Pertidaksamaan adalah dua ekspresi yang dihubungkan oleh tanda <, >, ≤, atau ≥. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua nilai variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik yang benar. Jawabannya bukan satu angka, melainkan himpunan utuh: interval pada garis bilangan atau gabungan interval. Halaman ini mengumpulkan basis data yang sama untuk semua jenis pertidaksamaan: cara membaca tanda, transformasi apa yang diizinkan, mengapa tanda dibalik saat membagi dengan bilangan negatif, dan cara menulis jawaban dengan benar. Selanjutnya — tinjauan semua jenis pertidaksamaan dengan tautan ke analisis terperinci dan latihan untuk menguji diri sendiri.
Apa artinya menyelesaikan pertidaksamaan
Penyelesaian pertidaksamaan adalah nilai variabel apa pun yang mengubah pertidaksamaan menjadi bilangan yang benar. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua nilai tersebut dan menuliskannya sebagai himpunan.
Bandingkan dengan persamaan. Persamaan \(2x = 8\) memiliki jawaban satu angka \(x = 4\). Pertidaksamaan \(2x < 8\) memiliki jawaban tak terhingga banyak angka: \(3\), \(0\), \(-100\), dan \(3.999\) semuanya cocok. Tidak mungkin menuliskannya satu per satu, jadi jawaban diformat sebagai interval: \(x < 4\), yaitu \((-\infty;\ 4)\).
Memeriksa apakah angka tertentu adalah solusi itu mudah: substitusikan sebagai variabel dan lihat apakah pertidaksamaan yang benar diperoleh.
- \(x = 1\) dalam pertidaksamaan \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — benar, jadi \(1\) adalah solusi.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — salah, jadi \(5\) bukan solusi.
Dua pertidaksamaan disebut ekuivalen jika himpunan solusinya sama. Seluruh penyelesaian pertidaksamaan adalah serangkaian transisi ke pertidaksamaan ekuivalen yang lebih sederhana hingga hanya tersisa \(x\) di sebelah kiri.
Tanda Pertidaksamaan: Ketat dan Tidak Ketat
Ada empat tanda, dan jawaban serta formatnya bergantung pada tanda mana yang digunakan. Tanda ketat < dan > tidak menyertakan titik batas dalam jawaban, tanda tidak ketat ≤ dan ≥ — menyertakannya.
Perbedaan ini terbawa sepanjang penyelesaian: tanda ketat menghasilkan titik kosong (kosong) pada garis bilangan dan kurung siku terbuka dalam jawaban, tanda tidak ketat — titik terisi dan kurung siku tertutup.
| Tanda | Cara membaca dan apa yang dihasilkan dalam jawaban |
|---|---|
| < | kurang dariketattitik kosong, kurung siku terbuka |
| > | lebih dariketattitik kosong, kurung siku terbuka |
| ≤ | kurang dari atau sama dengantidak ketattitik terisi, kurung siku tertutup |
| ≥ | lebih dari atau sama dengantidak ketattitik terisi, kurung siku tertutup |
Transformasi Ekuivalen: Apa yang Boleh Dilakukan dengan Pertidaksamaan
Dengan pertidaksamaan, Anda boleh melakukan hampir sama seperti dengan persamaan, tetapi dengan satu penyesuaian penting. Penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan secara bebas: jika Anda menambahkan atau mengurangkan bilangan atau ekspresi yang sama ke kedua sisi, himpunan solusi tidak akan berubah. Inilah cara suku-suku "dipindahkan" melintasi tanda, mengubah tanda plus menjadi minus.
Namun, perkalian dan pembagian bergantung pada tanda pengali. Saat mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah menjadi berlawanan: < menjadi >, ≤ menjadi ≥, dan sebaliknya. Alasannya terlihat pada angka: dari \(3 < 5\) yang benar, setelah dikalikan dengan -1 menjadi -3 dan -5, dan \(-3 > -5\) — urutan angka terbalik.
