Rumus Perkalian Istimewa (FPI) adalah identitas aljabar siap pakai yang memungkinkan kita menjabarkan kurung dan memfaktorkan ekspresi tanpa harus melakukan perkalian panjang. Di halaman ini, terdapat tabel berisi ketujuh rumus tersebut: kuadrat jumlah dan selisih, selisih kuadrat, kubik jumlah dan selisih, serta jumlah dan selisih kubik. Setiap rumus dijelaskan dengan pembuktian dan contoh, dan di bagian akhir terdapat latihan interaktif untuk langsung mempraktikkan penggunaan FPI.
Apa itu rumus perkalian istimewa
Rumus perkalian istimewa adalah identitas yang diperoleh dengan mengalikan polinomial secara cermat dan mengingat hasilnya. Selanjutnya, kita tidak perlu lagi menjabarkan kurung setiap saat: cukup kenali "pola"-nya dan masukkan angka atau huruf milikmu.
Dalam kurikulum aljabar kelas 7, FPI digunakan dalam dua arah:
- dari kiri ke kanan — untuk menjabarkan kurung dengan cepat dan menguadratkan atau memangkatkan tiga suatu ekspresi;
- dari kanan ke kiri — untuk memfaktorkan polinomial (diperlukan untuk menyederhanakan pecahan dan menyelesaikan persamaan).
Secara total, ada tujuh rumus yang perlu diingat. Di bawah ini adalah tabel ringkasan, diikuti dengan penjelasan masing-masing rumus secara terpisah.
Tabel rumus perkalian istimewa
Ketujuh rumus perkalian istimewa ini mudah dilihat dalam satu tabel. Huruf \(a\) dan \(b\) di sini adalah ekspresi apa pun: angka, variabel, atau suku tunggal seperti \(2x\).
| Rumus | Penulisan |
|---|---|
| Kuadrat jumlah | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kuadrat selisih | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Selisih kuadrat | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kubik jumlah | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kubik selisih | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Jumlah kubik | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Selisih kubik | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kuadrat jumlah dan kuadrat selisih
Kuadrat jumlah diperoleh jika kita mengalikan \((a+b)\) dengan dirinya sendiri:
Dalam kata lain: kuadrat jumlah sama dengan kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua. Begitu pula dengan kuadrat selisih — tanda pada suku tengah menjadi minus:
Yang terpenting — jangan sampai menghilangkan suku tengah \(2ab\): karena suku inilah \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Perbedaan antara kuadrat jumlah dan kuadrat selisih hanyalah tanda sebelum \(2ab\), sedangkan suku tepi \(a^2\) dan \(b^2\) selalu bertanda positif.
Contoh. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kuadrat jumlah memiliki makna geometris yang jelas: ini adalah luas persegi besar dengan sisi \((a+b)\).
Selisih kuadrat
Jika kita mengalikan jumlah dan selisih dari ekspresi yang sama, suku-suku tengah akan saling meniadakan:
Inilah rumus selisih kuadrat: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ini adalah FPI yang paling berguna untuk pemfaktoran: begitu melihat selisih dua kuadrat, segera faktorkan menjadi perkalian.
Contoh (menjabarkan kurung). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Contoh (memfaktorkan). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Penting: jumlah kuadrat \(a^2 + b^2\) tidak dapat difaktorkan dengan rumus ini — hanya selisih yang bisa.
Kubik jumlah, kubik selisih, jumlah dan selisih kubik
Kubik jumlah dan kubik selisih sudah mengandung empat suku:
Pada kubik selisih, tanda berselang-seling: \(+\,-\,+\,-\). Sekali lagi, jebakan umum: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — kita tidak bisa begitu saja "membagikan" pangkat, suku tengah \(3a^2b\) dan \(3ab^2\) tidak boleh hilang.
Contoh. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Secara terpisah terdapat jumlah dan selisih kubik — sebaliknya, rumus ini memfaktorkan ekspresi:
Faktor kedua disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah atau selisih. Tanda pada suku tengahnya selalu berlawanan dengan tanda pada kurung pertama: untuk jumlah kubik — \(-ab\), untuk selisih kubik — \(+ab\).
Contoh. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Contoh penerapan rumus perkalian istimewa
Contoh 1. Menjabarkan kurung: kuadrat jumlah
Soal. Kuadratkan \((2x+5)^2\).
Langkah 1. Kenali rumus kuadrat jumlah: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), di mana \(a = 2x\), \(b = 5\).
