Pertidaksamaan Rasional adalah pertidaksamaan berbentuk \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) adalah polinomial, dan tanda \(>\) dapat diganti dengan \(<\), \(\ge\), atau \(\le\). Pertidaksamaan seperti ini diselesaikan dengan metode interval: pindahkan semuanya ke sisi kiri, faktorkan, tandai nol pembilang dan nol penyebut pada sumbu bilangan, lalu tentukan tandanya. Di bawah ini adalah definisi, algoritma lengkap, aturan titik kosong, pangkat akar, contoh yang dibahas, dan pelatih dengan pemeriksaan.
Apa itu Pertidaksamaan Rasional
Pertidaksamaan Rasional adalah pertidaksamaan yang kedua sisinya ditulis dalam bentuk ekspresi rasional, yaitu polinomial dan pecahan dari polinomial. Setelah memindahkan semuanya ke satu sisi, pertidaksamaan ini selalu dapat direduksi ke bentuk
di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) adalah polinomial, dan \(\vee\) adalah salah satu dari tanda \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Di sisi kanan harus nol — ini adalah syarat agar metode interval berfungsi.
Pertidaksamaan rasional dibagi menjadi dua jenis. Jika variabel hanya muncul di pembilang, pertidaksamaan disebut rasional murni: tidak ada pembagian, dan semua nilai \(x\) cocok. Jika variabel ada di penyebut, pertidaksamaan disebut rasional pecahan (juga disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan dengan pecahan) — dan kemudian segera muncul batasan \(Q(x) \neq 0\).
Mengapa tidak boleh mengalikan kedua sisi dengan penyebut
Godaan terbesar saat menyelesaikan pertidaksamaan pecahan adalah 'menghilangkan penyebut' dengan mengalikannya di kedua sisi. Ini boleh dilakukan untuk persamaan, tetapi tidak untuk pertidaksamaan. Alasannya sederhana: saat mengalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik, dan tanda ekspresi \(Q(x)\) tidak diketahui sebelumnya — ia bergantung pada \(x\).
Mari kita lihat pertidaksamaan \(\frac{5}{x-3} < 1\). Kalikan kedua sisi dengan \(x - 3\), seolah-olah itu bilangan positif: hasilnya \(5 < x - 3\), atau \(x > 8\). Mari kita periksa jawabannya dengan substitusi \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — pertidaksamaan benar, jadi nol juga merupakan solusi, tetapi tidak termasuk dalam jawaban \(x > 8\). Jawaban hilang.
Cara yang benar adalah memindahkan semuanya ke kiri dan menyatukannya menjadi satu pecahan:
Pada langkah terakhir, kita mengalikan kedua sisi dengan \(-1\) dan membalik tandanya — ini sah karena \(-1\) selalu negatif. Selanjutnya, metode interval bekerja, dan jawabannya adalah \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — ini mencakup nol yang hilang.
Cara termudah untuk mengingatnya adalah: jangan mengalikan kedua sisi dengan ekspresi yang mengandung variabel, tetapi pindahkan suku-sukunya — ini selalu boleh. Memindahkan tidak mengubah tanda pertidaksamaan.
Metode Interval: Algoritma Penyelesaian Langkah demi Langkah
Metode interval didasarkan pada satu sifat: antara dua nol berurutan dari ekspresi rasional, tandanya konstan. Ini berarti cukup untuk menemukan semua titik di mana pembilang atau penyebut menjadi nol, membagi sumbu bilangan dengan titik-titik ini, dan menentukan tanda di setiap interval — menggunakan satu titik uji atau dengan pangkat akar.
Titik Kosong dan Titik Terisi: ODZ dan Tanda Pertidaksamaan
Kesalahan pada satu kurung dapat mengubah solusi yang benar menjadi jawaban yang salah, jadi aturan tentang titik sebaiknya dipelajari secara terpisah. Hanya dua pertimbangan yang berlaku.
Pertama — daerah definisi yang diizinkan (ODZ). Nol penyebut selalu titik kosong, terlepas dari tanda pertidaksamaan. Pada titik ini, pecahan tidak terdefinisi: tidak boleh membagi dengan nol, jadi angka tersebut tidak bisa menjadi solusi, bahkan jika tandanya tidak ketat.
