Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika \(ax^2 + bx + c = 0\), gdje je \(a \neq 0\). Broj njezinih korijena određuje diskriminanta \(D = b^2 - 4ac\), a sami korijeni se pronalaze pomoću formule \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Na ovoj stranici pronaći ćeš sve o ovoj temi: standardni oblik i koeficijente, tri vrste nepotpunih jednadžbi, diskriminantu i tri slučaja, formulu za korijene i njezinu „parnu” varijantu, normiranu jednadžbu i Vièteove formule, rastavljanje na faktore i bikvadratne jednadžbe — uz primjere korak po korak, analizu čestih pogrešaka i interaktivni vježbač.
Što je kvadratna jednadžba
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika
koja sadrži nepoznanicu \(x\), dok su \(a\), \(b\), \(c\) brojevi (koeficijenti), pri čemu je \(a \neq 0\). Takav zapis nazivamo standardnim oblikom kvadratne jednadžbe: s lijeve strane članovi su poredani po padajućim potencijama, a s desne strane stoji nula.
Uvjet \(a \neq 0\) nije formalnost. Upravo član \(ax^2\) čini jednadžbu kvadratnom: ako je \(a = 0\), ostaje \(bx + c = 0\), što je obična linearna jednadžba s jednim korijenom. Zato se u zadacima s parametrom prvo provjerava ne poništava li se vodeći koeficijent.
Jednadžbu možemo gotovo uvijek svesti na standardni oblik: uklanjanjem zagrada, prebacivanjem svih članova na lijevu stranu i zbrajanjem sličnih članova. Na primjer, \(5x^2 = 3x - 2\) nakon prebacivanja postaje \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), odakle je \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe
Ako su sva tri koeficijenta različita od nule, jednadžbu nazivamo potpunom. Ako su \(b\) ili \(c\) (ili oba) jednaki nuli — nepotpunom. Postoje točno tri vrste nepotpunih jednadžbi i nijedna ne zahtijeva diskriminantu: svaka se rješava u jednom ili dva retka, što je najbrži način za uštedu vremena na ispitu.
Ključna ideja za \(ax^2 + bx = 0\) je izlučivanje zajedničkog faktora. Umnožak \(x(ax + b)\) jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan faktor jednak nuli, što odmah daje dva korijena. Za \(ax^2 + c = 0\) ideja je drugačija: izolirati \(x^2\) i provjeriti predznak dobivenog broja — kvadrat realnog broja ne može biti negativan.
| Vrsta jednadžbe | Kako riješiti |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Prebaci c udesno i podijeli s a: x2 = −c/a. Korjenuj, pazeći na oba predznaka.x = 5 i x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Izluči x: x(ax + b) = 0. Umnožak je nula kada je jedan od faktora nula.x = 0 i x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Podijeli s a i korjenuj nulu. Postoji točno jedan korijen.x = 0 |
Diskriminanta: kako je pronaći i koliko će biti korijena
Diskriminanta je broj koji se računa pomoću koeficijenata potpune jednadžbe:
Sama riječ znači „razlikovatelj”: diskriminanta ne rješava jednadžbu, ona samo razlikuje tri situacije — dva korijena, jedan korijen ili nijedan korijen. Zato se pitanje „koliko korijena ima jednadžba” rješava bez pronalaženja samih korijena.
\(D\) treba računati pažljivo: \(b^2\) je uvijek pozitivan, čak i ako je sam \(b\) negativan, a predznaci \(a\) i \(c\) ulaze u umnožak \(4ac\) onakvi kakvi jesu. Uzmimo \(x^2 + 4x - 5 = 0\): ovdje je \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), dakle \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminanta je pozitivna, pa će biti dva korijena.
Formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je \(D \ge 0\), korijene pronalazimo pomoću glavne formule ove teme:
Znak \(\pm\) označava dva izračuna: jedan sa zbrajanjem, drugi s oduzimanjem. Kada je \(D = 0\), oba izračuna daju isti broj \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — taj korijen nazivamo dvostrukim.
Dvije su česte pogreške: u brojniku stoji minus \(b\) (za \(b = -7\) to je \(+7\)), a u nazivniku je \(2a\), a ne samo \(2\). Kada je \(a = 1\), razlika se ne vidi, pa se pogreška javlja upravo tamo gdje vodeći koeficijent nije jedan.
Riješimo \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), stoga \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) i \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Parni linearni koeficijent: formula s D₁
Ako je \(b\) paran broj, zgodno ga je zapisati kao \(b = 2k\) i računati „smanjenu” diskriminantu:
Brojevi u izračunima postaju četiri puta manji (\(D = 4D_1\)), a predznak \(D_1\) je isti kao kod \(D\) — dakle, zaključak o broju korijena se ne mijenja.
