Teorema Viete menghubungkan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisiennya: untuk persamaan reduksi \(x^2 + px + q = 0\), jumlah akar adalah \(-p\), dan hasil kalinya adalah \(q\). Ini memungkinkan pencarian akar secara lisan - dengan menebak, tanpa diskriminan. Di halaman ini - rumus yang tepat untuk persamaan reduksi dan bentuk umum, teorema Viete terbalik, algoritma pencarian akar, contoh yang dipecahkan, dan simulator interaktif.
Apa itu Teorema Viete
Teorema Viete adalah aturan yang menghubungkan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisiennya. Rumusnya adalah sebagai berikut: jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat reduksi \(x^2 + px + q = 0\), maka
Dengan kata lain: jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar sama dengan konstanta. Tanda minus pada jumlah adalah bagian terpenting dari seluruh topik: ditulis \(-p\), bukan \(p\).
Untuk persamaan bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\) (di mana \(a \neq 0\)), rumusnya diperoleh dengan membagi dengan \(a\):
Teorema ini berlaku hanya jika akar riil ada, yaitu saat \(D \ge 0\). Jika diskriminan negatif, tidak ada yang bisa ditebak: tidak ada bilangan riil dengan jumlah dan hasil kali seperti itu.
Persamaan Reduksi dan Bentuk Umum: Kapan Harus Membagi dengan a
Persamaan kuadrat yang koefisien \(x^2\)-nya adalah satu disebut reduksi: \(x^2 + px + q = 0\). Teorema Viete paling ringkas dinyatakan untuk persamaan ini, jadi pencarian akar selalu dimulai dengan mereduksinya.
Jika \(a \neq 1\), persamaan tersebut dibagi dengan \(a\) secara suku demi suku. Misalnya, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) setelah dibagi 3 menjadi \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), yaitu \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Dari sini \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) dan \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Pikiran yang sama dapat ditulis langsung untuk bentuk umum tanpa mereduksi persamaan: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Kesalahan yang paling sering terjadi adalah menerapkan rumus 'singkat' \(-p\) dan \(q\) ke persamaan yang tidak direduksi dan mendapatkan jumlah 10 alih-alih \(\frac{10}{3}\).
Teorema Viete Terbalik
Teorema Viete memiliki versi terbalik, dan versi inilah yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan menebak. Rumusnya adalah: jika bilangan \(m\) dan \(n\) sedemikian rupa sehingga
maka \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan \(x^2 + px + q = 0\).
Perbedaannya mendasar. Teorema langsung bergerak dari akar ke koefisien: akar sudah diketahui, kita mendapatkan hubungan di antaranya. Teorema terbalik bergerak dari koefisien ke akar: kita menebak sepasang bilangan dengan jumlah dan hasil kali yang tepat - dan kita berhak penuh untuk menyebutnya akar, tidak perlu membuktikan apa pun lagi.
Dari sini juga muncul aturan yang berguna: jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar, maka polinomial dapat diuraikan menjadi faktor-faktor \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Misalnya, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Algoritma Pencarian Akar dengan Teorema Viete
Pencarian akar adalah aplikasi praktis utama dari teorema ini. Cara ini lebih cepat daripada diskriminan ketika akarnya adalah bilangan bulat, dan terdiri dari lima langkah.
Tanda Akar Berdasarkan Koefisien p dan q
Bahkan sebelum menebak, Anda dapat mengetahui tanda-tanda akar hanya dengan melihat tanda \(p\) dan \(q\). Ini sangat mempercepat proses pencarian: Anda langsung tahu apakah harus mencari sepasang bilangan positif, sepasang bilangan negatif, atau bilangan dengan tanda berlawanan.
| p dan q | Akar | Contoh |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | keduanya > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | keduanya < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | tanda berlawanan | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 dan −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorema Viete atau Diskriminan: Mana yang Dipilih
Rumus akar melalui diskriminan \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) selalu berlaku, tetapi memerlukan perhitungan. Teorema Viete berlaku seketika, tetapi hanya jika akarnya dapat ditebak - biasanya bilangan bulat kecil.
Aturan praktisnya adalah:
- persamaan reduksi, dan \(q\) dapat diuraikan menjadi sepasang faktor kecil → coba tebakan dengan Viete, jawabannya diperoleh secara lisan;
- koefisien besar atau pecahan, akar tidak dapat ditebak dalam 10-15 detik → hitung diskriminan;
- hanya jumlah akar atau tanda akar yang dibutuhkan, bukan akarnya sendiri → cukup \(D\) dan tabel tanda di atas.
Kombinasi juga berguna: hitung diskriminan dan temukan akarnya - periksa jawabannya dengan Viete. Jumlahnya harus \(-p\), hasil kalinya \(q\). Pemeriksaan semacam itu hanya membutuhkan beberapa detik dan dapat menangkap hampir semua kesalahan aritmatika.
