Znakovi djeljivosti su pravila koja omogućuju da se utvrdi dijeli li se broj bez ostatka, a da se ne provede samo dijeljenje: dovoljno je pogledati posljednje znamenke ili zbrojiti sve znamenke broja. Na ovoj stranici nalazi se tablica znakova djeljivosti s 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 i 25, pregledna analiza znakova za 3 i 9 putem zbroja znamenki, primjeri s rješenjima, česte pogreške i interaktivni trenažer gdje se možete odmah provjeriti.
Što je znak djeljivosti
Znak djeljivosti je pravilo prema kojem se može utvrditi dijeli li se broj bez ostatka s drugim brojem, a da se ne provede samo dijeljenje. Dovoljno je pogledati posljednje znamenke ili zbrojiti sve znamenke broja.
Znakovi djeljivosti pomažu svugdje gdje je potrebno brzo shvatiti "ustroj" broja:
- pri skraćivanju razlomaka — odmah je vidljivo s čime skratiti brojnik i nazivnik;
- pri rastavljanju broja na proste faktore;
- pri traženju zajedničkog djelitelja i zajedničkog višekratnika;
- pri brzoj provjeri odgovora u zadacima.
Važno je ne brkati dva različita pitanja. "Djeli li se 3726 s 9?" — na to odgovara znak djeljivosti: zbroj znamenki 3 + 7 + 2 + 6 = 18 dijeli se s 9, dakle da. A "koliko će biti?" — to je samo dijeljenje: 3726 : 9 = 414. Znak daje samo odgovor "da" ili "ne", ali zato trenutačno i u mislima.
Tablica znakova djeljivosti
Sve školske znakove djeljivosti zgodno je imati pred očima u jednoj tablici. Boja sugerira kamo gledati: na posljednju znamenku, na zbroj znamenki, na "rep" od dvije-tri posljednje znamenke ili odmah na dva znaka.
| Na što | Znak djeljivosti | Primjer |
|---|---|---|
| 2 | posljednja znamenka 0, 2, 4, 6 ili 8 | 3726 → 6 |
| 3 | zbroj znamenki djeljiv s 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | posljednje dvije znamenke djeljive s 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | posljednja znamenka 0 ili 5 | 1435 → 5 |
| 6 | djeljiv i s 2, i s 3 istovremeno | 5124 → 4 i 12 |
| 8 | posljednje tri znamenke djeljive s 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | zbroj znamenki djeljiv s 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | posljednja znamenka 0 | 2340 → 0 |
| 11 | znamenke s kraja kroz + i -; zbroj djeljiv s 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | posljednje dvije znamenke 00, 25, 50 ili 75 | 1875 → 75 |
Znakovi djeljivosti s 2, 5 i 10
Najjednostavnija grupa: gledamo samo posljednju znamenku, ostale nisu važne.
- s 2 dijele se svi parni brojevi — oni koji završavaju na 0, 2, 4, 6 ili 8;
- s 5 — brojevi koji završavaju na 0 ili 5;
- s 10 — brojevi koji završavaju na 0.
Duljina broja nije bitna: 987 654 320 djeljiv je i s 2, i s 5, i s 10, jer završava nulom. A 1435 djeljiv je s 5 (posljednja znamenka 5), ali nije djeljiv ni s 2, ni s 10 — broj je neparan.
Odatle koristan zaključak: s 10 dijele se točno oni brojevi koji se dijele i s 2, i s 5 istovremeno.
Znakovi djeljivosti s 3 i 9: zbroj znamenki
Ovdje posljednja znamenka ništa ne rješava — radi zbroj svih znamenki broja:
- broj je djeljiv s 3, ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3;
- broj je djeljiv s 9, ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Ako je zbroj velik, znak se može primijeniti na njega još jednom: broj 899 991 ima zbroj znamenki 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, a kod 45 zbroj je 4 + 5 = 9 — znači, polazni broj je djeljiv i s 9, i s 3.
