya; berapa suku cadang yang akan dibuatnya selama 15 hari? Di sini \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Hitung suku terakhir: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Maka \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) suku cadang.
Saran utama untuk soal semacam ini: pertama, tuliskan secara terpisah apa yang diketahui (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) dan apa yang perlu dicari. Setengah dari kesalahan ujian terjadi bukan karena rumus, tetapi karena nomor tertukar dengan nilai suku.
Aritmetika Progresi dan Geometri Progresi: apa bedanya
Kedua barisan adalah aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari suku sebelumnya. Perbedaannya terletak pada tindakan: dalam aritmetika, ke suku ditambahkan bilangan yang sama \(d\), dalam geometri — dikalikan dengan bilangan yang sama \(q\), yang disebut rasio barisan.
Dari sinilah perilaku yang berbeda. Barisan aritmetika tumbuh secara merata, 'bertahap': 3, 7, 11, 15 — setiap langkah menambahkan 4. Barisan geometri tumbuh seperti longsoran: 3, 6, 12, 24 — setiap langkah menggandakan bilangan, dan setelah sepuluh langkah suku akan lebih besar dari seribu lima ratus.
Memeriksa tipe barisan itu mudah: hitung selisih suku-suku yang berdekatan dan rasio mereka. Selisih yang sama — barisan aritmetika, rasio yang sama — barisan geometri. Jika tidak ada yang cocok, itu hanyalah sebuah barisan: misalnya, 1, 4, 9, 16 — ini adalah kuadrat bilangan asli, dan bukan barisan (selisih 3, 5, 7 berbeda, rasio juga).
Dalam kurikulum sekolah, kedua topik ini dibahas berurutan di kelas 9, jadi rumusnya mudah tertukar. Ingatlah pegangan: dalam aritmetika beda \(d\) dikurangi, dalam geometri rasio \(q\) dibagi. Sisanya adalah konsekuensi.
Contoh penyelesaian soal aritmetika progresi
Contoh 1. Mencari suku pertama dan beda dari dua suku
Diketahui. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Cari \(a_1\), \(d\), dan \(a_{20}\).
Langkah 1. Dari suku ketiga hingga ketujuh ada tepat \(7 - 3 = 4\) langkah, setiap langkah ditambahkan \(d\). Jadi \(a_7 = a_3 + 4d\), yaitu \(30 = 14 + 4d\), dari mana \(4d = 16\) dan \(d = 4\).
Langkah 2. Kembali ke suku pertama: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Langkah 3. Tulis rumus suku ke-n: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Langkah 4. Hitung suku yang diinginkan: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Pemeriksaan. Tulis awal barisan: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Suku ketiga 14, suku ketujuh 30 — cocok.
Jawaban: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Contoh 2. Jumlah 30 suku pertama (kedua rumus)
Diketahui. Barisan \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Cari \(S_{30}\).
Langkah 1. Tentukan parameter: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Langkah 2. Cari suku ketiga puluh: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Langkah 3. Hitung menggunakan rumus pertama: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Langkah 4. Pemeriksaan menggunakan rumus kedua. Pertama pembilangnya: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Selanjutnya seperti langkah ketiga: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Kedua cara menghasilkan 1155 — berarti aritmatikanya benar.
Jawaban: \(S_{30} = 1155\).
Contoh 3. Jumlah semua bilangan dua digit yang kelipatan 7
Soal. Cari jumlah semua bilangan dua digit yang habis dibagi 7.
Langkah 1. Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan beda 7. Kelipatan tujuh dua digit terkecil adalah 14, terbesar adalah 98 (berikutnya, 105, sudah tiga digit). Kita peroleh \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Langkah 2. Hitung jumlah suku: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Langkah 3. Hitung jumlahnya: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Langkah 4. Pemeriksaan dengan rumus kedua. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Jawaban: 728.
Contoh 4. Memeriksa apakah suatu bilangan termasuk dalam barisan
Soal. Apakah bilangan 145 merupakan suku barisan \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Bagaimana dengan bilangan 142?
Langkah 1. Parameter barisan: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), jadi \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Langkah 2. Periksa 145: persamaan \(5n + 2 = 145\) memberikan \(5n = 143\) dan \(n = 28{,}6\). Nomornya pecahan, jadi 145 tidak termasuk dalam barisan.
Langkah 3. Periksa 142: \(5n + 2 = 142\), dari mana \(5n = 140\) dan \(n = 28\). Nomornya bilangan asli — bilangan tersebut termasuk.
Langkah 4. Pemeriksaan substitusi. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Benar.
Jawaban: 145 tidak termasuk dalam barisan; 142 termasuk dan merupakan suku ke-28.
Contoh 5. Sifat karakteristik dengan suku-suku huruf
Soal. Untuk nilai \(x\) berapa bilangan \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) merupakan tiga suku berurutan dari barisan aritmetika?
Langkah 1. Menurut sifat karakteristik, dua kali suku tengah sama dengan jumlah suku ujung:
Langkah 2. Buka kurung: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Langkah 3. Selesaikan: \(2 + 4 = 5x - 4x\), yaitu \(x = 6\).
Langkah 4. Pemeriksaan. Substitusikan \(x = 6\): suku pertama \(6 - 3 = 3\), suku kedua \(2\cdot 6 + 1 = 13\), suku ketiga \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Selisih: \(13 - 3 = 10\) dan \(23 - 13 = 10\) — sama.
Jawaban: \(x = 6\), barisan 3, 13, 23 dengan beda 10.
Contoh 6. Berapa banyak suku negatif dalam barisan
Soal. Berapa banyak suku negatif dalam barisan \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Langkah 1. Parameter: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Rumus suku ke-n: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Langkah 2. Tulis kondisi 'suku negatif': \(3n - 24 < 0\), dari mana \(3n < 24\) dan \(n < 8\).
