Vietina teorema povezuje korijene kvadratne jednadžbe s njezinim koeficijentima: za svođenu jednadžbu \(x^2 + px + q = 0\) zbroj korijena iznosi \(-p\), a umnožak \(q\). To omogućuje usmeno pronalaženje korijena — pogađanjem, bez diskriminante. Na ovoj stranici — točne formule za svođenu jednadžbu i za opći oblik, obrnuta Vietina teorema, algoritam pogađanja korijena, riješeni primjeri i interaktivni trenažer.
Što je Vietina teorema
Vietina teorema je pravilo koje povezuje korijene kvadratne jednadžbe s njezinim koeficijentima. Formulira se ovako: ako su \(x_1\) i \(x_2\) korijeni svođene kvadratne jednadžbe \(x^2 + px + q = 0\), tada
Drugim riječima: zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu s promjenjenim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Predznak minus u zbroju — najvažnije mjesto cijele teme: piše se upravo \(-p\), a ne \(p\).
Za jednadžbu općeg oblika \(ax^2 + bx + c = 0\) (gdje je \(a \neq 0\)) formule se dobivaju dijeljenjem s \(a\):
Teorema vrijedi samo kada postoje realni korijeni, tj. kada je \(D \ge 0\). Ako je diskriminanta negativna, nema što pogađati: ne postoje realni brojevi s takvim zbrojem i takvim umnoškom.
Svođena jednadžba i opći oblik: gdje treba dijeliti s a
Svođenom nazivamo kvadratnu jednadžbu kojoj je koeficijent uz \(x^2\) jednak jedinici: \(x^2 + px + q = 0\). Upravo za nju Vietina teorema zvuči najkraće, stoga se pogađanje korijena uvijek započinje svođenjem.
Ako je \(a \neq 1\), jednadžba se prvo podijeli s \(a\) po članovima. Na primjer, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) nakon dijeljenja s \(3\) pretvara se u \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), tj. \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Odavde \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) i \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Ista se misao može odmah zapisati za opći oblik, bez svođenja jednadžbe: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Pogreška koju najčešće rade jest primjena „kratkih” formula \(-p\) i \(q\) na nesvođenu jednadžbu i dobivanje zbroja \(10\) umjesto \(\frac{10}{3}\).
Obrnuta Vietina teorema
Vietina teorema ima obrnuto značenje, i upravo ono dopušta rješavanje jednadžbi pogađanjem. Zvuči ovako: ako su brojevi \(m\) i \(n\) takvi da
tada su \(m\) i \(n\) korijeni jednadžbe \(x^2 + px + q = 0\).
Razlika je principijelna. Izravna teorema ide od korijena prema koeficijentima: korijeni su već poznati, dobivamo veze među njima. Obrnuta ide od koeficijenata prema korijenima: pogodili smo par brojeva s potrebnim zbrojem i potrebnim umnoškom — i imamo puno pravo nazvati ih korijenima, ništa više ne treba dokazivati.
Odavde također slijedi korisno pravilo: ako su \(x_1\) i \(x_2\) korijeni, tada se polinom rastavlja na faktore \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Na primjer, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Pogađanje korijena po Vietinoj teoremi: algoritam
Pogađanje korijena — glavna praktična primjena teoreme. Radi brže od diskriminante, kada su korijeni cijeli brojevi, i zauzima pet koraka.
Predznaci korijena prema koeficijentima p i q
Još prije pogađanja može se shvatiti kakve će predznake imati korijeni — dovoljno je pogledati predznake \(p\) i \(q\). To znatno skraćuje pretraživanje: odmah se vidi treba li tražiti par od dva pozitivna broja, dva negativna ili brojeva različitih predznaka.
| p i q | Korijeni | Primjer |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | oba > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | oba < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | različitih predznaka | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 i −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vietina teorema ili diskriminanta: što odabrati
Formula za korijene preko diskriminante \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) vrijedi uvijek, ali zahtijeva izračunavanje. Vietina teorema vrijedi trenutno, ali samo ako se korijeni mogu pogoditi — obično su to mali cijeli brojevi.
Praktično pravilo glasi:
- jednadžba je svođena, a \(q\) se rastavlja na par malih faktora → pokušaj pogađanje po Vietinoj teoremi, odgovor se dobiva usmeno;
- koeficijenti su veliki ili razlomljeni, korijeni se ne mogu pogoditi za 10–15 sekundi → računaj diskriminantu;
- potreban je samo broj korijena ili predznaci korijena, a sami korijeni nisu potrebni → dovoljno je \(D\) i gornja tablica predznaka.