Znakovi su slični, ali se ne zamjenjuju. Svaki broj koji je djeljiv s 9, djeljiv je i s 3 — jer sama devetka je djeljiva s trojkom. Obrnuto nije točno: zbroj znamenki može biti djeljiv s 3, a da nije djeljiv s 9, i tada broj prolazi samo jedan od dva znaka. Oba slučaja su objašnjena niže.
Znakovi djeljivosti s 4, 8 i 25: gledamo "rep" broja
Jedna posljednja znamenka ovdje nije dovoljna — potreban je "rep" od nekoliko posljednjih znamenki:
- s 4 je djeljiv broj čije su posljednje dvije znamenke tvore broj djeljiv s 4;
- s 8 — ako posljednje tri znamenke tvore broj djeljiv s 8;
- s 25 — ako posljednje dvije znamenke tvore 00, 25, 50 ili 75.
Zašto je "rep" dovoljan: 100 je djeljiv i s 4, i s 25, a 1000 je djeljiv s 8. Stoga sve što je lijevo od toga već je samo po sebi djeljivo s potrebnim brojem i ne utječe na rezultat.
Odatle važan zaključak: parnost za četvorku i osmicu nije dovoljna. Broj može biti paran, ali ako njegov "rep" od dvije ili tri znamenke nije djeljiv bez ostatka, onda ni cijeli broj nije djeljiv. Analiza "repova" — u donjem umetku.
Znak djeljivosti sa 6
Svoje zasebno pravilo šestica nema: 6 = 2 · 3, a faktori su uzajamno prosti. Stoga je znak složen — broj je djeljiv sa 6 ako je istovremeno djeljiv s 2 i s 3.
Provjerimo 5124: posljednja znamenka 4 — broj je paran, dakle djeljiv s 2; zbroj znamenki 5 + 1 + 2 + 4 = 12 djeljiv je s 3. Oba uvjeta su ispunjena → 5124 : 6 = 854.
Samo parnost nije dovoljna: 1000 je paran, ali zbroj njegovih znamenki je 1 i nije djeljiv s 3, stoga broj nije djeljiv sa 6. Ne radi ni obrnuta polovica: kod 4521 zbroj znamenki 12 je djeljiv s 3, ali sam broj je neparan — sa 6 također nije djeljiv.
Na isti način sklapaju se i drugi složeni znakovi: sa 12 — djeljiv s 3 i s 4, s 15 — s 3 i s 5, s 18 — s 2 i s 9, s 45 — s 5 i s 9.
Znak djeljivosti s 11
Znak djeljivosti s 11 koristi alternirajući zbroj znamenki. Znamenke se zbrajaju, počevši od posljednje, naizmjenično mijenjajući znak: plus, minus, plus, minus. Ako je rezultat djeljiv s 11 (uključujući i nulu), onda je i cijeli broj djeljiv s 11.
Isti znak se često formulira drugačije: razlika između zbroja znamenki na neparnim mjestima i zbroja znamenki na parnim mjestima mora biti djeljiva s 11. To je isto pravilo.
Primjeri na znakovima djeljivosti
Primjer 1. Na koje brojeve se dijeli 7254
Zadatak. Odrediti na koje od brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 se dijeli 7254.
Korak 1. Na 2. Posljednja znamenka 4 — parna. Djeljiv je: 7254 : 2 = 3627.
Korak 2. Na 5 i na 10. Broj završava na 4, a ne na 0 ili 5. Nije djeljiv ni s 5, ni s 10.
Korak 3. Na 3 i na 9. Zbroj znamenki: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Djeljiv je i s 3, i s 9. Dakle, 7254 : 3 = 2418 i 7254 : 9 = 806.
Korak 4. Na 6. Broj je djeljiv i s 2, i s 3 — dakle, djeljiv je sa 6: 7254 : 6 = 1209.
Korak 5. Na 4. Posljednje dvije znamenke daju 54, a 54 nije djeljivo s 4. Nije djeljiv.
Odgovor. 7254 je djeljiv s 2, 3, 6 i 9.