Langkah 3. Nomornya bilangan asli, jadi yang cocok adalah \(n = 1, 2, \dots, 7\) — total tujuh suku.
Langkah 4. Pemeriksaan batas. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatif. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nol bukan bilangan negatif, jadi suku kedelapan tidak dihitung. \(a_9 = 3\) — positif.
Jawaban: tujuh suku negatif.
Kesalahan umum dalam soal aritmetika progresi
-
Dalam rumus suku ke-n ditulis $a_n = a_1 + nd$ alih-alih $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Dari suku pertama hingga suku ke-n, ada satu langkah lebih sedikit dari nomornya. Untuk barisan \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) suku kesepuluh adalah \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), bukan 45. Pemeriksaan cepat rumus: substitusikan \(n = 1\) — seharusnya diperoleh tepat \(a_1\).
-
Beda dihitung terbalik: $d = a_1 - a_2$, dan tandanya menjadi berlawanan.
Beda adalah suku berikutnya dikurangi suku sebelumnya: \(d = a_2 - a_1\). Untuk barisan \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) yang benar adalah \(d = 34 - 40 = -6\). Tanda minus di sini bukan kesalahan, tetapi indikasi barisan menurun.
-
Dalam rumus jumlah lupa membagi 2 atau mengalikan dengan $n$: menulis $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Pasangan 'suku pertama dengan suku terakhir' dijumlahkan, jumlahnya ada \(\dfrac{n}{2}\), jadi membagi dengan 2 itu wajib. Untuk barisan \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) kita punya \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) dan \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), bukan 670.
-
Saat memeriksa keanggotaan bilangan, diperoleh $n = 0$ atau $n$ negatif dan tetap menjawab 'termasuk'.
Nomor suku adalah bilangan asli, penghitungan dimulai dari satu. Misalnya, untuk barisan \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) persamaan \(10 + 4(n-1) = 6\) memberikan \(n = 0\), yang berarti 6 tidak termasuk dalam barisan: bilangan ini akan berada sebelum suku pertama.
-
Tertukar mana yang ditemukan: mensubstitusikan nilai suku di tempat yang seharusnya nomor, dan sebaliknya.
\(a_n\) adalah nilainya, \(n\) adalah nomor urutnya. Jika soal menanyakan 'suku keberapa yang nilainya 142', jawabannya adalah 28, bukan 142. Kebiasaan yang berguna: tulis sebelum menyelesaikan baris 'diketahui: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), dicari: \(n\)'.
-
Dianggap bahwa barisan harus naik dan terdiri dari bilangan bulat.
Beda bisa negatif (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), pecahan (1; 1,5; 2; 2,5) dan bahkan nol (8, 8, 8, …). Ketiga kasus tersebut adalah barisan aritmetika yang sah, dan semua rumus untuk mereka bekerja tanpa perubahan.
Pertanyaan dan Jawaban
Apa itu aritmetika progresi dengan kata-kata sederhana?
Ini adalah barisan bilangan di mana setiap bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya dengan menambahkan bilangan yang sama \(d\) — beda barisan. Misalnya, 3, 7, 11, 15, 19, … — barisan dengan suku pertama 3 dan beda 4.
Apa rumus suku ke-n aritmetika progresi?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), di mana \(a_1\) adalah suku pertama, \(d\) adalah beda, \(n\) adalah nomor. Jika yang diketahui bukan suku pertama, tetapi suku lain, berlaku bentuk umum \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Bagaimana cara mencari beda aritmetika progresi?
Kurangi dari suku mana pun suku sebelumnya: \(d = a_n - a_{n-1}\). Jika diberikan dua suku dengan nomor berbeda, gunakan \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Misalnya, dengan \(a_5 = 23\) dan \(a_9 = 43\) kita peroleh \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), dan suku pertama adalah \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Bagaimana cara mencari suku pertama aritmetika progresi?
Dari rumus suku ke-n: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Misalnya, jika \(a_{12} = 60\) dan \(d = 4\), maka \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Pemeriksaan: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Bagaimana cara mencari jumlah n suku pertama aritmetika progresi?
Menurut rumus \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), jika suku terakhir diketahui, atau menurut rumus \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), jika hanya suku pertama dan beda yang diketahui. Keduanya memberikan hasil yang sama, jadi yang kedua nyaman digunakan sebagai pemeriksaan yang pertama.
Bagaimana cara mencari jumlah suku aritmetika progresi?
Dari rumus suku ke-n: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Misalnya, dalam barisan \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) bedanya adalah 5, jadi \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) suku.
Apa perbedaan aritmetika progresi dengan geometri progresi?
Dalam aritmetika, ke setiap suku ditambahkan beda \(d\), sedangkan dalam geometri, setiap suku dikalikan dengan rasio \(q\). Rumus suku ke-n: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) versus \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Untuk menentukan tipenya, hitung selisih suku-suku yang berdekatan dan rasio mereka: selisih yang sama — aritmetika, rasio yang sama — geometri.
Bisakah beda bernilai negatif atau nol?
Ya. Dengan \(d < 0\) barisan menurun (misalnya, 20, 17, 14, 11), dengan \(d = 0\) semua suku sama (6, 6, 6, …) — ini adalah barisan konstan. Beda juga bisa berupa pecahan: 1; 1,5; 2; 2,5 — juga barisan aritmetika.
Kapan aritmetika progresi dipelajari?
Di kelas 9 pada pelajaran aljabar, bersama dengan barisan geometri dan barisan bilangan. Soal-soal tentang barisan termasuk dalam Ujian Nasional: biasanya diminta mencari suku berdasarkan nomor, nomor berdasarkan nilai, jumlah suku, atau jumlah n suku pertama.
