Kvadratni korijen broja \(a\) je broj čiji je kvadrat jednak \(a\), a aritmetičkim kvadratnim korijenom naziva se samo njegova nenegativna vrijednost: \(\sqrt{25} = 5\). Korijen se može izvući samo iz nenegativnih brojeva, ali svojstva korijena pretvaraju glomazne izraze u kratke. Na ovoj stranici - definicija i područje definicije, sva svojstva kvadratnog korijena s formulama, tablica kvadratnih korijena od 1 do 20, metode izvlačenja korijena i izvlačenja faktora, riješeni primjeri, česte pogreške i interaktivni trenažer.
Što je kvadratni korijen broja
Kvadratni korijen broja \(a\) je takav broj čiji je kvadrat jednak \(a\). Izvlačenje korijena i kvadriranje su obrnute radnje: iz \(7^2 = 49\) odmah slijedi da je kvadratni korijen iz 49 jednak 7.
Ali pozitivni broj ima točno dva kvadratna korijena, a razlikuju se samo po znaku: \(5^2 = 25\) i \((-5)^2 = 25\), dakle kvadratni korijeni iz 25 su i \(5\) i \(-5\). Da bi zapis \(\sqrt{25}\) označavao samo jedan broj, dogovoreno je: znakom \(\sqrt{\phantom{a}}\) zapisuje se samo nenegativni korijen. On se naziva aritmetičkim.
Zapis ima svoja imena: znak \(\sqrt{\phantom{a}}\) je radikal, a broj ili izraz pod njim je podkorijenski izraz.
Aritmetički kvadratni korijen: definicija i područje definicije
Aritmetičkim kvadratnim korijenom iz nenegativnog broja \(a\) naziva se nenegativni broj čiji je kvadrat jednak \(a\). Označava se sa \(\sqrt{a}\) i čita „korijen iz a“.
U definiciji su skrivena dva uvjeta, i oba su jednako važna:
- podkorijenski izraz je nenegativan: \(a \ge 0\);
- vrijednost korijena je nenegativna: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Odavde odmah dobivamo: \(\sqrt{25} = 5\), a ne \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); a zapis \(\sqrt{-9}\) u realnim brojevima nema smisla - ne postoji broj čiji je kvadrat negativan.
Prvi uvjet definira područje definicije izraza s korijenom. Na primjer, \(\sqrt{x-7}\) ima smisla za \(x - 7 \ge 0\), to jest za \(x \ge 7\): bilo koja manja vrijednost \(x\) unosi negativan broj pod korijen.
Iz definicije slijedi i jednakost \((\sqrt{a})^2 = a\) za \(a \ge 0\): kvadriranje korijena vraća podkorijenski broj. Radi čak i kada sam korijen ne možemo točno izračunati: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tablica kvadratnih korijena: kvadrati brojeva od 1 do 20
Korijen se izvlači cijelo samo kada je podkorijenski broj točan kvadrat. Stoga tablica kvadrata radi i kao tablica kvadratnih korijena: čita se u oba smjera - \(14^2 = 196\), dakle \(\sqrt{196} = 14\).
Tablica pomaže ne samo s cijelim brojevima:
- decimalni razlomci: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), jer \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- obični razlomci: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - korijen se izvlači odvojeno iz brojnika i odvojeno iz nazivnika;
- okrugli brojevi: \(\sqrt{2500} = 50\), jer \(2500 = 25 \cdot 100\), a korijen svakog faktora je poznat.
Svojstva kvadratnog korijena
Svojstva kvadratnog korijena omogućuju izračunavanje izraza bez izvlačenja svakog korijena pojedinačno i pojednostavljenje odgovora.
Korijen iz umnoška jednak je umnošku korijena: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) za \(a \ge 0\) i \(b \ge 0\). Na primjer, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - isti odgovor kao i \(\sqrt{144}\).