Kedua — tanda ketat atau tidak ketat. Nol pembilang membuat pecahan menjadi nol. Jika tandanya tidak ketat (\(\le\) atau \(\ge\)), kesetaraan dengan nol dapat diterima, jadi titik tersebut diisi dan dimasukkan ke dalam jawaban dengan tanda kurung siku. Jika tandanya ketat (\(<\) atau \(>\)), nol tidak cocok, dan titik tersebut menjadi titik kosong.
Misalnya, untuk pertidaksamaan \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), titik \(x = 6\) diisi (nol pembilang, tanda tidak ketat), sedangkan titik \(x = -1\) adalah titik kosong (nol penyebut). Jawaban: \(x \in (-1; 6]\).
| Titik Apa | Cara Menandai |
|---|---|
| Nol penyebut, Q(x) = 0 | titik kosong selalu, dengan tanda apa pun — titik tidak ada dalam ODZ |
| Nol pembilang, tanda ketat < atau > | titik kosong pecahan bernilai nol, tetapi tanda yang berbeda diperlukan |
| Nol pembilang, tanda tidak ketat ≤ atau ≥ | titik terisi kesetaraan dengan nol dapat diterima, titik masuk ke dalam jawaban |
Pangkat Akar: Kapan Tanda Berubah, Kapan Tidak
Tanda pada interval tidak harus bergantian — ini adalah kesalahpahaman paling umum dalam topik ini. Pergantian hanya terjadi ketika semua kurung berpangkat satu. Aturan yang lebih tepat adalah menggunakan pangkat akar — eksponen dari kurung yang sesuai.
Saat melintasi akar dengan pangkat ganjil (pangkat 1, 3, 5), tanda ekspresi berubah. Saat melintasi akar dengan pangkat genap (pangkat 2, 4), tanda tidak berubah: kurung berpangkat genap tidak negatif dan tidak merusak tanda ekspresi. Pangkat dihitung sama untuk pembilang dan penyebut.
Ambil \((x-9)^2(x+3) > 0\). Akar-akarnya: \(x = 9\) dengan pangkat 2 dan \(x = -3\) dengan pangkat 1. Di sebelah kanan sembilan, ekspresi positif. Melintasi 9 — pangkat genap, tanda tetap sama, pada interval \((-3; 9)\) juga positif. Melintasi -3 — pangkat ganjil, tanda berubah menjadi negatif. Jawaban untuk pertidaksamaan ketat: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), titik 9 adalah titik kosong karena ekspresi bernilai nol di sana. Namun, untuk pertidaksamaan tidak ketat \((x-9)^2(x+3) \ge 0\), jawabannya berbeda: \(x \in [-3; +\infty)\) — sembilan diisi dan 'menyatukan' dua interval menjadi satu.
| Pangkat Akar | Tanda Saat Melintasi |
|---|---|
| Ganjil: (x − a), (x − a)3 | berubah |
| Genap: (x − a)2, (x − a)4 | tidak berubah |
Sumbu Bilangan pada Contoh: Menentukan Tanda
Mari kita rangkum semuanya pada pertidaksamaan \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nol pembilang: \(x = -7\). Nol penyebut: \(x = 2\) dan \(x = 5\), yang juga menentukan ODZ. Ketiga kurung berpangkat satu, jadi tanda bergantian. Titik uji \(x = 10\) pada interval paling kanan memberikan \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — mulai dengan positif dan bergerak ke kiri, mengubah tanda pada setiap titik.
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional
Contoh 1. Pertidaksamaan Pecahan Sederhana
Selesaikan \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Langkah 1. Nol sudah di sisi kanan, pecahan sudah tunggal — tidak perlu memindahkan atau menyatukan.
Langkah 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), yaitu \(x \neq -5\).
Langkah 3. Nol. Pembilang bernilai nol saat \(x = 3\), penyebut — saat \(x = -5\).
Langkah 4. Titik pada sumbu. \(x = 3\) diisi (nol pembilang, tanda tidak ketat), \(x = -5\) titik kosong (nol penyebut).