Primjer: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Ovdje je \(b = 8\), dakle \(k = 4\), i \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Tada je \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) i \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Pomoću obične formule radili bismo s \(D = 100\) — rezultat je isti, ali je aritmetike više.
Normirana jednadžba i Vièteove formule
Jednadžbu s \(a = 1\) nazivamo normiranom i zapisujemo kao \(x^2 + px + q = 0\). Svaka se kvadratna jednadžba može svesti na taj oblik dijeljenjem s \(a\): na primjer, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) nakon dijeljenja s 4 postaje \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Normirani oblik je vrijedan jer za njega vrijede Vièteove formule: zbroj korijena jednak je \(-p\), a umnožak je \(q\). Za \(x^2 - 7x + 10 = 0\) trebamo dva broja čiji je zbroj 7, a umnožak 10 — to su 2 i 5, pa nismo morali računati diskriminantu.
Odabir pomoću Vièteovih formula pomaže kada su korijeni cijeli i mali, a služi i kao besplatna provjera odgovora pronađenog pomoću diskriminante: zbroj mora dati \(-p\), a umnožak \(q\). Formule za opći oblik, obrnuti teorem i algoritam odabira obrađeni su u zasebnom materijalu — Vièteove formule.
Rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore
Ako su korijeni \(x_1\) i \(x_2\) pronađeni, kvadratni trinom se rastavlja na faktore:
Faktor \(a\) ne smijemo zaboraviti — bez njega jednakost prestaje biti točna. Provjera rastavljanja je uvijek jednostavna: ukloni zagrade i usporedi s izvornim trinomom. Recimo, kod \(x^2 + 2x - 8\) korijeni su 2 i \(-4\), stoga je \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Radi i obrnuti postupak: ako trinom uspiješ rastaviti napamet, korijeni su odmah vidljivi i diskriminanta nije potrebna. Ovdje pomažu formule za skraćeno množenje — na primjer, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) daje korijene \(4\) i \(-4\) trenutno.
Treći način za izbjegavanje formule za korijene je nadopunjavanje do potpunog kvadrata. U \(x^2 + 6x + 5 = 0\) prva dva člana nadopunjujemo do kvadrata zbroja: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), odnosno \((x + 3)^2 = 4\), odakle je \(x + 3 = \pm 2\) i \(x = -1\) ili \(x = -5\). Upravo se tim postupkom izvodi opća formula za korijene.
Jednadžbe koje se svode na kvadratne: bikvadratne
Bikvadratna jednadžba ima oblik \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): potencije su samo parne. Rješava se supstitucijom \(t = x^2\), uz obavezan uvjet \(t \ge 0\) — kvadrat realnog broja ne može biti negativan.
Nakon supstitucije dobivamo običnu kvadratnu jednadžbu \(at^2 + bt + c = 0\). Rješavamo je diskriminantom, a zatim se za svaki nenegativni korijen \(t\) vraćamo na \(x = \pm\sqrt{t}\). Odatle i broj korijena: do četiri.
Na primjer, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) nakon supstitucije daje \(t^2 - 5t + 4 = 0\) s korijenima \(t = 1\) i \(t = 4\). Oba su pozitivna, stoga je \(x = \pm 1\) i \(x = \pm 2\) — ukupno četiri korijena. Da je jedan od \(t\) bio negativan, jednostavno bismo ga odbacili.
Istom metodom rješavamo racionalne jednadžbe (nakon svođenja na zajednički nazivnik i odbacivanja nedopuštenih vrijednosti) i jednadžbe sa supstitucijom oblika \(t = x^2 + 3x\).
Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi
Primjer 1. Potpuna jednadžba, D > 0
Riješi \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
1. korak. Jednadžba je već u standardnom obliku: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
2. korak. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — dva korijena.
3. korak. \(\sqrt{D} = 5\), stoga \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
4. korak. Provjera uvrštavanjem. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Primjer 2. Diskriminanta je jednaka nuli
Riješi \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
1. korak. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
2. korak. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — jedan korijen.
3. korak. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
4. korak. Provjera. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Odgovor: \(x = 1{,}5\). Primijeti: lijeva strana je potpuni kvadrat \((2x - 3)^2\), zato je korijen samo jedan.
Primjer 3. Diskriminanta je negativna
Riješi \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
1. korak. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
2. korak. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
3. korak. Diskriminanta je negativna, što znači da \(\sqrt{D}\) nije moguće izračunati u skupu realnih brojeva. Formulu za korijene ne treba primjenjivati — rješavanje je ovdje završeno.