Korijen iz količnika jednak je količniku korijena: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) za \(a \ge 0\) i \(b > 0\). Na primjer, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Uvjet \(b > 0\) je strog: ne smije se dijeliti s nulom.
Korijen iz kvadrata jednak je modulu: \(\sqrt{a^2} = |a|\), i to vrijedi za bilo koji broj \(a\). Ovdje je glavna suptilnost cijele teme. Ako je \(a \ge 0\), ništa se ne mijenja: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ali za negativni \(a\) znak se „ispravi“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), a ne \(-6\) - jer aritmetički korijen ne može biti negativan.
Kvadrat korijena vraća podkorijenski broj: \((\sqrt{a})^2 = a\) za \(a \ge 0\).
A za zbroj i razliku sličnih svojstava nema: korijen iz zbroja nije jednak zbroju korijena. Ovo je najčešća pogreška u temi, objašnjenje - niže.
| Svojstvo i uvjet | Primjer |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bza a ≥ 0 i b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bza a ≥ 0 i b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|za bilo koji a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aza a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bza b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Kako izvući kvadratni korijen iz broja
Kalkulator nije uvijek pri ruci, a školske zadaće su gotovo uvijek tako postavljene da se korijen može izvući. Redoslijed radnji je sljedeći.
- Provjerite prema tablici kvadrata. Ako se broj nalazi u tablici, odgovor je spreman: \(\sqrt{289} = 17\).
- Izdvojite okrugli faktor. Kod brojeva s nulama zgodno je izdvojiti \(100\), \(10\,000\) i tako dalje: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Rastavite na proste faktore. Ovo je univerzalna metoda: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), pokazatelje potencija dijelimo na pola i dobivamo \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Decimalni razlomak pretvorite u običan. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Ujedno to spašava od gubitka znamenke.
- Ako točan kvadrat ne postoji - korijen je iracionalan. Tada se ostavlja u odgovoru kao simbol (tako i pišu: \(\sqrt{30}\)), ili se procjenjuje između susjednih kvadrata.
Provjera traje sekundu: dobiveni broj kvadriramo i gledamo je li se podkorijenski broj vratio. \(24^2 = 576\) - točno.
Izvlačenje faktora ispod znaka korijena
Korijen se rijetko ostavlja „sirov“ - ispod njega se izvlači sve što se može izvući. Djeluje svojstvo \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) za \(b \ge 0\): tražimo najveći kvadratni djelitelj podkorijenskog broja.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Obrnuta radnja - uvođenje faktora pod korijen: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) za \(a \ge 0\). Na primjer, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
S negativnim faktorom potrebna je opreznost: minus ne ulazi pod korijen i ostaje vani. Pravilan zapis je \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), a ne \(\sqrt{12}\).
Zašto je to potrebno: nakon izvlačenja faktora, korijeni s istim podkorijenskim izrazom postaju slični članovi i mogu se zbrajati. A uvođenje faktora pod korijen je najbrži način za usporedbu dva izraza s korijenima.
Koliko je kvadratni korijen koji se ne može izvući
Ako podkorijenski broj nije točan kvadrat, korijen je iracionalan broj: njegov decimalni zapis je beskonačan i neperiodičan. Na primjer, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), a točna vrijednost zapisuje se samo simbolom \(\sqrt{2}\). Zaokruženi odgovor piše se samo kada se to traži u zadatku.
Takav korijen može se procijeniti bez kalkulatora: pronaći dva susjedna točna kvadrata između kojih se nalazi podkorijenski broj. Pravilo usporedbe vrijedi: za \(a \ge 0\) i \(b \ge 0\) iz \(a < b\) slijedi \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - većem podkorijenskom broju odgovara veći korijen.
Primjeri izračuna s kvadratnim korijenima
Primjer 1. Vrijednost izraza s korijenima
Izračunaj \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Korak 1. \(\sqrt{121} = 11\), jer \(11^2 = 121\).