Hal yang sama terjadi jika Anda menukar sisi kiri dan kanan: dari \(7 < y\) menjadi \(y > 7\).
| Apa yang dilakukan pada kedua sisi | Apa yang terjadi dengan tanda |
|---|---|
| Menambah atau mengurangi bilangan atau ekspresi yang sama | tanda tetap sama |
| Mengalikan atau membagi dengan bilangan positif | tanda tetap sama |
| Mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif | tanda berubah |
| Menukar sisi kiri dan kanan | tanda berubah |
| Mengalikan atau membagi dengan ekspresi yang mengandung variabel (x − 2) | tidak boleh |
Cara Menulis Jawaban: Garis Bilangan dan Interval
Ketika variabel tersisa sendirian, penyelesaian hampir selesai — tinggal memformatnya. Cara termudah adalah menandai jawaban pada garis bilangan terlebih dahulu, lalu menghitung interval dari garis tersebut.
Hanya ada tiga aturan penulisan, dan aturan ini tidak berubah tergantung jenis pertidaksamaan:
- Kurung siku terbuka — titik tidak termasuk dalam jawaban (tanda ketat, titik kosong pada garis bilangan);
- Kurung siku tertutup — titik termasuk (tanda tidak ketat, titik terisi pada garis bilangan);
- Kurung siku selalu terbuka untuk tak terhingga: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — format seperti \([-\infty;\ 4]\) tidak ada, tak terhingga bukanlah angka dan tidak dapat dicapai.
Jika solusi ternyata berupa dua bagian garis, hubungkan dengan tanda gabungan ∪: misalnya, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Jenis Pertidaksamaan dan Cara Penyelesaiannya
Pertidaksamaan dibedakan berdasarkan bagaimana variabel masuk — apakah ia berada dalam pangkat pertama, di bawah kuadrat, di penyebut, atau di bawah nilai mutlak. Inilah yang menentukan metode penyelesaiannya, jadi langkah pertama dalam setiap penyelesaian adalah mengidentifikasi jenis pertidaksamaan. Logika umum selanjutnya adalah sama: ubah pertidaksamaan menjadi bentuk "ekspresi dibandingkan dengan nol", lalu terapkan metode yang sesuai untuk jenis ini. Ringkasan jenis dan metode — dalam tabel di bawah.
Perlu diingat secara terpisah bagaimana nilai mutlak dibuka — tabel ini tidak memuatnya. Untuk \(a > 0\), pertidaksamaan \(|f(x)| < a\) ekuivalen dengan pertidaksamaan ganda \(-a < f(x) < a\) (menghasilkan sistem), dan \(|f(x)| > a\) — dengan gabungan \(f(x) < -a\) atau \(f(x) > a\) (menghasilkan gabungan interval). Jika \(a < 0\), tidak perlu dipikirkan: nilai mutlak tidak negatif, jadi \(|f(x)| < a\) tidak memiliki solusi, dan \(|f(x)| > a\) benar untuk semua \(x\) yang diizinkan.
Pertidaksamaan irasional (dengan akar) dan eksponensial dibahas di sekolah menengah atas: selain transformasi biasa, ada juga pekerjaan dengan domain nilai yang diizinkan.
Analisis terperinci jenis-jenis tertentu: pertidaksamaan linear, pertidaksamaan rasional dan metode interval, dan akar dari polinomial kuadrat mudah ditemukan dengan teorema Vieta.
| Jenis | Bagaimana terlihat dan cara menyelesaikannya |
|---|---|
| Linear | ax + b > 0pindahkan suku dan bagi dengan koefisien x |
| Kuadrat | ax2 + bx + c > 0cari akar polinomial kuadrat dan lihat parabola |
| Pecahan-Rasional | P(x) / Q(x) ≥ 0metode interval, akar penyebut dikosongkan |
| Dengan Nilai Mutlak | | f(x) | < abuka nilai mutlak sesuai definisi |
| Sistem | dua pertidaksamaan dalam kurung kurawalselesaikan masing-masing, ambil irisannya |
Sistem dan Gabungan Pertidaksamaan
Seringkali satu pertidaksamaan terurai menjadi dua, dan penting untuk tidak salah dalam menangani himpunan yang dihasilkan.
Sistem (kurung kurawal) berarti "dan yang ini, dan yang itu secara bersamaan". Selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah, tandai kedua jawaban pada garis bilangan yang sama, dan ambil irisan — bagian yang sama. Jika tidak ada bagian yang sama, sistem tidak memiliki solusi.
Gabungan (kurung siku) berarti "atau yang ini, atau yang itu". Di sini diambil gabungan — semua yang diarsir oleh setidaknya satu jawaban. Gabungan muncul, misalnya, saat membuka nilai mutlak dengan tanda "lebih dari".