Langkah 5. Tanda. Titik uji \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — positif di kanan. Kedua kurung berpangkat satu, jadi tanda bergantian: pada \((-5; 3)\) negatif, pada \((-\infty; -5)\) positif. Periksa: saat \(x = -6\) kita mendapatkan \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — cocok.
Langkah 6. Jawaban. Diperlukan tanda "plus atau nol": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Contoh 2. Bukan Nol di Sisi Kanan — Pindahkan
Selesaikan \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Langkah 1. Pindahkan satu ke kiri. Tidak boleh mengalikan dengan \(x - 4\), karena tanda ekspresi ini tidak diketahui:
Langkah 2. Satukan menjadi satu pecahan.
Langkah 3. ODZ. \(x \neq 4\).
Langkah 4. Titik. \(x = -5\) — nol pembilang, tanda tidak ketat, diisi. \(x = 4\) — nol penyebut, titik kosong.
Langkah 5. Tanda. Saat \(x = 5\) pecahan bernilai \(\frac{10}{1} > 0\). Jadi pada \((4; +\infty)\) positif, pada \((-5; 4)\) negatif, pada \((-\infty; -5)\) positif.
Langkah 6. Jawaban. \(x \in [-5; 4)\). Pemeriksaan titik batas: saat \(x = -5\) pecahan bernilai nol — cocok untuk \(\le\); saat \(x = 4\) pecahan tidak terdefinisi — tidak cocok.
Contoh 3. Akar Pangkat Genap dan Titik Terisolasi
Selesaikan \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Langkah 1. ODZ. \(x \neq 9\).
Langkah 2. Nol dan Pangkat. \(x = 2\) — pangkat 2 (genap), \(x = -6\) — pangkat 1, \(x = 9\) — pangkat 1 di penyebut.
Langkah 3. Titik. \(x = 2\) dan \(x = -6\) diisi (nol pembilang dengan tanda tidak ketat), \(x = 9\) titik kosong.
Langkah 4. Tanda. Titik uji \(x = 10\): pembilang positif, penyebut bernilai 1 — positif. Bergerak ke kiri. Melintasi 9 (pangkat ganjil) tanda berubah: pada \((2; 9)\) negatif. Melintasi 2 (pangkat genap) tanda tidak berubah: pada \((-6; 2)\) juga negatif. Melintasi -6 (pangkat ganjil) tanda berubah: pada \((-\infty; -6)\) positif.
Langkah 5. Jawaban. Ambil interval dengan tanda "plus" ditambah semua titik di mana ekspresi bernilai nol. Titik \(x = 2\) berada di dalam interval negatif, tetapi ekspresi itu sendiri bernilai nol di sana, jadi ia masuk ke dalam jawaban secara terpisah:
Titik 'tunggal' seperti itu dalam jawaban adalah ciri pasti dari akar pangkat genap dengan tanda tidak ketat.
Contoh 4. Menyederhanakan Pecahan: Jebakan ODZ
Selesaikan \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Langkah 1. Faktorkan. Pembilang adalah kuadrat sempurna: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Untuk penyebut, hitung diskriminan: \(D = 81 + 40 = 121\), akar \(x_1 = \frac{1}{5}\) dan \(x_2 = -2\), jadi \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Langkah 2. ODZ — sebelum penyederhanaan apa pun. \(5x - 1 \neq 0\) dan \(x + 2 \neq 0\), yaitu \(x \neq \frac{1}{5}\) dan \(x \neq -2\).
Langkah 3. Sederhanakan. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), tetapi hanya jika \(x \neq \frac{1}{5}\) — penyederhanaan tidak mengembalikan titik kosong.
Langkah 4. Selesaikan \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nol: \(\frac{1}{5}\) dan \(-2\). Saat \(x = 1\) pecahan bernilai \(\frac{4}{3} > 0\). Jadi pada \((\frac{1}{5}; +\infty)\) positif, pada \((-2; \frac{1}{5})\) negatif, pada \((-\infty; -2)\) positif.
Langkah 5. Kembalikan ODZ. Interval \((-2; \frac{1}{5}]\) akan cocok berdasarkan tanda, tetapi titik \(\frac{1}{5}\) adalah titik kosong: dalam pertidaksamaan asli, penyebut \(5x^2+9x-2\) pada \(x = \frac{1}{5}\) bernilai nol, pecahan tidak terdefinisi di sana.