Korak 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), jer \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Korak 3. Korijen iz razlomka izvlačimo po brojniku i nazivniku: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Korak 4. Zbrajamo: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Odgovor: 11.
Primjer 2. Korijen iz umnoška
Izračunaj \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Korak 1. Pojedinačno se ovi korijeni ne izvlače, stoga ih spajamo u jedan: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Korak 2. Računamo umnožak pod korijenom: \(8 \cdot 18 = 144\).
Korak 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Drugi put - izvući faktore unaprijed: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) i \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), tada \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Odgovori su se poklopili.
Odgovor: 12.
Primjer 3. Izvlačenje korijena rastavljanjem na faktore
Izračunaj \(\sqrt{576}\) i \(\sqrt{6400}\).
Korak 1. Broja 576 nema u tablici kvadrata, stoga ga rastavljamo na proste faktore: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Korak 2. Pokazatelje potencija dijelimo na pola: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Korak 3. Provjera. \(24^2 = 576\) - točno.
Korak 4. Kod broja 6400 zgodnije je izdvojiti okrugli faktor: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Provjera: \(80^2 = 6400\).
Odgovor: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Primjer 4. Izvlačenje faktora i svođenje sličnih članova
Pojednostavi \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Korak 1. Iz podkorijena izvlačimo faktore: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), dakle \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Korak 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Korak 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Korak 4. Zbrajati se mogu samo korijeni s istim podkorijenskim izrazom: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), a član s \(\sqrt{3}\) ostaje odvojeno.
Odgovor: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Primjer 5. Korijen iz kvadrata s varijablom
Pojednostavi \(\sqrt{(x-4)^2}\) za \(x < 4\).
Korak 1. Prema svojstvu korijena iz kvadrata \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - odmah pišemo modul, a ne \(x - 4\).
Korak 2. Otvaramo modul prema uvjetu. Ako je \(x < 4\), onda je razlika \(x - 4\) negativna, a modul negativnog broja je suprotan broj: \(|x-4| = 4 - x\).
Korak 3. Provjera. Uzmimo \(x = 1\): s lijeve strane \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), s desne strane \(4 - 1 = 3\) - poklapa se.
Odgovor: \(4 - x\). Za usporedbu, za \(x \ge 4\) odgovor bi bio \(x - 4\).
Primjer 6. Usporedba izraza s korijenima
Usporedi \(3\sqrt{5}\) i \(5\sqrt{2}\).
Korak 1. Oba broja su pozitivna, stoga uvodimo faktor pod korijen: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Korak 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Korak 3. Uspoređujemo podkorijenske brojeve: \(45 < 50\), a većem podkorijenskom broju odgovara veći korijen.
Odgovor: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Česte pogreške pri radu s kvadratnim korijenom
-
Pišu $\sqrt{a^2} = a$, zaboravljajući na modul.
Ispravna jednakost je \(\sqrt{a^2} = |a|\). Za negativan broj to je principijelno: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), a ne \(-13\). Aritmetički korijen ne može biti negativan, stoga se znak pod korijenom „ispravi“.
-
Smatraju da je korijen iz zbroja jednak zbroju korijena: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Takvo svojstvo ne postoji. Prvo izvodimo operaciju pod korijenom: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), a ne 7. Svojstva postoje samo za umnožak i količnik: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) i \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Odgovaraju da je $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - aritmetički korijen je uvijek jedan i nenegativan je. Dva značenja se pojavljuju u drugom zadatku: jednadžba \(x^2 = 49\) ima korijene \(x = 7\) i \(x = -7\). Ne smije se brkati zapis korijena s rješenjem jednadžbe.
-
Pišu $\sqrt{-16} = -4$, rasuđujući „minus na minus“.
Pod korijenom ne može biti negativan broj: \((-4)^2 = 16\), a ne \(-16\), tako da \(\sqrt{-16}\) u realnim brojevima ne postoji. A izraz \(-\sqrt{16} = -4\) je sasvim korektan - minus je ispred korijena, a ne ispod njega.