Primjer 2. Djeli li se 4715 s 3 i s 9
Zadatak. Provjeriti djeljivost broja 4715 s 3 i s 9.
Korak 1. Zbrojimo znamenke: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Korak 2. Na 3. 17 nije djeljivo s 3 (najbliži višekratnici su 15 i 18). Dakle, ni 4715 nije djeljiv s 3.
Korak 3. Na 9. 17 tim više nije djeljivo s 9. Dakle, 4715 nije djeljiv ni s 9.
Što broj ipak može. Posljednja znamenka 5 → broj je djeljiv s 5: 4715 : 5 = 943. S 2 i s 10 nije djeljiv — neparan je.
Odgovor. Ni s 3, ni s 9 broj 4715 nije djeljiv.
Primjer 3. Djeljivost s 4 i s 8: broj 6248
Zadatak. Provjeriti dijeli li se 6248 s 4 i s 8.
Korak 1. Na 4. Uzimamo posljednje dvije znamenke: 48. Broj 48 je djeljiv s 4 (48 : 4 = 12), dakle i 6248 je djeljiv: 6248 : 4 = 1562.
Korak 2. Na 8. Uzimamo posljednje tri znamenke: 248. Dijelimo: 248 : 8 = 31 — djeljiv je. Dakle, 6248 : 8 = 781.
Oprez s obrnutim rasuđivanjem. Iz djeljivosti s 4 ne slijedi djeljivost s 8: kod broja 6244 "rep" 44 je djeljiv s 4 (6244 : 4 = 1561), a posljednje tri znamenke 244 nisu djeljive s 8 — broj nije djeljiv s 8.
Odgovor. 6248 je djeljiv i s 4, i s 8.
Primjer 4. Znak djeljivosti s 11: broj 2926
Zadatak. Provjeriti dijeli li se 2926 s 11.
Korak 1. Zapišemo znamenke i rasporedimo znakove s kraja: posljednja znamenka sa znakom plus, dalje naizmjenično minus i plus.
Korak 2. Izračunamo alternirajući zbroj: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Korak 3. Rezultat 11 je djeljiv s 11 → djeljiv je i cijeli broj.
Provjera dijeljenjem. 2926 : 11 = 266.
Odgovor. 2926 je djeljiv s 11.
Primjer 5. Skraćujemo razlomak pomoću znakova djeljivosti
Zadatak. Skratiti razlomak 270/378.
Korak 1. Izračunamo zbrojeve znamenki: 2 + 7 + 0 = 9 i 3 + 7 + 8 = 18. Oba su djeljiva s 9 → i brojnik, i nazivnik su djeljivi s 9.
Korak 2. Skratimo s 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Dobivamo 30/42.
Korak 3. Oba broja su parna → skratimo s 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Dobivamo 15/21.
Korak 4. Zbrojevi znamenki 6 i 3 su djeljivi s 3 → skratimo s 3.
Odgovor. 270/378 = 5/7.
Česte pogreške u znakovima djeljivosti
-
Djeljivost sa 6 provjerava se samo po parnosti: ako je broj paran — znači, djeljiv je sa 6.
Potrebna su oba uvjeta odjednom: i s 2, i s 3. Broj 7124 je paran, ali zbroj njegovih znamenki 14 nije djeljiv s 3, stoga nije djeljiv sa 6. I obrnuto: 3471 prolazi znak trojke (zbroj 15, 3471 : 3 = 1157), ali je neparan — sa 6 također nije djeljiv.
-
Za djeljivost s 4 gleda se jedna posljednja znamenka: "8 je djeljivo s 4, dakle i 9138 će odgovarati".
Za četvorku se uzimaju DVIJE posljednje znamenke. Kod 9138 to je 38, a 38 nije djeljivo s 4. Pravi primjer: kod 9136 "rep" je 36, 36 : 4 = 9, dakle 9136 : 4 = 2284. Za osmicu "rep" je još duži — tri znamenke.
-
Znak djeljivosti s 9 provjerava se po posljednjoj znamenki: traže se brojevi koji završavaju na 9 ili na 0.
