Rumus kuadrat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun dalam bentuk \(ax^2 + bx + c = 0\) (dengan \(a \neq 0\)). Akar-akarnya diberikan oleh \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Di halaman ini, Anda akan melihat arti dari setiap bagian, cara menggunakan rumus langkah demi langkah, bagaimana diskriminan memberi tahu Anda berapa banyak solusi yang diharapkan, dan contoh pengerjaan lengkap — ditambah pelatih interaktif agar Anda bisa langsung berlatih.
Apa itu rumus kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan apa pun yang dapat Anda tulis dalam bentuk standar \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah angka dan \(a \neq 0\). Angka \(a\), \(b\), dan \(c\) disebut koefisien: \(a\) adalah koefisien dari \(x^2\), \(b\) adalah koefisien dari \(x\), dan \(c\) adalah suku konstanta.
Rumus kuadrat memberikan solusi (akar-akar) langsung dari ketiga koefisien ini — tidak perlu pemfaktoran. Rumus ini berfungsi untuk setiap persamaan kuadrat, bahkan yang tidak bisa difaktorkan dengan mudah.
Asal-usulnya (penurunan): rumus ini adalah hasil dari melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum. Bagi \(ax^2 + bx + c = 0\) dengan \(a\), pindahkan konstanta ke sisi lain, tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) ke kedua sisi untuk membuat kuadrat sempurna, dan tarik akar kuadrat. Hasilnya adalah rumus tunggal di bawah ini, yang berlaku untuk setiap \(a\), \(b\), \(c\).
Diskriminan: berapa banyak akar
Bagian di bawah akar kuadrat, \(b^2 - 4ac\), disebut diskriminan (sering ditulis \(D\)). Anda tidak perlu menyelesaikan seluruh rumus untuk mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki suatu persamaan — tanda dari diskriminan memberi tahu Anda secara langsung.
Karena Anda tidak dapat menarik akar kuadrat real dari angka negatif, tanda \(D\) membagi setiap persamaan kuadrat menjadi tepat tiga kasus: dua akar, satu akar kembar, atau tidak ada akar real. Pada grafik, ini adalah titik di mana parabola \(y = ax^2 + bx + c\) bertemu dengan sumbu-x — dua kali, sekali (di titik puncak), atau tidak sama sekali.
| Diskriminan D = b² − 4ac | Akar real | Hasilnya |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Parabola memotong sumbu-x dua kali. Gunakan kedua tanda: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Satu akar real (kembar) | Parabola menyentuh sumbu-x di titik puncaknya. Tanda ± hilang: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Tidak ada akar real | Parabola tidak pernah menyentuh sumbu-x. Tidak ada akar kuadrat real dari angka negatif. |
Cara menggunakan rumus kuadrat: langkah-langkah
Rumus kuadrat selalu bekerja dengan cara yang sama. Ikuti lima langkah ini secara berurutan dan rumus ini tidak akan pernah mengecewakan Anda — bagian tersulit hanyalah membaca koefisien (dengan tandanya) dengan benar.
Contoh rumus kuadrat (langkah demi langkah)
Contoh 1. Dua akar real (D > 0)
Selesaikan \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Langkah 1–2. Sudah dalam bentuk standar, jadi baca koefisiennya: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Langkah 3. Diskriminan: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Langkah 4. \(D = 25 > 0\), jadi ada dua akar real berbeda.
Langkah 5. Substitusi: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Menggunakan tanda tambah: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Menggunakan tanda kurang: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Akar-akar: \(x = 3\) dan \(x = \tfrac{1}{2}\).
Contoh 2. Satu akar kembar (D = 0)
Selesaikan \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Langkah 1–2. Sudah bentuk standar: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Langkah 3. Diskriminan: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Langkah 4. \(D = 0\), jadi ada tepat satu akar real (akar kembar). Suku \(\pm\) hilang karena \(\sqrt{0} = 0\).
Langkah 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Akar: \(x = 3\) (persamaan kuadrat ini adalah kuadrat sempurna \((x-3)^2 = 0\)).
