Aritmetički niz je niz u kojem je svaki sljedeći član veći od prethodnog za isti broj \(d\) (razlika niza). Bilo koji član se pronalazi formulom \(a_n = a_1 + (n-1)d\), a zbroj prvih \(n\) članova formulom \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Na ovoj stranici objašnjeni su definicija i razlika, obje formule za zbroj, karakteristično svojstvo, provjera pripadnosti broja nizu, razlika od geometrijskog niza, tipični ispitni zadaci i interaktivni simulator za samoprovjeru.
Što je aritmetički niz
Aritmetički niz je brojčani niz u kojem se svaki sljedeći član dobiva dodavanjem istog broja prethodnom. Taj broj nazivamo razlika niza i označavamo slovom \(d\).
Definicija jednom formulom: niz \(a_1, a_2, a_3, \dots\) naziva se aritmetički niz ako za bilo koji broj \(n\) vrijedi jednakost
Uzmimo niz 3, 7, 11, 15, 19, … Prvi član je \(a_1 = 3\), a razlika \(d = 4\): svaki sljedeći broj je veći od prethodnog za točno 4. Stoga je sljedeći član 23, a ispred trojke (ako nastavimo unatrag) bila bi jedinica s predznakom minus.
Cijeli niz je definiran s samo dva broja — prvim članom \(a_1\) i razlikom \(d\). Znajući taj par, možemo imenovati bilo koji član, izračunati zbroj bilo kojeg broja prvih članova i provjeriti nalazi li se zadani broj u nizu. Niz označavamo simbolom \((a_n)\), a njegove članove \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) i tako dalje, gdje donji indeks uvijek označava redni broj, a ne vrijednost.
Razlika aritmetičkog niza: kako pronaći d
Razlika je uvijek sljedeći član minus prethodni:
Redoslijed oduzimanja je važan: ako oduzmemo obrnuto, predznak razlike bit će suprotan. Za niz 20, 17, 14, 11, 8 razlika je \(17 - 20 = -3\), a ne \(+3\).
Predznak \(d\) u potpunosti određuje ponašanje niza:
- \(d > 0\) — niz je rastući, članovi se povećavaju;
- \(d < 0\) — niz je padajući, članovi se smanjuju;
- \(d = 0\) — svi članovi su jednaki, na primjer 6, 6, 6, 6, … To je također aritmetički niz, samo konstantan.
Ako su poznata dva člana s različitim rednim brojevima, razlika se pronalazi formulom
Primjer. Neka je \(a_4 = 30\) i \(a_{10} = 6\). Tada je \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), a prvi član je \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Provjerimo početak niza: 42, 38, 34, 30 — četvrti član je zaista 30.
Razlika ne mora biti cijeli broj: kod niza 1; 1,5; 2; 2,5 razlika je 0,5, i to je punopravni aritmetički niz.
Formula n-tog člana aritmetičkog niza
Glavna formula teme omogućuje pronalaženje bilo kojeg člana bez ispisivanja svih prethodnih:
Odakle dolazi \(n - 1\)? Da bismo došli od prvog člana do \(n\)-tog, razliku dodajemo ne \(n\) puta, već jedan put manje: do drugog člana — jedan korak, do trećeg — dva, do dvadesetog — devetnaest.
Primjer. Za niz 3, 7, 11, 15, 19, … imamo \(a_1 = 3\) i \(d = 4\), dakle
Takav sažeti zapis je vrlo praktičan: odmah se vidi da je \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), a \(a_{100} = 399\). Ujedno nam otkriva razliku: kod svakog aritmetičkog niza formula \(n\)-tog člana je linearna, oblika \(a_n = dn + c\), a koeficijent ispred \(n\) je upravo razlika.
Ponekad prvi član nije poznat, ali je dan neki drugi. Tada vrijedi ista ideja u općem obliku: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Karakteristično svojstvo aritmetičkog niza
Svaki član niza, osim prvog, jednak je aritmetičkoj sredini svojih susjeda:
Upravo se zato niz i naziva aritmetički. Ova jednakost vrijedi i obrnuto: ako je u nizu svaki srednji član jednak polovici zbroja susjeda, tada je niz aritmetički. Ta se tvrdnja naziva svojstvom aritmetičkog niza, a u zadacima se koristi za dokazivanje da tri broja čine niz.
