Proporcija je jednakost dvaju omjera, na primjer \(2:3 = 8:12\). Za rješavanje proporcija potreban je samo jedan alat — osnovno svojstvo proporcije: umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih. U školi se to naziva pravilom „unakrsnog množenja“. U nastavku — što su omjer i proporcija, kako pronaći nepoznati član, čime se direktna proporcionalnost razlikuje od obrnute, analiza zadataka o receptima, razmjerima i cijenama, uvod u postotke i simulator od 10 zadataka.
Što su omjer i proporcija
Omjer dvaju brojeva je njihov količnik. Omjer \(2:3\) (čita se „dva prema tri“) pokazuje koliko je puta jedan broj veći od drugog ili koji dio jedan čini od drugog. Može se zapisati na dva načina: \(2:3\) ili kao razlomak \(\frac{2}{3}\) — to je isto.
Proporcija je jednakost dvaju omjera:
U proporciji su ukupno četiri broja i oni imaju imena. Brojevi na krajevima zapisa su krajnji članovi, brojevi u sredini su srednji članovi. Proporcija je točna kada su oba omjera jednaka istom broju.
Osnovno svojstvo proporcije: pravilo „unakrsnog množenja“
Osnovno svojstvo proporcije: umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih.
Zašto tako ispada? Pomnožimo obje strane jednakosti \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) s \(b \cdot d\). S lijeve strane će se pokratiti \(b\), s desne \(d\), i ostat će točno \(a \cdot d = c \cdot b\). Nema magije — obično svojstvo jednakosti.
Upravo to učenici nazivaju „rješavanje proporcija unakrsno“: brojevi se množe po dijagonali, unakrsno. Svojstvo vrijedi i obrnuto: ako za četiri broja (nijedan nije nula) vrijedi \(a \cdot d = b \cdot c\), onda se od njih može sastaviti točna proporcija.
Odavde proizlaze odmah dvije vještine: provjeriti je li proporcija točna i pronaći u njoj nepoznati broj.
Kako pronaći nepoznati član proporcije
Iz osnovnog svojstva proizlaze dva kratka pravila:
- nepoznati krajnji član = umnožak srednjih : poznati krajnji;
- nepoznati srednji član = umnožak krajnjih : poznati srednji.
Nije ih obavezno pamtiti napamet. Dovoljan je jedan univerzalni pristup: pomnožiti unakrsno, dobiti jednakost oblika „broj \(\cdot\, x\) = broj“ i podijeliti. Analizirat ćemo to korak po korak na proporciji \(x : 7 = 12 : 21\).
Posljednji korak — provjera — traje pet sekundi i hvata gotovo svaku aritmetičku pogrešku, stoga ga ne treba preskakati.
Direktna i obrnuta proporcionalnost
Dvije veličine nazivamo direktno proporcionalnima ako se pri povećanju jedne nekoliko puta druga povećava toliko puta. Kupili smo dvostruko više bilježnica — platili smo dvostruko više. Takve veličine imaju stalni njihov omjer.
Veličine su obrnuto proporcionalne ako se pri povećanju jedne nekoliko puta druga toliko puta smanjuje. Dvostruko više radnika — dvostruko manje dana za isti posao. Takve veličine imaju stalni njihov umnožak.
Glavna razlika vidi se u trenutku kada zapisujemo proporciju. Za direktnu ovisnost ona se sastavlja „kako jest“: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Za obrnutu, drugi omjer se preokreće: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Zašto? Za obrnutu ovisnost stalan je umnožak: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Podijelimo li obje strane s \(a_2 \cdot b_1\) — dobit ćemo upravo \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Tako da „preokret“ nije čarolija koju treba pamtiti, već posljedica toga što postojan ostaje umnožak, a ne omjer.
| Znak | Direktna | Obrnuta |
|---|---|---|
| Veza | više → više | više → manje |
| Stalno | omjer a : b | umnožak a × b |
| Zapis | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Primjer | 3 olovke — 90 ₽, 5 olovaka — 150 ₽ | 4 slikara — 9 dana, 6 slikara — 6 dana |
Kako sastaviti proporciju za zadatak: recept, razmjer, cijena
Tekstualni zadaci „o proporciji“ rješavaju se prema jednom scenariju:
- Zapišite uvjet u dvije kolone tako da iste veličine stoje jedna ispod druge (porcije ispod porcija, grami ispod grama).
- Označite nepoznato s \(x\).
- Odredite vrstu ovisnosti: mentalno povećajte prvu veličinu i pogledajte raste li druga ili opada.
- Sastavite proporciju — za obrnutu ovisnost preokrenite drugi omjer.
- Riješite unakrsnim množenjem i provjerite je li dobiveni odgovor razuman.
Pokazat ćemo na receptu. Za 4 porcije palačinki potrebno je 300 g brašna — koliko brašna treba za 6 porcija? Porcija je više, stoga je i brašna više: ovisnost je direktna, proporcija se sastavlja „kako jest“:
Za 6 porcija potrebno je 450 g brašna. Odgovor je razuman: porcija je postalo jedan i pol puta više, i brašna je trebalo jedan i pol puta više.
