Bentuk kemiringan-perpotongan adalah cara menulis persamaan linear sebagai \(y = mx + b\), di mana \(m\) adalah kemiringan garis dan \(b\) adalah perpotongan-y — titik di mana garis memotong sumbu-y. Ini adalah bentuk yang paling berguna untuk membuat grafik karena Anda dapat langsung membaca kemiringan dan titik awal dari persamaannya. Di halaman ini, Anda akan melihat arti \(m\) dan \(b\), cara membuat grafik garis darinya, cara mencari kemiringan dari dua titik, dan cara menulis persamaan Anda sendiri — lengkap dengan contoh pengerjaan dan pelatih interaktif.
Apa itu bentuk kemiringan-perpotongan?
Setiap garis lurus (non-vertikal) dapat ditulis dalam bentuk kemiringan-perpotongan:
Hanya dua huruf \(m\) dan \(b\) yang berubah dari satu garis ke garis lainnya. Baca dari persamaan seperti ini:
- \(m\) — kemiringan. Ini memberi tahu Anda seberapa curam garis tersebut dan ke arah mana garis itu miring. Kemiringan berarti kenaikan dibagi pergeseran (rise over run): berapa unit garis naik (atau turun) untuk setiap satu unit pergeseran ke kanan.
- \(b\) — perpotongan-y. Ini adalah nilai \(y\) di mana garis memotong sumbu vertikal, yaitu titik \((0, b)\). Saat \(x = 0\), suku \(mx\) menghilang dan \(y = b\).
Sebagai contoh, dalam \(y = 2x + 3\), kemiringannya adalah \(m = 2\) dan perpotongan-y adalah \(b = 3\), jadi garis memotong sumbu-y di \((0, 3)\) dan naik 2 unit untuk setiap 1 unit ke kanan.
m = kemiringan
Seberapa curam garisnya: kenaikan dibagi pergeseran. Positif miring ke atas, negatif miring ke bawah.
b = perpotongan-y
Tempat garis memotong sumbu-y, pada titik (0, b).
Cara membuat grafik bentuk kemiringan-perpotongan
Membuat grafik garis dari \(y = mx + b\) memerlukan tiga langkah mudah — tidak perlu tabel nilai:
- Plot perpotongan-y. Letakkan titik pada sumbu-y di \((0, b)\). Ini adalah titik awal Anda.
- Gunakan kemiringan untuk mencari titik kedua. Tulis \(m\) sebagai pecahan \(\frac{\text{kenaikan}}{\text{pergeseran}}\). Dari titik pertama, bergeraklah ke atas (kenaikan) dan ke kanan (pergeseran). Kemiringan bilangan bulat seperti \(2\) hanyalah \(\frac{2}{1}\).
- Gambar garis melalui kedua titik tersebut dan perpanjang ke kedua arah.
Kisi di bawah ini membuat grafik \(y = 2x + 1\): perpotongan-y berada di \((0, 1)\), dan kemiringan \(2 = \frac{2}{1}\) berarti naik 2, ke kanan 1 untuk mencapai titik berikutnya \((1, 3)\).
Cara mencari kemiringan dan perpotongan-y
Dari persamaan. Jika sudah dalam bentuk \(y = mx + b\), angka yang mengalikan \(x\) adalah kemiringan \(m\), dan suku konstanta adalah perpotongan-y \(b\). Perhatikan tandanya: dalam \(y = -3x - 4\), kemiringannya adalah \(m = -3\) dan perpotongan-y adalah \(b = -4\). Jika persamaannya terlihat berbeda (misalnya \(2x + y = 5\)), selesaikan untuk \(y\) terlebih dahulu: \(y = -2x + 5\), jadi \(m = -2\) dan \(b = 5\).
Kemiringan dari dua titik. Diberikan dua titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\), kemiringan adalah perubahan \(y\) dibagi dengan perubahan \(x\):
Untuk titik \((1, 2)\) dan \((3, 8)\): \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Kurangi koordinat dalam urutan yang sama di atas dan di bawah, atau tanda Anda akan terbalik.