Pertidaksamaan ganda seperti \(-3 < 2x + 1 \le 7\) patut dicatat secara terpisah: ini adalah penulisan singkat dari sistem. Transformasi dilakukan sekaligus pada ketiga bagian — dikurangi, dibagi, dan saat membagi dengan bilangan negatif, kedua tanda dibalik.
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan
Contoh 1. Memeriksa apakah suatu angka adalah solusi
Tugas. Apakah \(x = -1\) adalah solusi dari pertidaksamaan \(3x + 5 \ge 1\)?
Langkah 1. Substitusikan \(-1\) sebagai \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Langkah 2. Bandingkan dengan sisi kanan: \(2 \ge 1\) — pertidaksamaan numerik yang benar.
Jawaban. Ya, \(-1\) adalah salah satu solusi. Tetapi menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua angka semacam itu, bukan hanya satu: di sini jawabannya adalah \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Contoh 2. Pertidaksamaan Linear dengan Perubahan Tanda
Tugas. Selesaikan \(7 - 3x < 1\).
Langkah 1. Pindahkan \(7\) ke kanan (yaitu, kurangi \(7\) dari kedua sisi — tanda pertidaksamaan tidak berubah): \(-3x < 1 - 7\), jadi \(-3x < -6\).
Langkah 2. Bagi kedua sisi dengan \(-3\). Pembaginya negatif, jadi tandanya dibalik: \(x > 2\).
Langkah 3. Tandai pada garis bilangan: titik kosong di \(2\), arsir semua ke kanan.
Jawaban. \(x > 2\), yaitu \(x \in (2;\ +\infty)\).
Contoh 3. Pertidaksamaan Kuadrat
Tugas. Selesaikan \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Langkah 1. Cari akar polinomial kuadrat: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), sehingga \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Langkah 2. Koefisien \(x^2\) positif, jadi cabang parabola mengarah ke atas: antara akar, polinomial negatif, dan di luar akar — positif.
Langkah 3. Kita membutuhkan tanda \(\le 0\), yaitu nilai negatif dan akar itu sendiri (tanda tidak ketat) — ambil segmen antara akar beserta batasnya.
Jawaban. \(x \in [-1;\ 5]\).
Contoh 4. Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak
Tugas. Selesaikan \(|x + 1| > 4\).
Langkah 1. Nilai mutlak lebih besar dari bilangan positif — berarti ekspresi di bawah nilai mutlak entah lebih besar dari \(4\), atau lebih kecil dari \(-4\). Kita mendapatkan gabungan: \(x + 1 > 4\) atau \(x + 1 < -4\).
Langkah 2. Selesaikan masing-masing: dari yang pertama \(x > 3\), dari yang kedua \(x < -5\).
Langkah 3. Ini adalah gabungan, jadi ambil gabungan interval, bukan irisan.
Jawaban. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Contoh 5. Sistem Pertidaksamaan
Tugas. Selesaikan sistem \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Langkah 1. Pertidaksamaan pertama: \(2x > -4\), bagi dengan \(2\) yang positif — tanda tetap sama, \(x > -2\).
Langkah 2. Pertidaksamaan kedua: \(x \le 4\).
Langkah 3. Tandai kedua jawaban pada garis bilangan yang sama dan ambil irisan — bagian yang diarsir dua kali. Batas kiri tidak termasuk (tanda ketat), batas kanan termasuk (tidak ketat).
Jawaban. \(x \in (-2;\ 4]\).
Kesalahan Umum dalam Penyelesaian Pertidaksamaan
-
Membagi dengan bilangan negatif dan membiarkan tanda yang sama.
Saat mengalikan dan membagi kedua sisi dengan bilangan negatif, tanda harus berubah menjadi berlawanan. Dari \(-5x \ge 10\) menjadi \(x \le -2\), bukan \(x \ge -2\). Anda dapat memeriksa diri sendiri dengan substitusi: \(x = -3\) menghasilkan \(15 \ge 10\) — benar, jadi jawaban yang benar memang "kurang dari atau sama dengan".
-
Menulis kurung siku tertutup untuk tak terhingga: $[-\infty;\ 7]$.
Tak terhingga bukanlah angka, ia tidak dapat "dicapai", jadi kurung siku di dekat \(\infty\) selalu terbuka: \((-\infty;\ 7]\). Kurung siku tertutup hanya digunakan untuk batas hingga yang termasuk dalam jawaban.
-
Mencampur jenis kurung siku dan jenis titik: tanda ketat ditulis dengan kurung siku tertutup.