Odgovor: nema realnih korijena. To je potpun odgovor, a ne znak pogreške: graf funkcije \(y = 2x^2 + 3x + 5\) jednostavno ne siječe os \(x\).
Primjer 4. Nepotpuna jednadžba oblika ax² + c = 0
Riješi \(3x^2 - 27 = 0\).
1. korak. Prebacujemo slobodni član: \(3x^2 = 27\).
2. korak. Dijelimo s 3: \(x^2 = 9\).
3. korak. Kvadrat je 9 kod dva broja: \(x = 3\) i \(x = -3\). Drugi predznak se najčešće gubi.
4. korak. Provjera. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Usporedi s jednadžbom \(2x^2 + 8 = 0\): tamo je \(x^2 = -4\), pa nema realnih korijena.
Primjer 5. Nepotpuna jednadžba oblika ax² + bx = 0
Riješi \(5x^2 - 15x = 0\).
1. korak. Izlučujemo zajednički faktor: \(5x(x - 3) = 0\).
2. korak. Umnožak je nula kada je jedan od faktora nula: \(5x = 0\) ili \(x - 3 = 0\).
3. korak. Odatle \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
4. korak. Provjera. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Ako skratiš izvornu jednadžbu s \(x\), ostat će samo \(x = 3\) — korijen \(x = 0\) će nestati. Dijeljenje s izrazom koji sadrži nepoznanicu nije dopušteno.
Primjer 6. Parni linearni koeficijent
Riješi \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
1. korak. \(b = -22\) — paran je, stoga \(k = -11\), a \(a = 5\), \(c = 8\).
2. korak. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
3. korak. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
4. korak. Provjera. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Obična diskriminanta dala bi \(D = 324\) — isti odgovor, ali bi računanje trajalo duže.
Primjer 7. Prvo svedi na standardni oblik
Riješi \((x - 3)(x + 5) = 9\).
1. korak. Uklanjamo zagrade: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), odnosno \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
2. korak. Prebacujemo devetku ulijevo: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Tek sada možemo zapisati koeficijente: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
3. korak. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
4. korak. Provjera u izvornoj jednadžbi. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Česta pogreška ovdje je izjednačavanje svake zagrade s 9: pravilo „umnožak je nula” vrijedi samo za nulu.
Primjer 8. Rastavljanje trinoma na faktore
Rastavi \(2x^2 - 5x - 3\) na faktore.
1. korak. Izjednačavamo trinom s nulom i pronalazimo korijene: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
2. korak. Uvrštavamo u formulu \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
3. korak. Dvojku je zgodno unijeti u drugu zagradu: \((x - 3)(2x + 1)\).
4. korak. Provjera množenjem. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Odgovor: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Primjer 9. Bikvadratna jednadžba
Riješi \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
1. korak. Supstitucija \(t = x^2\), gdje je \(t \ge 0\). Jednadžba postaje \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
2. korak. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
3. korak. Obje vrijednosti su nenegativne, stoga se vraćamo na \(x\): iz \(x^2 = 9\) dobivamo \(x = \pm 3\), iz \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
4. korak. Provjera. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Za negativne vrijednosti parne potencije daju iste brojeve.
Odgovor: \(x = \pm 2\) i \(x = \pm 3\) — četiri korijena.
Česte pogreške pri rješavanju kvadratnih jednadžbi
-
Računaju diskriminantu bez svođenja jednadžbe na standardni oblik: za $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ odmah uzimaju $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Prvo prebaci sve ulijevo i zbroji slične članove: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), odnosno \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Tek odavde je \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Formula za korijene radi isključivo sa standardnim oblikom.
-
Gube predznak pri kvadriranju $b$: za $x^2 - 9x + 14 = 0$ pišu $D = -81 - 56$.
Kvadrat bilo kojeg broja je nenegativan: \((-9)^2 = 81\), a ne \(-81\). Točno je \(D = 81 - 56 = 25\), korijeni su \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), odnosno 7 i 2. Provjera: \(49 - 63 + 14 = 0\) i \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
U brojniku ostavljaju $b$ umjesto $-b$: za $x^2 + 5x - 6 = 0$ računaju $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
U formuli stoji \(-b\), stoga pri \(b = 5\) u brojniku će biti \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), odakle je \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Provjera potvrđuje: \(1 + 5 - 6 = 0\) i \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
Pri $D = 0$ pišu „nema korijena”: kod $x^2 + 14x + 49 = 0$ diskriminanta je nula, a rješavanje prekidaju.