Jawaban: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — kedua kurung bulat.
Contoh 5. Polinomial Kuadrat di Pembilang
Selesaikan \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Langkah 1. Faktorkan pembilang. Berdasarkan teorema Vieta, jumlah akar adalah 7, hasil kali 10, jadi \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Pertidaksamaan menjadi \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Langkah 2. ODZ. \(x \neq -4\).
Langkah 3. Titik. Ketiga titik kosong: \(-4\) — nol penyebut, \(2\) dan \(5\) — nol pembilang dengan tanda ketat.
Langkah 4. Tanda. Titik uji \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Semua kurung berpangkat satu, jadi tanda bergantian: pada \((5; +\infty)\) positif, pada \((2; 5)\) negatif, pada \((-4; 2)\) positif, pada \((-\infty; -4)\) negatif.
Langkah 5. Jawaban. Diperlukan tanda "minus" ketat: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrol substitusi: saat \(x = -5\) kita mendapatkan \(\frac{70}{-1} < 0\), saat \(x = 3\) kita mendapatkan \(\frac{-2}{7} < 0\) — kedua interval cocok.
Kesalahan Umum Saat Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional
-
Mengalikan kedua sisi dengan penyebut: dari $\frac{3}{x-8} > 1$ menjadi $3 > x - 8$ dan menulis $x < 11$.
Tanda ekspresi \(x - 8\) tidak diketahui sebelumnya, dan saat mengalikan dengan negatif, pertidaksamaan dibalik. Pemeriksaan: \(x = 0\) menghasilkan \(\frac{3}{-8} < 1\) — nol bukan solusi, meskipun masuk ke dalam jawaban \(x < 11\). Cara yang benar: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), yaitu \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), dari mana \(x \in (8; 11)\).
-
Mengisi nol penyebut karena tandanya tidak ketat: untuk $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ menulis jawaban dengan tanda kurung siku di dekat tujuh.
Nol penyebut selalu titik kosong, dengan tanda apa pun: pecahan tidak terdefinisi pada titik ini. Jawaban yang benar: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — untuk satu tanda kurung siku, untuk tujuh tanda kurung bulat.
-
Menyederhanakan pecahan dan kehilangan ODZ: dari $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ mendapatkan $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ dan memasukkan titik $x = -3$ ke dalam jawaban.
ODZ ditulis sebelum penyederhanaan, berdasarkan penyebut asli: \(x \neq -3\) dan \(x \neq 5\). Pecahan yang disederhanakan \(\frac{x+3}{x-5}\) bernilai non-positif pada \([-3; 5)\) — saat \(x = 0\) ia bernilai \(-0{,}6\), yang diperlukan untuk tanda \(\le\). Tetapi titik \(-3\) adalah titik kosong berdasarkan ODZ, jadi jawabannya adalah \((-3; 5)\), bukan \([-3; 5)\).
-
Menganggap bahwa tanda pada interval selalu bergantian, dan untuk $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ menempatkan minus di sebelah kanan satu.
Pergantian tanda hanya benar jika kurung berpangkat satu. Akar \(x = 1\) memiliki pangkat 2, jadi tanda tidak berubah saat melintasinya. Ekspresi positif di seluruh \((-4; +\infty)\), kecuali di satu itu sendiri, di mana ia bernilai nol. Jawaban: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Mengubah tanda pertidaksamaan saat memindahkan suku: dari $\frac{x}{x-2} \le 3$ menjadi $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Memindahkan suku dari satu sisi ke sisi lain tidak mengubah tanda pertidaksamaan — hanya tanda suku itu sendiri yang berubah. Tanda hanya dibalik saat mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif. Cara yang benar: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), selanjutnya \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), yaitu \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Menandai hanya nol pembilang pada sumbu, dan memeriksa penyebut 'nanti': untuk $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ menempatkan satu titik -11.