Contoh Penyelesaian dengan Teorema Viete
Contoh 1. Menebak Akar: Kedua Akar Positif
Selesaikan \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Langkah 1. Persamaan reduksi: \(p = -9\), \(q = 20\).
Langkah 2. Periksa diskriminan: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) - ada dua akar.
Langkah 3. Tuliskan hubungan: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Langkah 4. Coba uraian bilangan 20: \(1\cdot 20\) (jumlah 21), \(2\cdot 10\) (jumlah 12), \(4\cdot 5\) (jumlah 9) - pasangan terakhir cocok. Kedua faktor positif karena \(q > 0\) dan \(p < 0\).
Langkah 5. Pemeriksaan dengan substitusi. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Contoh 2. Akar Bertanda Berlawanan
Selesaikan \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Langkah 1. Persamaan reduksi: \(p = 3\), \(q = -28\).
Langkah 2. \(q < 0\), jadi akar bertanda berlawanan dan diskriminan pasti positif: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Langkah 3. Hubungan: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Langkah 4. Uraian 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Perbedaan 3 dibutuhkan - pasangan 4 dan 7 cocok. Karena jumlahnya negatif, akar dengan nilai absolut lebih besar diambil dengan tanda minus: \(4\) dan \(-7\).
Langkah 5. Pemeriksaan. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Contoh 3. Persamaan Bentuk Umum (a ≠ 1)
Selesaikan \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Langkah 1. Koefisien \(a = 3\), jadi rumus 'singkat' \(-p\) dan \(q\) tidak dapat diterapkan. Gunakan bentuk umum: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Langkah 2. Hasil kali sama dengan 1 - berarti akarnya saling berkebalikan: jika satu adalah \(t\), yang lain adalah \(\tfrac{1}{t}\). Jumlah \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) menyarankan \(t = 3\), karena \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Langkah 3. Pemeriksaan dengan substitusi. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Jawaban: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Contoh 4. Menyusun Persamaan dari Akarnya
Tugas. Susun persamaan kuadrat reduksi yang akarnya adalah \(-4\) dan \(6\).
Langkah 1. Hitung jumlah dan hasil kali: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Langkah 2. Menurut teorema Viete terbalik, koefisiennya adalah \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) dan \(q = x_1 x_2 = -24\). Di sinilah jebakan utamanya: \(p\) adalah jumlah dengan tanda berlawanan.
Langkah 3. Tuliskan persamaannya: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Langkah 4. Pemeriksaan dengan substitusi. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Jawaban: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Hasil yang sama diperoleh dari faktorisasi \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Contoh 5. Memeriksa Jawaban Orang Lain dengan Teorema Viete
Tugas. Seorang siswa menyelesaikan persamaan \(x^2 + 5x + 6 = 0\) dan menuliskan jawabannya: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Periksa apakah dia salah.
Langkah 1. Menurut Viete, seharusnya \(x_1 + x_2 = -p = -5\) dan \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Langkah 2. Jawaban yang diajukan memiliki hasil kali yang cocok (\(2\cdot 3 = 6\)), tetapi jumlahnya tidak: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Jadi, jawabannya salah: tanda minus hilang.
Langkah 3. Cari pasangan yang benar: dibutuhkan bilangan dengan hasil kali 6 dan jumlah -5 - yaitu -2 dan -3 (keduanya negatif karena \(q > 0\) dan \(p > 0\)).
Langkah 4. Pemeriksaan dengan substitusi. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Jawaban: akar yang benar adalah \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Kesalahan Umum Saat Bekerja dengan Teorema Viete
-
Menghilangkan tanda minus pada jumlah: menulis $x_1 + x_2 = p$ alih-alih $x_1 + x_2 = -p$.
Tanda minus hanya ada pada jumlah, hasil kali diambil dengan tanda yang sama: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Periksa pada persamaan sederhana \(x^2 - 5x + 6 = 0\): di sini \(p = -5\), jumlah akar adalah 5, dan akarnya memang 2 dan 3.
-
Menerapkan rumus $-p$ dan $q$ ke persamaan yang tidak reduksi: untuk $2x^2 - 9x + 4 = 0$ dikatakan 'jumlah 9, hasil kali 4'.
Selama \(a \neq 1\), rumus bentuk umum berlaku: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Akar-akarnya di sini adalah 4 dan \(\tfrac{1}{2}\), bukan 4 dan 1. Atau, bagi seluruh persamaan dengan \(a\) terlebih dahulu.
-
Menebak akar tanpa memeriksa diskriminan: untuk $x^2 + x + 1 = 0$ mencoba mencari pasangan bilangan dengan jumlah -1 dan hasil kali 1.