Na isti način rješavaju se zadaci o razmjeru (udaljenost na karti odnosi se prema udaljenosti na terenu kao 1 prema broju razmjera) i o cijeni (količina robe odnosi se prema količini kao cijena prema cijeni). Potpune analize — u primjerima ispod.
Postoci putem proporcije
Postotak je stoti dio broja, stoga se svaki jednostavan zadatak o postocima pretvara u proporciju:
Negdje je jedan od četiri broja nepoznat — njega i nalazimo unakrsnim množenjem.
Pronaći dio. Koliko će biti 15% od 240? Sastavljamo \(x : 240 = 15 : 100\), stoga \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) i \(x = 36\).
Pronaći cjelinu. Broj 21 čini 35% nekog broja. Sastavljamo \(21 : x = 35 : 100\), stoga \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) i \(x = 60\).
Pronaći postotak. Koliko postotaka čini 18 od 45? Sastavljamo \(18 : 45 = p : 100\), stoga \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) i \(p = 40\), to jest 40%.
Jedan pristup — tri različita tipa zadataka, ništa dodatno ne treba pamtiti. Posebno je samo pitanje „za koliko su postotaka veličina porasla ili se smanjila“: tamo se prvo pronalazi promjena, a zatim se ona dijeli s početnom vrijednošću — to je već formula postotne promjene, a ne jednostavna proporcija.
Primjeri rješavanja proporcija s analizom korak po korak
Primjer 1. Nepoznati srednji član
Zadatak. Pronađite nepoznati član proporcije \(15 : x = 45 : 24\).
Korak 1. Određujemo koji je koji član. Krajnji su — 15 i 24, srednji — \(x\) i 45.
Korak 2. Primjenjujemo osnovno svojstvo: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), odnosno \(360 = 45x\).
Korak 3. Dijelimo: \(x = 360 : 45 = 8\).
Provjera. \(15 : 8 = 1{,}875\) i \(45 : 24 = 1{,}875\) — omjeri su jednaki.
Odgovor: \(x = 8\).
Primjer 2. Direktna proporcionalnost: cijena i količina
Zadatak. Šest bilježnica košta 210 ₽. Koliko košta 10 istih bilježnica?
Korak 1. Bilježnica je više — trošak je veći, stoga je ovisnost direktna.
Korak 2. Zapisujemo uvjet tako da iste veličine budu jedna do druge i sastavljamo proporciju „kako jest“:
Korak 3. Unakrsno: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), stoga \(x = 2100 : 6 = 350\).
Provjera. Jedna bilježnica košta \(210 : 6 = 35\) ₽, a deset — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Poklapa se.
Odgovor: 350 ₽.
Primjer 3. Obrnuta proporcionalnost: radnici i dani
Zadatak. Osam radnika izvršava narudžbu za 15 dana. Za koliko dana će izvršiti istu narudžbu 12 radnika, ako rade istom brzinom?
Korak 1. Radnika je postalo više — dana će trebati manje. Ovisnost je obrnuta.
Korak 2. Sastavljamo proporciju, preokrećući drugi omjer:
Ovdje je \(x\) — dani za 12 radnika, a 15 — dani za 8 radnika: zamijenili su mjesta jer je ovisnost obrnuta.
Korak 3. Unakrsno: \(8 \cdot 15 = 12x\), odnosno \(120 = 12x\) i \(x = 10\).
Provjera. Postojan je umnožak: \(8 \cdot 15 = 120\) i \(12 \cdot 10 = 120\). Poklapa se, i odgovor je razuman — dana je postalo manje.
Odgovor: 10 dana.
Primjer 4. Razmjer karte
Zadatak. Razmjer karte je \(1 : 200\,000\). Udaljenost između naselja na karti iznosi 7 cm. Kolika je udaljenost između njih na terenu?
Korak 1. Razmjer \(1 : 200\,000\) znači: 1 cm na karti odgovara 200 000 cm na terenu. To je gotov omjer.
Korak 2. Sastavljamo proporciju:
Korak 3. Unakrsno: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), odnosno \(x = 1\,400\,000\) cm.
Korak 4. Prevodimo u prikladne jedinice: u jednom kilometru je 100 000 cm, stoga \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Odgovor: 14 km.
Primjer 5. Postoci putem proporcije
Zadatak. U razredu je 25 učenika, na izlet je otišlo 60% njih. Koliko je ljudi otišlo na izlet?
Korak 1. Cjelina — to je svih 25 učenika, njima odgovara 100%. Traženi dio — \(x\) ljudi, njima odgovara 60%.
Korak 2. Sastavljamo proporciju „dio : cjelina = postotak : 100“:
Korak 3. Unakrsno: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), stoga \(x = 15\).
Provjera. 15 ljudi od 25 — to je \(15 : 25 = 0{,}6\), to jest točno 60%.
Odgovor: 15 ljudi.