Primjer. Brojevi 7, \(x\), 23 su tri uzastopna člana niza. Tada je \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Provjera: 7, 15, 23 — razlike su 8 i 8, sve se slaže.
Praktičan oblik zapisa istog svojstva: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), odnosno dvostruki srednji član jednak je zbroju krajnjih. U tom obliku svojstvo je lakše primijeniti kada su članovi zadani algebarskim izrazima.
Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza
Zbroj \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) računa se jednom od dvije formule:
Ideja prve formule je ona koju je, prema legendi, pronašao učenik Gauss zbrajajući brojeve od 1 do 100. Ako zbrojimo prvi član s posljednjim, drugi s pretposljednjim i tako dalje, svi parovi daju isti zbroj. Odavde \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Druga formula proizlazi iz prve zamjenom \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — potrebna je kada posljednji član nije zadan i ne želimo ga posebno računati.
Primjer. Izračunajmo zbroj prvih dvadeset članova niza 3, 7, 11, 15, 19, …
Po prvoj formuli: \(a_{20} = 79\), stoga \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Po drugoj: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Rezultati su se poklopili — to je najbolja provjera izračuna.
Kako saznati pripada li broj aritmetičkom nizu
Pitanje „je li broj član niza” rješava se jednadžbom. Broj pripada nizu ako i samo ako je njegov redni broj \(n\) prirodan: 1, 2, 3 i tako dalje. Razlomljen ili nepozitivan \(n\) znači da takav član ne postoji.
Primjer 1. Pripada li broj 99 nizu 3, 7, 11, 15, 19, …? Formula \(n\)-tog člana ovdje je \(a_n = 4n - 1\), stoga rješavamo \(4n - 1 = 99\), odakle je \(4n = 100\) i \(n = 25\). Redni broj je prirodan — znači da 99 postoji u nizu, to je njegov dvadeset peti član.
Primjer 2. A broj 2026? Iz \(4n - 1 = 2026\) dobivamo \(4n = 2027\) i \(n = 506{,}75\). Redni broj je razlomljen, stoga 2026 nije član ovog niza.
Korisna napomena za usmenu procjenu: kod niza s formulom \(a_n = 4n - 1\) svi članovi pri dijeljenju s 4 daju ostatak 3. Broj 2026 daje ostatak 2, stoga „promašuje” niz.
Tipični ispitni zadaci za aritmetički niz
U ispitima iz matematike nizovi se pojavljuju svake godine, a gotovo svi zadaci svode se na četiri scenarija.
Pronaći član po rednom broju. Zadani su \(a_1\) i \(d\) (ili nekoliko prvih članova) — uvrštavamo u \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Pronaći redni broj po vrijednosti. Zadan je broj — izjednačavamo s njim formulu \(n\)-tog člana i rješavamo jednadžbu po \(n\).
Pronaći zbroj. Računamo \(S_n\) po jednoj od dvije formule; ako nedostaje \(a_n\) — prvo ga pronalazimo.
Pronaći broj članova. Iz formule \(n\)-tog člana proizlazi praktična posljedica: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Posebno se ističe tekstualni zadatak, gdje je niz skriven u priči. Na primjer: prvog dana radnik je izradio 12 dijelova, a svakog sljedećeg dana — 3 dijela više nego prethodnog; koliko će dijelova izraditi za 15 dana? Ovdje je \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Računamo posljednji član: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Tada je \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) dijelova.
Glavni savjet za takve zadatke: prvo izdvojite u zaseban redak što je zadano (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) i što treba pronaći. Polovica pogrešaka na ispitu ne događa se zbog formula, već zato što se redni broj zamijeni s vrijednošću člana.
Aritmetički i geometrijski niz: u čemu je razlika
Oba niza su pravila po kojima se iz jednog člana dobiva sljedeći. Razlika je u radnji: u aritmetičkom nizu članu dodajemo isti broj \(d\), u geometrijskom — množimo istim brojem \(q\), koji nazivamo kvocijent niza.
Otuda i različito ponašanje. Aritmetički niz raste ravnomjerno, „po stepenicama”: 3, 7, 11, 15 — svaki korak dodaje 4. Geometrijski raste lavinski: 3, 6, 12, 24 — svaki korak udvostručuje broj, i već nakon deset koraka član će biti veći od tisuću i pol.