Menulis persamaan dalam bentuk kemiringan-perpotongan
Untuk menulis persamaan, Anda hanya perlu kemiringan \(m\) dan perpotongan-y \(b\), lalu masukkan ke dalam \(y = mx + b\).
- Diberikan kemiringan dan perpotongan-y. Dengan \(m = -2\) dan \(b = 5\), persamaannya adalah \(y = -2x + 5\). Selesai.
- Diberikan kemiringan dan satu titik. Masukkan kemiringan dan titik \((x, y)\) ke dalam \(y = mx + b\) dan selesaikan untuk \(b\). Contoh: kemiringan \(m = 4\) melalui \((2, 3)\) memberikan \(3 = 4(2) + b\), jadi \(b = 3 - 8 = -5\) dan persamaannya adalah \(y = 4x - 5\).
- Diberikan dua titik. Pertama, cari kemiringan dengan rumus di atas, lalu gunakan satu titik untuk menyelesaikan \(b\), persis seperti langkah sebelumnya.
Tanda kemiringan memberi tahu Anda secara sekilas ke mana arah garis tersebut.
| Kemiringan m | Arah garis | Contoh |
|---|---|---|
| m > 0 | Naik dari kiri ke kanan (tanjakan) | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Turun dari kiri ke kanan (turunan) | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Horizontal — garis datar | y = 3 |
| tidak terdefinisi | Vertikal — bukan bentuk kemiringan-perpotongan | x = 5 |
Contoh bentuk kemiringan-perpotongan
Contoh 1. Baca m dan b, lalu buat grafik
Persamaan: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
Langkah 1 — identifikasi bagian-bagiannya. Kemiringannya adalah \(m = \frac{1}{2}\) dan perpotongan-y adalah \(b = -2\).
Langkah 2 — plot perpotongan-y. Letakkan titik di \((0, -2)\) pada sumbu-y.
Langkah 3 — gunakan kemiringan. \(m = \frac{1}{2}\) berarti naik 1, ke kanan 2. Dari \((0, -2)\) bergerak ke \((2, -1)\), lalu ke \((4, 0)\).
Langkah 4 — gambar garis melalui titik-titik tersebut. Garis naik perlahan karena kemiringannya positif tetapi kurang dari 1.
Contoh 2. Mencari kemiringan dari dua titik
Titik: \((-1, 4)\) dan \((2, -2)\)
Langkah 1 — terapkan rumus. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
Langkah 2 — periksa tandanya. Kemiringannya negatif, jadi garis turun dari kiri ke kanan. Itu cocok dengan titik-titiknya: saat \(x\) naik, \(y\) turun.
Kemiringan garis ini adalah \(m = -2\).
Contoh 3. Menulis persamaan dari kemiringan dan satu titik
Diberikan: kemiringan \(m = 3\), melalui \((2, 1)\).
Langkah 1 — mulai dari \(y = mx + b\) dengan \(m = 3\): \(\; y = 3x + b\).
Langkah 2 — substitusikan titik \((2, 1)\): \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
Langkah 3 — selesaikan untuk b: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Persamaan: \(y = 3x - 5\).
Contoh 4. Mengatur ulang ke dalam bentuk kemiringan-perpotongan
Persamaan: \(4x + 2y = 6\)
Langkah 1 — isolasi suku y. Kurangi \(4x\) dari kedua sisi: \(2y = -4x + 6\).
Langkah 2 — bagi dengan 2: \(\; y = -2x + 3\).
Langkah 3 — baca m dan b. Sekarang dalam bentuk kemiringan-perpotongan: kemiringan \(m = -2\), perpotongan-y \(b = 3\).
Kesalahan umum dengan bentuk kemiringan-perpotongan
-
Menukar m dan b — membaca kemiringan sebagai suku konstanta (atau sebaliknya).