Korisna je i kombinacija: izračunao si diskriminantu i našao korijene — provjeri odgovor po Vietinoj teoremi. Zbroj bi trebao dati \(-p\), umnožak \(q\). Takva provjera traje par sekundi i hvata gotovo svaku aritmetičku pogrešku.
Primjeri rješavanja po Vietinoj teoremi
Primjer 1. Pogađanje korijena: oba korijena su pozitivna
Riješi \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Korak 1. Jednadžba je svođena: \(p = -9\), \(q = 20\).
Korak 2. Provjeravamo diskriminantu: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — postoje dva korijena.
Korak 3. Zapisujemo veze: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Korak 4. Pretražujemo rastave broja 20: \(1\cdot 20\) (zbroj 21), \(2\cdot 10\) (zbroj 12), \(4\cdot 5\) (zbroj 9) — odgovara zadnji par. Oba faktora su pozitivna, jer je \(q > 0\), a \(p < 0\).
Korak 5. Provjera uvrštavanjem. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Primjer 2. Korijeni različitih predznaka
Riješi \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Korak 1. Jednadžba je svođena: \(p = 3\), \(q = -28\).
Korak 2. \(q < 0\), stoga korijeni imaju različite predznake i diskriminanta je zajamčeno pozitivna: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Korak 3. Veze: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Korak 4. Rastave broja 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Potreban je razlika 3 — odgovara par 4 i 7. Budući da je zbroj negativan, veći korijen po modulu uzimamo sa znakom minus: \(4\) i \(-7\).
Korak 5. Provjera. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Primjer 3. Jednadžba općeg oblika (a ≠ 1)
Riješi \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Korak 1. Koeficijent \(a = 3\), stoga se „kratke” formule \(-p\) i \(q\) ne mogu primijeniti. Koristimo opći oblik: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Korak 2. Umnožak je jednak 1 — stoga su korijeni uzajamno obratni: ako je jedan \(t\), drugi je \(\tfrac{1}{t}\). Zbroj \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) sugerira \(t = 3\), jer \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Korak 3. Provjera uvrštavanjem. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Odgovor: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Primjer 4. Sastavi jednadžbu prema njezinim korijenima
Zadatak. Sastavi svođenu kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni \(-4\) i \(6\).
Korak 1. Računamo zbroj i umnožak: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Korak 2. Prema obrnutoj Vietinoj teoremi koeficijenti su \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) i \(q = x_1 x_2 = -24\). Ovdje se krije glavna zamka: \(p\) je zbroj s promjenjenim predznakom.
Korak 3. Zapisujemo jednadžbu: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Korak 4. Provjera uvrštavanjem. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Odgovor: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Isti rezultat daje rastav \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Primjer 5. Provjera tuđeg odgovora po Vietinoj teoremi
Zadatak. Učenik je riješio jednadžbu \(x^2 + 5x + 6 = 0\) i zapisao odgovor: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Provjeri je li pogriješio.
Korak 1. Po Vietinoj teoremi treba biti \(x_1 + x_2 = -p = -5\) i \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Korak 2. Predloženi odgovor ima umnožak koji se poklapa (\(2\cdot 3 = 6\)), a zbroj ne: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Dakle, odgovor je netočan: izgubljen je predznak.
Korak 3. Tražimo pravi par: potrebni su brojevi s umnoškom \(6\) i zbrojem \(-5\) — to su \(-2\) i \(-3\) (oba negativna, jer je \(q > 0\) i \(p > 0\)).
Korak 4. Provjera uvrštavanjem. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Odgovor: pravi korijeni su \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Česte pogreške pri radu s Vietinom teoremom
-
Gube minus u zbroju: pišu $x_1 + x_2 = p$ umjesto $x_1 + x_2 = -p$.
Minus je samo kod zbroja, umnožak se uzima s istim predznakom: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Provjeri na jednostavnoj jednadžbi \(x^2 - 5x + 6 = 0\): ovdje je \(p = -5\), zbroj korijena je \(5\), a korijeni su zaista 2 i 3.
-
Primjenjuju formule $-p$ i $q$ na nesvođenu jednadžbu: za $2x^2 - 9x + 4 = 0$ kažu „zbroj 9, umnožak 4”.
Dok je \(a \neq 1\), vrijede formule općeg oblika: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Korijeni ovdje su 4 i \(\tfrac{1}{2}\), a ne 4 i 1. Ili prvo podijeli cijelu jednadžbu s \(a\).