Contoh 3. Tidak ada akar real (D < 0)
Selesaikan \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Langkah 1–2. Bentuk standar: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Langkah 3. Diskriminan: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Langkah 4. \(D = -16 < 0\). Karena Anda tidak dapat menarik akar kuadrat real dari angka negatif, persamaan ini tidak memiliki akar real — parabolanya tidak pernah memotong sumbu-x.
Langkah 5. Tidak diperlukan pengerjaan lebih lanjut untuk solusi real. (Jika Anda sudah mempelajari bilangan kompleks, akar-akarnya adalah \(x = -1 \pm 2i\), tetapi untuk jawaban real kita berhenti di sini.)
Kesalahan umum dengan rumus kuadrat
-
Salah menentukan tanda b, terutama saat b negatif.
Rumus dimulai dengan −b. Jika b = −7, maka −b = +7 — kedua tanda minus saling meniadakan. Tulis substitusi secara lengkap, misal −(−7), sebelum menyederhanakan.
-
Melupakan ± dan hanya melaporkan satu akar.
Ketika D > 0, ± menghasilkan dua jawaban: satu dengan + dan satu dengan −. Selalu hitung keduanya (−b + √D)/(2a) dan (−b − √D)/(2a) kecuali D = 0.
-
Hanya membagi sebagian pembilang dengan 2a.
Seluruh pembilang, −b ± √D, dibagi dengan 2a — bukan hanya bagian √D. Tetap tulis sebagai satu pecahan: (−b ± √D) / (2a).
-
Salah menghitung diskriminan ketika a atau c negatif.
Dalam D = b² − 4ac, mengurangkan 4ac ketika a·c negatif sebenarnya adalah penjumlahan. Untuk 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, jadi D = 4 + 12 = 16, bukan 4 − 12.
-
Menerapkan rumus sebelum menulis persamaan dalam bentuk standar.
Pindahkan setiap suku ke satu sisi sehingga persamaan terbaca ax² + bx + c = 0 terlebih dahulu. Contohnya, x² = 5x − 6 harus menjadi x² − 5x + 6 = 0 sebelum Anda membaca a, b, c.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu rumus kuadrat?
Rumus kuadrat adalah x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Rumus ini memberikan solusi dari persamaan kuadrat apa pun ax² + bx + c = 0 (dengan a ≠ 0) langsung dari koefisien a, b, dan c.
Bagaimana cara menggunakan rumus kuadrat langkah demi langkah?
Tulis persamaan dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0, identifikasi a, b, dan c dengan tandanya, hitung diskriminan D = b² − 4ac, periksa tandanya untuk melihat berapa banyak akar yang ada, lalu substitusikan ke dalam x = (−b ± √D) / (2a) dan sederhanakan versi plus dan minus.
Apa itu diskriminan dan mengapa itu penting?
Diskriminan adalah D = b² − 4ac, ekspresi di bawah akar kuadrat. Tandanya memberi tahu Anda jumlah akar real tanpa menyelesaikan perhitungan: D > 0 memberikan dua akar real, D = 0 memberikan satu akar kembar, dan D < 0 memberikan tidak ada akar real.
Kapan saya harus menggunakan rumus kuadrat daripada pemfaktoran?
Pemfaktoran cepat dilakukan ketika persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan angka bulat kecil. Rumus kuadrat berfungsi untuk setiap persamaan kuadrat, termasuk yang tidak bisa difaktorkan dengan mudah atau yang memiliki akar irasional atau bukan bilangan bulat, jadi ini adalah cadangan yang dapat diandalkan kapan pun pemfaktoran tidak terlihat jelas.
Dari mana asal rumus kuadrat?
Rumus ini diturunkan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum ax² + bx + c = 0: bagi dengan a, lengkapi kuadrat dengan menambahkan (b/2a)², tulis ulang sisi kiri sebagai kuadrat sempurna, dan tarik akar kuadrat dari kedua sisi. Hasilnya adalah rumus kuadrat.
Bisakah rumus kuadrat tidak memberikan jawaban?
Jika diskriminan negatif (D < 0), tidak ada solusi real karena Anda tidak dapat menarik akar kuadrat real dari angka negatif. Persamaan tersebut masih memiliki dua akar kompleks, tetapi tidak ada akar real — pada grafik, parabola tidak pernah menyentuh sumbu-x.