-
Uvode pod korijen negativan faktor: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Pravilo \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) vrijedi samo za \(a \ge 0\). Minus ostaje vani: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Provjera znakom: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), a \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - brojevi su suprotni.
-
Gube znamenku kod decimalnog razlomka: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Provjerite obrnutim kvadriranjem: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), ne poklapa se. Ispravno je \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), jer \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Pouzdana metoda je prijeći na običan razlomak: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Sigurni su da je korijen uvijek manji od samog broja.
To je točno samo za brojeve veće od jedan. Na intervalu od 0 do 1 sve je obrnuto: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), i \(0{,}5\) je veće od \(0{,}25\). A za 0 i 1 korijen je jednak samom broju.
Pitanja i odgovori
Što je aritmetički kvadratni korijen jednostavnim riječima?
To je nenegativan broj koji pri kvadriranju daje podkorijenski broj. Zapisuje se \(\sqrt{a}\), pri čemu podkorijenski izraz mora biti nenegativan: \(a \ge 0\). Na primjer, \(\sqrt{64} = 8\), jer \(8 \ge 0\) i \(8^2 = 64\).
Čime se kvadratni korijen razlikuje od aritmetičkog kvadratnog korijena?
Kvadratna korijena pozitivnog broja su dva - suprotna po znaku. Aritmetičkim se naziva samo nenegativni od njih, i upravo njega označava znak \(\sqrt{\phantom{a}}\). Stoga je \(\sqrt{25} = 5\), iako jednadžba \(x^2 = 25\) ima dva korijena: 5 i \(-5\).
Kako izvući kvadratni korijen iz broja bez kalkulatora?
Prvo provjerite broj prema tablici kvadrata. Ako ga tamo nema - rastavite ga na faktore i izdvojite točne kvadrate: \(784 = 16 \cdot 49\), stoga \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Odgovor uvijek provjerite obrnutom radnjom: \(28^2 = 784\).
Može li se izvući kvadratni korijen iz negativnog broja?
U realnim brojevima - ne: kvadrat bilo kojeg broja je nenegativan, stoga izraz \(\sqrt{-9}\) nema smisla. Upravo iz tog uvjeta traži se područje definicije: na primjer, \(\sqrt{x-7}\) postoji samo za \(x \ge 7\).
Koliko je korijen iz kvadrata broja?
Modulu tog broja: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Za nenegativni \(a\) dobit će se sam broj, za negativni - suprotan mu: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kako izvući faktor ispod znaka korijena?
Pronađite najveći kvadratni djelitelj podkorijenskog broja i primijenite svojstvo \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Na primjer, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Obrnuta radnja je uvođenje faktora pod korijen: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Koliko je kvadratni korijen iz 2?
Broj \(\sqrt{2}\) je iracionalan: njegov decimalni zapis je beskonačan i neperiodičan, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Točna vrijednost u obliku razlomka ne postoji, stoga se u odgovorima ostavlja kao simbol \(\sqrt{2}\), a zaokružuje se samo ako to zahtijeva uvjet.
Kako usporediti dva broja s korijenima, a da ih ne izračunavate?
Uvedite faktore pod korijen i usporedite podkorijenske brojeve: većem podkorijenskom broju odgovara veći korijen. Na primjer, \(\sqrt{17}\) i 4: budući da je \(4 = \sqrt{16}\) i \(17 > 16\), onda je \(\sqrt{17} > 4\).
U kojem se razredu proučavaju kvadratni korijeni?
U 8. razredu na satovima algebre: prvo definicija aritmetičkog kvadratnog korijena i njegova svojstva, zatim transformacije izraza s korijenima i rješavanje jednadžbi oblika \(x^2 = a\). Dalje se korijeni pojavljuju u formuli diskriminante i u zadacima OGE i USE.