Kemiringan m selalu merupakan angka yang dikalikan dengan x; perpotongan-y b adalah angka yang berdiri sendiri. Dalam y = 5x + 2, kemiringannya adalah 5 dan perpotongan-y adalah 2 — jangan pernah terbalik.
-
Menghilangkan tanda kemiringan, misalnya menyebut kemiringan y = -3x + 1 hanya 3.
Tanda minus adalah bagian dari kemiringan. Di sini m = -3, yang berarti garis turun. Kemiringan negatif selalu turun dari kiri ke kanan.
-
Mencampuradukkan kenaikan dan pergeseran — bergerak ke kanan terlebih dahulu, lalu ke atas, sehingga kemiringan terbalik.
Kemiringan adalah kenaikan dibagi pergeseran, bukan pergeseran dibagi kenaikan. Kemiringan 2 = 2/1 berarti naik 2 untuk setiap 1 ke kanan; kemiringan 1/2 berarti naik 1 untuk setiap 2 ke kanan. Jaga kenaikan tetap di atas.
-
Membaca perpotongan-y sebagai nilai x, misalnya memplot b = 3 di (3, 0) alih-alih (0, 3).
Perpotongan-y berada pada sumbu-y: b selalu merupakan titik (0, b). Mulai setiap grafik dengan bergerak ke atas atau ke bawah sumbu-y, bukan melintasi sumbu-x.
-
Mengurangi koordinat dalam urutan yang berbeda dalam rumus kemiringan.
Gunakan urutan yang sama di atas dan di bawah: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Jika Anda memulai dengan y titik kedua di atas, mulailah dengan x titik kedua di bawah juga, atau tandanya akan terbalik.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu bentuk kemiringan-perpotongan?
Bentuk kemiringan-perpotongan adalah persamaan garis lurus yang ditulis sebagai y = mx + b, di mana m adalah kemiringan dan b adalah perpotongan-y. Ini adalah bentuk yang paling nyaman untuk membuat grafik, karena baik tingkat kecuraman (m) maupun titik awal pada sumbu-y (b) terlihat langsung dalam persamaan.
Apa arti m dan b dalam y = mx + b?
m adalah kemiringan — seberapa curam garis tersebut dan apakah ia naik atau turun, diukur sebagai kenaikan dibagi pergeseran. b adalah perpotongan-y — nilai y di mana garis memotong sumbu vertikal, yaitu titik (0, b).
Bagaimana cara mencari kemiringan dari dua titik?
Gunakan rumus kemiringan m = (y2 - y1) / (x2 - x1): kurangi dua nilai y di atas dan nilai x yang sesuai di bawah. Misalnya, untuk (1, 2) dan (3, 8), m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Bagaimana cara membuat grafik garis dalam bentuk kemiringan-perpotongan?
Pertama, plot perpotongan-y di (0, b). Kemudian gunakan kemiringan sebagai kenaikan dibagi pergeseran untuk melangkah ke titik kedua — naik (atau turun) untuk kenaikan, ke kanan untuk pergeseran. Gambar garis lurus melalui kedua titik tersebut dan perpanjang ke kedua arah.
Bagaimana cara menulis persamaan dalam bentuk kemiringan-perpotongan?
Cari kemiringan m dan perpotongan-y b, lalu substitusikan ke dalam y = mx + b. Jika Anda hanya memiliki kemiringan dan satu titik, masukkan titik tersebut ke dalam persamaan dan selesaikan untuk b terlebih dahulu. Jika Anda memiliki dua titik, cari kemiringan dengan rumus, lalu selesaikan untuk b.
Apa yang diberitahukan tanda kemiringan kepada Anda?
Kemiringan positif berarti garis naik dari kiri ke kanan; kemiringan negatif berarti garis turun. Kemiringan 0 membuat garis horizontal, dan garis vertikal memiliki kemiringan yang tidak terdefinisi, yang tidak dapat ditulis dalam bentuk kemiringan-perpotongan.