Semua nol ditandai pada sumbu sekaligus — baik nol pembilang maupun penyebut, jika tidak interval akan salah. Di sini \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), jadi ada tiga titik: \(-11\), \(-4\) dan \(4\), bukan satu. Semuanya titik kosong (tanda ketat), jawaban: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Pertanyaan dan Jawaban
Apa itu pertidaksamaan rasional?
Ini adalah pertidaksamaan yang kedua sisinya adalah ekspresi rasional (polinomial dan pecahan dari polinomial). Setelah memindahkan semuanya ke sisi kiri, ia dapat direduksi ke bentuk \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), di mana \(P(x)\) dan \(Q(x)\) adalah polinomial, dan tanda \(>\) dapat diganti dengan \(<\), \(\le\), atau \(\ge\).
Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional?
Dengan metode interval dalam enam langkah: pindahkan semuanya ke kiri sehingga nol tersisa di kanan; satukan menjadi satu pecahan dan faktorkan pembilang serta penyebut; tuliskan ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); tandai nol pembilang dan penyebut pada sumbu bilangan; tentukan tanda pada interval menggunakan titik uji dan pangkat akar; tuliskan interval dengan tanda yang benar sebagai jawaban.
Apa perbedaan antara pertidaksamaan rasional pecahan dan rasional murni?
Pada rasional murni, variabel hanya muncul di pembilang, misalnya \((x-1)(x+4) > 0\), dan ODZ adalah semua bilangan real. Pada rasional pecahan, variabel muncul di penyebut, misalnya \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), dan ada batasan \(x \neq -4\). Algoritmanya sama — hanya titik kosong yang berbeda.
Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan pecahan?
Sama seperti pertidaksamaan rasional lainnya: pertama, pindahkan semuanya ke sisi kiri dan satukan menjadi satu pecahan, jangan menghilangkan penyebut. Misalnya, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) menjadi \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), yaitu \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Pembilang konstan dan negatif, jadi pecahan non-negatif hanya jika penyebut negatif: \(x + 2 < 0\). Jawaban: \(x \in (-\infty; -2)\).
Mengapa tidak boleh mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan penyebut?
Karena tanda penyebut bergantung pada \(x\): saat mengalikan dengan ekspresi positif, tanda pertidaksamaan tetap sama, tetapi saat mengalikan dengan negatif — ia dibalik. Tidak diketahui sebelumnya kasus mana yang Anda hadapi, sehingga sebagian solusi hilang dan sebagian lagi ditambahkan secara keliru. Memindahkan suku selalu boleh — pemindahan tidak mengubah tanda pertidaksamaan.
Bagaimana cara menemukan ODZ dalam pertidaksamaan?
Untuk pertidaksamaan rasional, ODZ adalah semua nilai \(x\) di mana penyebut tidak bernilai nol. Samakan penyebut dengan nol, selesaikan persamaan, dan kecualikan angka-angka yang ditemukan. Tuliskan ODZ berdasarkan penyebut asli, sebelum menyederhanakan pecahan — jika tidak, titik kosong akan hilang.
Titik mana yang kosong, dan mana yang terisi?
Nol penyebut selalu titik kosong, dengan tanda pertidaksamaan apa pun. Nol pembilang diisi jika tandanya tidak ketat (\(\le\) atau \(\ge\)) dan menjadi titik kosong jika tandanya ketat (\(<\) atau \(>\)). Dalam notasi jawaban, titik kosong sesuai dengan tanda kurung bulat, titik terisi — tanda kurung siku.
Apa itu pangkat akar dan mengapa diperlukan dalam metode interval?
Pangkat adalah eksponen di mana kurung muncul dalam faktorisasi. Saat melintasi akar dengan pangkat ganjil, tanda ekspresi berubah, saat melintasi akar dengan pangkat genap — ia tetap sama. Inilah sebabnya mengapa tanda tidak selalu bergantian: untuk \((x-9)^2(x+3)\) pada titik 9, tanda tetap sama.
Pada kelas berapa pertidaksamaan rasional dipelajari?
Pada kelas 9 dalam pelajaran aljabar, setelah pertidaksamaan kuadrat dan faktorisasi polinomial. Metode interval selanjutnya digunakan untuk pertidaksamaan eksponensial, logaritmik, dan irasional, serta dalam soal-soal OGE dan ЕГЭ tingkat profil.