Tanda ketat (\(<\), \(>\)) — batas tidak termasuk: titik kosong dan kurung siku terbuka. Tanda tidak ketat (\(\le\), \(\ge\)) — batas termasuk: titik terisi dan kurung siku tertutup. Pemeriksaan sederhana: substitusikan titik batas itu sendiri ke dalam pertidaksamaan asli dan lihat apakah hasilnya benar.
-
Mengalikan kedua sisi dengan ekspresi yang mengandung variabel untuk "menghilangkan pecahan".
Tanda ekspresi semacam itu tidak diketahui, jadi tidak jelas apakah akan membalik tanda pertidaksamaan atau tidak — transformasi tidak ekuivalen. Alih-alih, pindahkan semuanya ke satu sisi, gabungkan menjadi satu pecahan, dan terapkan metode interval.
-
Menulis satu angka sebagai jawaban: "$x = 3$" alih-alih himpunan.
Solusi pertidaksamaan adalah himpunan nilai. Tulis sebagai interval: \(x > 3\), yaitu \((3;\ +\infty)\). Satu angka bisa menjadi elemen jawaban, tetapi bukan jawaban itu sendiri.
-
Mengambil gabungan untuk sistem, dan irisan untuk gabungan.
Untuk sistem (kurung kurawal, "dan") — irisan, bagian yang sama dari interval. Untuk gabungan (kurung siku, "atau") — gabungan melalui tanda \(\cup\). Dan lagi: penulisan seperti "\(-2 < x > 5\)" tidak masuk akal — jawaban semacam itu diformat sebagai gabungan dua interval.
Pertanyaan dan Jawaban
Apa artinya menyelesaikan pertidaksamaan?
Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua nilai variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik yang benar, dan menuliskannya sebagai himpunan. Jawabannya adalah interval atau gabungan interval, bukan angka terpisah.
Apa saja jenis pertidaksamaan?
Berdasarkan bentuk ekspresi dengan variabel, dibedakan pertidaksamaan linear (\(ax + b > 0\)), kuadrat (\(ax^2 + bx + c > 0\)), pecahan-rasional (variabel di penyebut), dengan nilai mutlak, irasional, dan eksponensial. Sistem dan gabungan pertidaksamaan dibedakan secara terpisah. Berdasarkan tanda pertidaksamaan, dibagi menjadi ketat (\(<\), \(>\)) dan tidak ketat (\(\le\), \(\ge\)).
Kapan tanda pertidaksamaan berubah menjadi berlawanan?
Dalam dua kasus: ketika kedua sisi dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, dan ketika sisi kiri dan kanan ditukar. Saat penjumlahan, pengurangan, dan pembagian dengan bilangan positif, tanda tetap sama.
Kapan kurung siku terbuka, dan kapan tertutup?
Terbuka — jika titik batas tidak termasuk dalam jawaban (tanda ketat, titik kosong pada garis bilangan). Tertutup — jika termasuk (tanda tidak ketat, titik terisi pada garis bilangan). Di dekat \(+\infty\) dan \(-\infty\), kurung siku selalu terbuka.
Apa perbedaan antara penyelesaian pertidaksamaan dan penyelesaian persamaan?
Transformasinya hampir sama, tetapi persamaan biasanya memiliki jawaban yang terdiri dari angka-angka terpisah, sedangkan pertidaksamaan — dari interval utuh. Selain itu, pertidaksamaan memiliki aturan perubahan tanda saat mengalikan dan membagi dengan bilangan negatif, yang tidak ada dalam persamaan.
Pertidaksamaan apa yang dianggap pecahan dan di mana ia dibahas?
Pertidaksamaan pecahan (pecahan-rasional) adalah pertidaksamaan di mana variabel berada di penyebut, misalnya \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); karena penyebutnya, ia memiliki domain nilai yang diizinkan, dan tidak dapat diselesaikan dengan pembagian biasa. Algoritma langkah demi langkah dengan contoh — dalam materi terpisah pertidaksamaan rasional dan metode interval.
Pada kelas berapa penyelesaian pertidaksamaan dipelajari?
Pertidaksamaan linear dan interval numerik dipelajari di kelas 8 (oleh Merzlyak — di kelas 9), pertidaksamaan kuadrat dan pecahan-rasional dengan metode interval — di kelas 8-9, dan irasional serta eksponensial — di sekolah menengah atas.