-
Pogađaju korijene, a da nisu provjerili diskriminantu: kod $x^2 + x + 1 = 0$ pokušavaju naći par brojeva sa zbrojem $-1$ i umnoškom $1$.
Prvo se uvjeri da korijeni postoje: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), nema realnih korijena, pogađanje nije moguće. Vietina teorema vrijedi samo uz \(D \ge 0\).
-
Pogađaju par samo po umnošku, ne provjeravajući zbroj: za $x^2 - 8x + 12 = 0$ uzimaju 3 i 4, jer im je umnožak 12.
Treba provjeriti obje veze odjednom. Za \(x^2 - 8x + 12 = 0\) umnožak 12 daju parovi (1; 12), (2; 6), (3; 4), a zbroj 8 samo par 2 i 6. Provjera: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) i \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Sastavljajući jednadžbu prema korijenima, uzimaju $p$ jednak zbroju: za korijene 2 i 5 pišu $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koeficijent \(p\) jednak je zbroju s promjenjenim predznakom: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), tj. \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Uvrštavanje potvrđuje: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Smatraju da Vietina teorema vrijedi samo za cijele korijene i ne primjenjuju je za provjeru odgovora.
Veze \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\) vrijede kod bilo kojih realnih korijena — cijelih, razlomljenih i iracionalnih. Samo je usmeno pogađanje zgodno za cijele, a za ostale teorema ostaje brzi način provjere odgovora dobivenog diskriminantom.
Pitanja i odgovori
Kako glasi Vietina teorema jednostavnim riječima?
Ako svođena kvadratna jednadžba \(x^2 + px + q = 0\) ima korijene, tada je njihov zbroj jednak drugom koeficijentu s promjenjenim predznakom, a umnožak jednak slobodnom članu: \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\).
Koliki su zbroj i umnožak korijena jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$?
Za jednadžbu općeg oblika zbroj korijena je \(-\dfrac{b}{a}\), a umnožak \(\dfrac{c}{a}\). Ove formule dobivaju se iz svođenog slučaja dijeljenjem cijele jednadžbe s \(a\).
Čime se obrnuta Vietina teorema razlikuje od izravne?
Izravna teorema ide od korijena prema koeficijentima: znajući korijene, dobivamo zbroj \(-p\) i umnožak \(q\). Obrnuta ide obrnuto: ako par brojeva daje potreban zbroj i potreban umnožak, tada su ti brojevi i korijeni jednadžbe. Upravo obrnuta teorema dopušta rješavanje jednadžbi pogađanjem.
Kako pogoditi korijene po Vietinoj teoremi?
Svedi jednadžbu na oblik \(x^2 + px + q = 0\), uvjeri se da je \(D \ge 0\), zapiši \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\), pretraži rastave broja \(q\) na parove faktora i odaberi onaj par čiji je zbroj jednak \(-p\). Na primjer, za \(x^2 + 6x + 8 = 0\) potrebni su brojevi s umnoškom 8 i zbrojem \(-6\) — to su \(-2\) i \(-4\).
Vrijedi li Vietina teorema ako koeficijent uz $x^2$ nije jednak jedinici?
Da, ali u obliku općeg oblika: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Kratke formule \(-p\) i \(q\) vrijede samo za svođenu jednadžbu, stoga se pri \(a \neq 1\) jednadžba prvo dijeli s \(a\).
Što učiniti ako se korijeni po Vietinoj teoremi ne mogu pogoditi?
To znači da korijeni nisu cijeli ili ih uopće nema. Izračunaj diskriminantu: pri \(D < 0\) nema realnih korijena, a pri \(D \ge 0\) nađi korijene po formuli \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) i tek onda provjeri odgovor po Vietinoj teoremi.
Kako odrediti predznake korijena, a da se jednadžba ne rješava?
Po predznacima \(p\) i \(q\) pri \(D \ge 0\): ako je \(q > 0\) i \(p < 0\) — oba korijena su pozitivna; ako je \(q > 0\) i \(p > 0\) — oba su negativna; ako je \(q < 0\) — korijeni su različitih predznaka; ako je \(q = 0\) — jedan od korijena je nula.
U kojem se razredu uči Vietina teorema?
U 8. razredu na satovima algebre, odmah nakon kvadratnih jednadžbi i diskriminante. Dalje se koristi pri rastavu kvadratnog trinoma na faktore \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), pri analizi korijena s parametrom i u zadacima OGE i EGE.