Pastikan terlebih dahulu bahwa akar ada: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), tidak ada akar riil, pencarian tidak mungkin dilakukan. Teorema Viete hanya berlaku jika \(D \ge 0\).
-
Menebak pasangan hanya berdasarkan hasil kali, tanpa memeriksa jumlah: untuk $x^2 - 8x + 12 = 0$ mengambil 3 dan 4 karena hasil kali mereka adalah 12.
Periksa kedua hubungan sekaligus. Untuk \(x^2 - 8x + 12 = 0\), hasil kali 12 diberikan oleh pasangan (1; 12), (2; 6), (3; 4), sedangkan jumlah 8 hanya diberikan oleh pasangan 2 dan 6. Pemeriksaan: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) dan \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Saat menyusun persamaan dari akar-akarnya, mengambil $p$ sama dengan jumlahnya: untuk akar 2 dan 5 menulis $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koefisien \(p\) sama dengan jumlah dengan tanda berlawanan: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), yaitu \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Substitusi mengonfirmasi: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Menganggap teorema Viete hanya berlaku untuk akar bilangan bulat dan tidak menggunakannya untuk memeriksa jawaban.
Hubungan \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\) berlaku untuk akar riil apa pun - bilangan bulat, pecahan, dan irasional. Pencarian lisan hanya nyaman untuk bilangan bulat, sedangkan untuk yang lain, teorema tetap menjadi cara cepat untuk memeriksa jawaban yang ditemukan dengan diskriminan.
Pertanyaan dan Jawaban
Bagaimana bunyi teorema Viete dengan kata-kata sederhana?
Jika persamaan kuadrat reduksi \(x^2 + px + q = 0\) memiliki akar-akar, maka jumlahnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda berlawanan, dan hasil kalinya sama dengan konstanta: \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\).
Berapa jumlah dan hasil kali akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$?
Untuk persamaan bentuk umum, jumlah akar adalah \(-\dfrac{b}{a}\), dan hasil kalinya \(\dfrac{c}{a}\). Rumus-rumus ini diperoleh dari kasus reduksi dengan membagi seluruh persamaan dengan \(a\).
Apa perbedaan antara teorema Viete terbalik dan teorema langsung?
Teorema langsung bergerak dari akar ke koefisien: mengetahui akar, kita mendapatkan jumlah \(-p\) dan hasil kali \(q\). Teorema terbalik bergerak sebaliknya: jika sepasang bilangan memberikan jumlah dan hasil kali yang diinginkan, maka bilangan-bilangan ini adalah akar-akar persamaan. Teorema terbaliklah yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan menebak.
Bagaimana cara menebak akar menggunakan teorema Viete?
Reduksi persamaan ke bentuk \(x^2 + px + q = 0\), pastikan \(D \ge 0\), tuliskan \(x_1 + x_2 = -p\) dan \(x_1 x_2 = q\), coba uraikan bilangan \(q\) menjadi pasangan faktor dan pilih pasangan yang jumlahnya sama dengan \(-p\). Misalnya, untuk \(x^2 + 6x + 8 = 0\) dibutuhkan bilangan dengan hasil kali 8 dan jumlah -6 - yaitu -2 dan -4.
Apakah teorema Viete berlaku jika koefisien $x^2$ bukan satu?
Ya, tetapi dalam bentuk umum: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Rumus singkat \(-p\) dan \(q\) hanya berlaku untuk persamaan reduksi, jadi jika \(a \neq 1\), persamaan harus dibagi dengan \(a\) terlebih dahulu.
Apa yang harus dilakukan jika akar tidak dapat ditebak menggunakan teorema Viete?
Ini berarti akarnya bukan bilangan bulat atau bahkan tidak ada. Hitung diskriminan: jika \(D < 0\), tidak ada akar riil, dan jika \(D \ge 0\), temukan akar menggunakan rumus \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) dan kemudian periksa jawabannya menggunakan teorema Viete.
Bagaimana cara menentukan tanda akar tanpa menyelesaikan persamaan?
Berdasarkan tanda \(p\) dan \(q\) saat \(D \ge 0\): jika \(q > 0\) dan \(p < 0\) - kedua akar positif; jika \(q > 0\) dan \(p > 0\) - kedua akar negatif; jika \(q < 0\) - akar bertanda berlawanan; jika \(q = 0\) - salah satu akar adalah nol.
Kelas berapa teorema Viete diajarkan?
Di kelas 8 pada pelajaran aljabar, segera setelah persamaan kuadrat dan diskriminan. Selanjutnya, teorema ini digunakan dalam faktorisasi trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), dalam analisis akar dengan parameter, dan dalam soal-soal OGE dan USE.