Langkah 2. Hitung setiap suku:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Jawaban. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Contoh 2. Mengubah ke rumus selisih kuadrat
Soal. Tentukan hasil dari \((3x-4)(3x+4)\).
Langkah 1. Ini adalah perkalian selisih dan jumlah dari ekspresi yang sama — ini adalah selisih kuadrat \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), di mana \(a = 3x\), \(b = 4\).
Langkah 2. Kuadratkan setiap ekspresi: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Jawaban. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Contoh 3. Memfaktorkan
Soal. Faktorkan \(x^2 - 36\) dan \(x^3 + 27\).
Selisih kuadrat. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Jumlah kubik. Perhatikan bahwa \(27 = 3^3\), jadi \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Terapkan rumus \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) dengan \(a = x\), \(b = 3\):
Perhatikan tanda \(-3x\) pada kuadrat tidak lengkap — pada jumlah kubik, suku tengah bertanda negatif.
Contoh 4. Kubik jumlah
Soal. Jabarkan kurung \((x+2)^3\).
Langkah 1. Rumus kubik jumlah: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), di mana \(a = x\), \(b = 2\).
Langkah 2. Hitung suku-sukunya secara berurutan:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Jawaban. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Kesalahan umum saat menggunakan FPI
-
Melupakan dua kali hasil kali: menulis $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Dalam kuadrat jumlah dan selisih selalu ada suku tengah \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Mudah untuk mengeceknya — jabarkan \((a+b)(a+b)\) secara bersusun, dan suku tengah akan muncul dengan sendirinya.
-
Tertukar tanda pada kuadrat selisih dan selisih kuadrat.
Pada kuadrat selisih, tanda minus hanya ada pada suku tengah: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (suku tepi bertanda positif). Sedangkan pada selisih kuadrat, tanda minus ada di antara kuadrat-kuadrat itu sendiri: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ini adalah rumus yang berbeda.
-
"Membagikan" pangkat pada kubik: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Tidak boleh dilakukan. Kubik jumlah mengandung empat suku: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Rumus \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — adalah hal yang berbeda (jumlah kubik), rumus ini digunakan untuk pemfaktoran.
-
Pada kuadrat tidak lengkap dari jumlah/selisih kubik, mereka menuliskan dua kali hasil kali $2ab$.
Kuadrat tidak lengkap adalah \(a^2 \pm ab + b^2\), tanpa angka dua di depan \(ab\). Tandanya berlawanan dengan tanda kurung pertama: jumlah kubik \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), selisih kubik \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Mencoba memfaktorkan jumlah kuadrat $a^2 + b^2$.
Yang dapat difaktorkan hanyalah selisih kuadrat \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Jumlah kuadrat \(a^2 + b^2\) dalam kurikulum sekolah tidak dapat difaktorkan.
Tanya jawab
Ada berapa total rumus perkalian istimewa?
Tujuh: kuadrat jumlah, kuadrat selisih, selisih kuadrat, kubik jumlah, kubik selisih, jumlah kubik, dan selisih kubik. Semuanya terangkum dalam tabel di atas.
Berapakah hasil kuadrat jumlah?
Kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Pada kuadrat selisih, suku tengah bertanda minus: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Bagaimana cara memfaktorkan selisih kuadrat?
Dengan rumus \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Contohnya, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Cukup dengan melihat bahwa kedua suku adalah kuadrat sempurna, dan di antara keduanya terdapat tanda minus.
Mengapa $(a+b)^2$ tidak sama dengan $a^2 + b^2$?
Karena saat mengalikan \((a+b)(a+b)\), muncul dua suku \(ab\) yang sama, yang menghasilkan suku tengah \(2ab\). Suku ini tidak boleh hilang: yang benar adalah \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Apa perbedaan antara kubik jumlah dan jumlah kubik?
Kubik jumlah \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — adalah penjabaran kurung. Jumlah kubik \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — sebaliknya, adalah pemfaktoran ekspresi. Ini adalah rumus yang berbeda, jangan tertukar.
Di kelas berapa rumus perkalian istimewa dipelajari?
Biasanya di kelas 7 pada pelajaran aljabar: dimulai dengan kuadrat jumlah dan selisih, selisih kuadrat, kemudian rumus untuk kubik. Rumus-rumus ini digunakan secara aktif selanjutnya untuk menyederhanakan ekspresi, menyederhanakan pecahan, dan menyelesaikan persamaan.