Nema korijena samo pri \(D < 0\). Pri \(D = 0\) postoji točno jedan korijen: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Provjera: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Skraćuju jednadžbu $4x^2 - 9x = 0$ s $x$ i dobivaju jedini korijen $x = 2{,}25$.
Dijeljenje s izrazom koji sadrži nepoznanicu nije dopušteno: \(x\) može biti nula, pa se korijen \(x = 0\) gubi. Točno je izlučiti faktor: \(x(4x - 9) = 0\), odakle je \(x_1 = 0\) i \(x_2 = 2{,}25\). Provjera: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
U jednadžbi $x^2 = 16$ zapisuju samo $x = 4$.
Kvadrat je 16 i kod broja \(-4\). Treba zapisati oba korijena: \(x = \pm 4\). Sigurnije je rješavati preko standardnog oblika \(x^2 - 16 = 0\), odnosno \((x - 4)(x + 4) = 0\) — tada su oba faktora odmah vidljiva.
-
Ne provjeravaju uvjet $a \neq 0$ u jednadžbi s parametrom: u $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ odmah računaju diskriminantu.
Pri \(m = 2\) vodeći koeficijent postaje nula, a jednadžba postaje linearna \(3x - 1 = 0\) s jednim korijenom \(x = \dfrac{1}{3}\). Slučaj \(m = 2\) razmatra se zasebno, a formula za korijene primjenjuje se samo pri \(m \neq 2\).
Pitanja i odgovori
Što je kvadratna jednadžba?
To je jednadžba oblika \(ax^2 + bx + c = 0\), gdje su \(a\), \(b\), \(c\) brojevi i \(a \neq 0\). Nepoznanica je na drugu potenciju, stoga korijena može biti dva, jedan ili nijedan.
Kako izgleda standardni oblik kvadratne jednadžbe?
Standardni (opći) oblik je \(ax^2 + bx + c = 0\): svi članovi su s lijeve strane poredani po padajućim potencijama, a s desne strane je nula. Na taj oblik svodimo svaku kvadratnu jednadžbu prije izračuna diskriminante.
Kako pronaći diskriminantu?
Pomoću formule \(D = b^2 - 4ac\), uvrštavajući koeficijente zajedno s njihovim predznacima. Na primjer, za \(x^2 + 3x - 10 = 0\) dobivamo \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), a korijeni su \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), odnosno 2 i \(-5\).
Koja je formula za korijene kvadratne jednadžbe?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ili kraće \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Primjenjuje se pri \(D \ge 0\); u nazivniku je \(2a\), a ne 2.
Koliko korijena može imati kvadratna jednadžba?
Najviše dva. Pri \(D > 0\) postoje dva korijena, pri \(D = 0\) jedan (dvostruki), pri \(D < 0\) nema realnih korijena.
Što je nepotpuna kvadratna jednadžba?
To je jednadžba kod koje je \(b = 0\), \(c = 0\) ili oba: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Sve tri se rješavaju bez diskriminante — prebacivanjem člana ili izlučivanjem \(x\).
Kako rješavati kvadratne jednadžbe bez diskriminante?
Postoje tri puta: odabir korijena pomoću Vièteovih formula za normiranu jednadžbu, rastavljanje na faktore i nadopunjavanje do potpunog kvadrata. Najbrže radi odabir kada su korijeni mali cijeli brojevi.
Što učiniti ako je diskriminanta negativna?
Zapisati da nema realnih korijena i završiti rješavanje. Negativna diskriminanta je normalan odgovor: graf odgovarajuće parabole ne siječe os \(x\). Korijeni u tom slučaju postoje samo u skupu kompleksnih brojeva, a njih se uči kasnije.
Kako provjeriti pronađene korijene?
Uvrstiti svaki korijen u izvornu jednadžbu — mora se dobiti točna jednakost. Za normiranu jednadžbu postoji i brza provjera pomoću Vièteovih formula: zbroj korijena je \(-p\), umnožak je \(q\).
Jesu li kvadratna i kvadratna jednadžba isto?
Da, to su dva naziva za isti objekt \(ax^2 + bx + c = 0\). Ne miješaj je s kvadratnom funkcijom \(y = ax^2 + bx + c\): korijeni jednadžbe su zapravo apscise točaka gdje graf funkcije siječe os \(x\).
U kojem se razredu uče kvadratne jednadžbe?
U 8. razredu na algebri: prvo nepotpune jednadžbe, zatim diskriminanta, formula za korijene i Vièteove formule. Kasnije se tema pojavljuje kod kvadratne funkcije, nejednadžbi i ispita.