Česte pogreške pri rješavanju proporcija
-
Množe brojeve „po duljini“, a ne unakrsno: u proporciji 5 : 2 = 20 : 8 računaju 5 · 2 i 20 · 8.
Osnovno svojstvo povezuje krajnje članove sa srednjima, to jest brojeve po dijagonali: 5 · 8 = 40 i 2 · 20 = 40. Umnošci su se podudarali — proporcija je točna. A 5 · 2 i 20 · 8 nisu jednaki i ne govore ništa.
-
U zadatku na obrnutu ovisnost sastavljaju „direktnu“ proporciju. Šest pumpi puni bazen za 10 sati; zapis 6 : 15 = 10 : x daje 25 sati za 15 pumpi.
Pumpi je postalo više — vremena bi trebalo biti manje, a ispalo je više: stoga proporcija nije sastavljena kako treba. Drugi omjer treba preokrenuti: 6 : 15 = x : 10, tada 15x = 60 i x = 4 sata. Uvijek provjerite odgovor zdravim razumom.
-
Nakon „unakrsnog množenja“ dijele obrnuto: iz jednakosti 8x = 96 dobivaju x = 8 : 96.
Da bismo pronašli x, umnožak dijelimo s faktorom koji stoji uz x: x = 96 : 8 = 12. Korisna navika — uvrstiti pronađeni broj natrag: 8 · 12 = 96, sve je točno.
-
Ne usklađuju jedinice mjere. U zadatku s razmjerom 1 : 50 000 pri 3 cm na karti pišu odgovor „1,5“ bez jedinica ili ga nazivaju metrima.
Prvo računamo u jedinicama u kojima je zadan razmjer: 3 · 50 000 = 150 000 cm. I tek onda prevodimo: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Jedinice u odgovoru jednako su važne kao i sam broj.
-
Miješaju omjer i proporciju: na zahtjev da se sastavi proporcija pišu jedan omjer „12 : 4“.
Omjer je jedan količnik: 12 : 4 = 3. Proporcija je jednakost dvaju omjera, u njoj su obavezno četiri broja i znak jednakosti: 12 : 4 = 30 : 10 (provjeravamo: 12 · 10 = 120 i 4 · 30 = 120).
Pitanja i odgovori
Čime se omjer razlikuje od proporcije?
Omjer je količnik dvaju brojeva, na primjer 12 : 4. Proporcija je jednakost dvaju omjera, u njoj su četiri broja: 12 : 4 = 30 : 10. Omjer odgovara na pitanje „koliko puta“, a proporcija tvrdi da dva takva usporedbe daju jednak rezultat.
Što su krajnji i srednji članovi proporcije?
U zapisu a : b = c : d krajnji članovi su oni koji stoje na krajevima, to jest a i d. Srednji su oni koji stoje u sredini, to jest b i c. Ako je proporcija zapisana razlomcima, krajnji članovi su brojnik prve razlomka i nazivnik drugog, a srednji — nazivnik prvog i brojnik drugog.
Kako provjeriti je li proporcija točna?
Pomnožiti unakrsno i usporediti umnoške. Na primjer, za 9 : 12 = 15 : 20 računamo 9 · 20 = 180 i 12 · 15 = 180 — brojevi su se podudarali, znači proporcija je točna. Ako su umnošci različiti, proporcija nije točna.
Mogu li se članovi proporcije zamijeniti mjesta?
Da, ako se to radi po pravilima. U točnoj proporciji mogu se zamijeniti krajnji članovi, mogu se zamijeniti srednji, a mogu se i obje strane odjednom preokrenuti — proporcija će ostati točna. Iz 4 : 6 = 10 : 15 dobivamo 4 : 10 = 6 : 15 ili 6 : 4 = 15 : 10 — umnožak po dijagonali je svugdje 60. Ali samo jedan broj ne može se premjestiti.
Što znači „rješavati proporciju unakrsno“?
To je razgovorni naziv za osnovno svojstvo proporcije. Brojevi se množe po dijagonali, unakrsno: krajnji s krajnjim i srednji sa srednjim. Dobiva se jednadžba s jednim nepoznatim, koja se rješava jednim dijeljenjem. Nikakve posebne „metode križa“ osim osnovnog svojstva ne postoji.
Kako shvatiti je li ovisnost u zadatku direktna ili obrnuta?
Mentalno povećajte prvu veličinu 2 puta i pogledajte drugu. Ako se i ona povećala dvostruko — ovisnost je direktna, proporcija se sastavlja „kako jest“. Ako se smanjila dvostruko — ovisnost je obrnuta, drugi omjer treba preokrenuti. Još jedan znak: kod direktne ovisnosti postojan je omjer veličina, kod obrnute — njihov umnožak.
Kako riješiti zadatke o postocima putem proporcije?
Sastavite proporciju „dio : cjelina = postotak : 100“ i pronađite nepoznato unakrsnim množenjem. Na primjer, 12% od 350: dobivamo x : 350 = 12 : 100, stoga 100x = 4200 i x = 42. Na isti način traži se i cjelina po poznatom dijelu, i sam postotak.