Provjeriti vrstu niza je lako: izračunajte razlike susjednih članova i njihove omjere. Jednake razlike — niz je aritmetički, jednaki omjeri — geometrijski. Ako se ne poklapa ni jedno ni drugo, pred vama je samo niz: na primjer, 1, 4, 9, 16 — to su kvadrati prirodnih brojeva, i to nije niz (razlike 3, 5, 7 su različite, omjeri također).
U školskom programu obje teme idu jedna za drugom u 9. razredu, stoga se formule lako pomiješaju. Zapamtite oslonac: u aritmetičkom se razlika \(d\) oduzima, u geometrijskom se kvocijent \(q\) dijeli. Sve ostalo su posljedice.
Primjeri rješavanja zadataka o aritmetičkom nizu
Primjer 1. Pronaći prvi član i razliku pomoću dva člana
Zadano. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Pronaći \(a_1\), \(d\) i \(a_{20}\).
Korak 1. Od trećeg do sedmog člana ima točno \(7 - 3 = 4\) koraka, u svakom se dodaje \(d\). Znači \(a_7 = a_3 + 4d\), odnosno \(30 = 14 + 4d\), odakle je \(4d = 16\) i \(d = 4\).
Korak 2. Vraćamo se unatrag do prvog člana: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Korak 3. Zapisujemo formulu \(n\)-tog člana: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Korak 4. Računamo traženi član: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Provjera. Ispišimo početak niza: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Treći član je 14, sedmi 30 — poklopilo se.
Odgovor: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Primjer 2. Zbroj prvih 30 članova (obje formule)
Zadano. Niz \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Pronaći \(S_{30}\).
Korak 1. Određujemo parametre: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Korak 2. Pronalazimo trideseti član: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Korak 3. Računamo po prvoj formuli: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Korak 4. Provjera drugom formulom. Prvo brojnik: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Dalje kao u trećem koraku: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Oba puta su dala 1155 — znači da je aritmetika točna.
Odgovor: \(S_{30} = 1155\).
Primjer 3. Zbroj svih dvoznamenkastih brojeva djeljivih sa 7
Zadatak. Pronaći zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji su djeljivi sa 7.
Korak 1. Ti brojevi sami čine aritmetički niz s razlikom 7. Najmanji dvoznamenkasti broj djeljiv sa sedam je 14, najveći je 98 (sljedeći, 105, je već troznamenkast). Dobivamo \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Korak 2. Računamo broj članova: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Korak 3. Računamo zbroj: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Korak 4. Provjera drugom formulom. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Odgovor: 728.
Primjer 4. Provjeriti pripada li broj nizu
Zadatak. Je li broj 145 član niza \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? A broj 142?
Korak 1. Parametri niza: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), znači \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Korak 2. Provjeravamo 145: jednadžba \(5n + 2 = 145\) daje \(5n = 143\) i \(n = 28{,}6\). Redni broj je razlomljen, stoga 145 nije član niza.
Korak 3. Provjeravamo 142: \(5n + 2 = 142\), odakle je \(5n = 140\) i \(n = 28\). Redni broj je prirodan — broj pripada nizu.
Korak 4. Provjera uvrštavanjem. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Točno.
Odgovor: 145 ne pripada nizu; 142 pripada i njegov je 28. član.
Primjer 5. Karakteristično svojstvo s algebarskim članovima
Zadatak. Za koju vrijednost \(x\) su brojevi \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) tri uzastopna člana aritmetičkog niza?
Korak 1. Po karakterističnom svojstvu dvostruki srednji član jednak je zbroju krajnjih:
Korak 2. Rješavamo zagrade: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Korak 3. Rješavamo: \(2 + 4 = 5x - 4x\), odnosno \(x = 6\).
Korak 4. Provjera. Uvrštavamo \(x = 6\): prvi član \(6 - 3 = 3\), drugi \(2\cdot 6 + 1 = 13\), treći \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Razlike: \(13 - 3 = 10\) i \(23 - 13 = 10\) — jednake.
Odgovor: \(x = 6\), niz 3, 13, 23 s razlikom 10.
Primjer 6. Koliko ima negativnih članova u nizu
Zadatak. Koliko negativnih članova ima niz \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Korak 1. Parametri: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formula \(n\)-tog člana: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Korak 2. Zapisujemo uvjet „član je negativan”: \(3n - 24 < 0\), odakle je \(3n < 24\) i \(n < 8\).
Korak 3. Redni brojevi su prirodni, stoga odgovaraju \(n = 1, 2, \dots, 7\) — ukupno sedam članova.