Posljednja znamenka za devetku ne znači ništa. Računa se zbroj svih znamenki: kod 4563 to je 18, zbroj je djeljiv s 9 — i broj je djeljiv (4563 : 9 = 507), iako završava na 3.
-
Računa se da ako je broj djeljiv s 3, onda je djeljiv i s 9.
Vrijedi samo u jednom smjeru: djeljiv s 9 → djeljiv i s 3. Obrnuto nije točno. Kod 8241 zbroj znamenki 15: djeljiv je s 3 (8241 : 3 = 2747), a s 9 nije.
-
Za znak s 11 jednostavno se zbrajaju sve znamenke, kao za 3 i 9.
Kod jedanaestice zbroj je alternirajući: znamenke se zbrajaju s kraja, mijenjajući znak svaku drugu. Za 6479 to je 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → djeljiv je (6479 : 11 = 589). Običan zbroj znamenki ovdje iznosi 26 i ništa ne govori.
-
Znak djeljivosti brka se sa samim dijeljenjem: na pitanje "deli li se 5391 s 9" odgovara se "da, 18".
18 je zbroj znamenki, međurezultat znaka. Količnik se računa posebno: 5391 : 9 = 599. Znak odgovara samo "djeljiv / nije djeljiv".
Pitanja i odgovori
Što je znak djeljivosti jednostavnim riječima?
To je pravilo koje omogućuje da se utvrdi hoće li se broj podijeliti bez ostatka, bez provedbe samog dijeljenja. Obično je dovoljno pogledati posljednje znamenke broja ili zbrojiti sve njegove znamenke.
Kako provjeriti dijeli li se broj s 3?
Zbrojite sve znamenke broja. Ako je dobiveni zbroj djeljiv s 3, onda je i sam broj djeljiv s 3. Na primjer, kod 2571 zbroj znamenki 2 + 5 + 7 + 1 = 15, a 15 je djeljivo s 3 → 2571 : 3 = 857.
Čime se znak djeljivosti s 3 razlikuje od znaka s 9?
Pravilo je isto — zbrajaju se znamenke, ali se provjeravaju na različite brojeve: za trojku zbroj mora biti djeljiv s 3, za devetku — s 9. Stoga je svaki broj djeljiv s 9, djeljiv i s 3, a obrnuto nije uvijek: kod 9420 zbroj znamenki 15 je djeljiv s 3 (9420 : 3 = 3140), ali ne s 9.
Što učiniti ako je zbroj znamenki velik?
Primijenite znak još jednom — već na zbroj. Broj 777 771 ima zbroj znamenki 36, kod 36 zbroj je 3 + 6 = 9. Devetka je djeljiva s 9, dakle i polazni broj je djeljiv s 9 (a ujedno i s 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Postoji li znak djeljivosti sa 7?
Jednostavnog pravila poput zbroja znamenki sedmica nema, i u školsku tablicu znakova se ne uvrštava. Postoji trik: odbaciti posljednju znamenku, udvostručiti je i oduzeti od preostalog broja. Na primjer, za 343: uklonimo 3, udvostručimo — 6, izračunamo 34 − 6 = 28. Broj 28 je djeljiv sa 7, dakle i 343 je djeljiv: 343 : 7 = 49.
Koji su znakovi djeljivosti s 12, 15 i 45?
Oni su složeni — broj mora proći odmah dva znaka: sa 12 — biti djeljiv s 3 i s 4, s 15 — s 3 i s 5, s 45 — s 5 i s 9. Važno je da faktori budu uzajamno prosti: rastav 12 = 2 · 6 nije prikladan, jer 18 je djeljiv i s 2, i s 6, ali nije djeljiv s 12.
U kojem se razredu proučavaju znakovi djeljivosti?
U 6. razredu na satovima matematike: prvo znakovi s 10, 5 i 2, zatim s 3 i s 9. Znakovi s 4, 8, 11 i 25 obično se obrađuju dodatno — bit će korisni pri skraćivanju razlomaka i na natjecanjima.