Korak 4. Provjera granice. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativan. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — nula nije negativan broj, stoga osmi član više ne računamo. \(a_9 = 3\) — pozitivan.
Odgovor: sedam negativnih članova.
Česte pogreške u zadacima o aritmetičkom nizu
-
U formuli $n$-tog člana pišu $a_n = a_1 + nd$ umjesto $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Od prvog do \(n\)-tog člana radi se jedan korak manje od rednog broja. Za niz \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) deseti član je \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), a ne 45. Brza provjera formule: uvrsti \(n = 1\) — trebalo bi ispasti točno \(a_1\).
-
Razliku računaju obrnuto: $d = a_1 - a_2$, i predznak ispadne suprotan.
Razlika je sljedeći član minus prethodni: \(d = a_2 - a_1\). Za niz \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) točno je \(d = 34 - 40 = -6\). Predznak minus ovdje nije pogreška, već znak padajućeg niza.
-
U formuli zbroja zaborave podijeliti s 2 ili pomnožiti s $n$: pišu $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Zbrajaju se parovi „prvi s posljednjim”, njih je točno \(\dfrac{n}{2}\), stoga je dijeljenje s 2 obavezno. Za niz \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) imamo \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) i \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), a ne 670.
-
Pri provjeri pripadnosti broja dobiju $n = 0$ ili negativan $n$ i svejedno odgovore „pripada”.
Redni broj člana je prirodan broj, brojanje počinje od jedinice. Na primjer, za niz \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) jednadžba \(10 + 4(n-1) = 6\) daje \(n = 0\), što znači da 6 ne pripada nizu: taj bi broj stajao ispred prvog člana.
-
Miješaju što je pronađeno: uvrštavaju vrijednost člana tamo gdje treba njegov redni broj, i obrnuto.
\(a_n\) — to je vrijednost, \(n\) — redni broj. Ako u zadatku pitaju „koji po redu član iznosi 142”, odgovor će biti 28, a ne 142. Korisna navika: prije rješavanja ispisati redak „zadano: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), pronaći: \(n\)”.
-
Smatraju da niz mora rasti i sastojati se od cijelih brojeva.
Razlika može biti negativna (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), razlomljena (1; 1,5; 2; 2,5) pa čak i nula (8, 8, 8, …). Sva tri slučaja su valjani aritmetički nizovi, i sve formule za njih rade bez izmjena.
Pitanja i odgovori
Što je aritmetički niz jednostavnim riječima?
To je niz brojeva u kojem se svaki sljedeći broj dobiva dodavanjem istog broja \(d\) — razlike niza. Na primjer, 3, 7, 11, 15, 19, … — niz s prvim članom 3 i razlikom 4.
Koja je formula n-tog člana aritmetičkog niza?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član, \(d\) razlika, \(n\) redni broj. Ako nije poznat prvi, već neki drugi član, vrijedi opći oblik \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Kako pronaći razliku aritmetičkog niza?
Oduzeti od bilo kojeg člana prethodni: \(d = a_n - a_{n-1}\). Ako su zadana dva člana s različitim rednim brojevima, koristite \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Na primjer, pri \(a_5 = 23\) i \(a_9 = 43\) dobivamo \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), a prvi član je \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Kako pronaći prvi član aritmetičkog niza?
Iz formule \(n\)-tog člana: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Na primjer, ako je \(a_{12} = 60\) i \(d = 4\), tada je \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Provjera: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Kako pronaći zbroj prvih n članova aritmetičkog niza?
Po formuli \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), ako je poznat posljednji član, ili po formuli \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), ako su poznati samo prvi član i razlika. Obje daju isti rezultat, stoga je drugu praktično koristiti kao provjeru prve.
Kako pronaći broj članova aritmetičkog niza?
Iz formule \(n\)-tog člana: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Na primjer, u nizu \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) razlika je 5, stoga je \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) članova.
Po čemu se aritmetički niz razlikuje od geometrijskog?
U aritmetičkom se svakom članu dodaje razlika \(d\), a u geometrijskom se svaki član množi kvocijentom \(q\). Formule \(n\)-tog člana: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) naspram \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Da biste odredili vrstu, izračunajte razlike susjednih članova i njihove omjere: jednake razlike — aritmetički, jednaki omjeri — geometrijski.
Može li razlika biti negativna ili jednaka nuli?
Da. Pri \(d < 0\) niz pada (na primjer, 20, 17, 14, 11), pri \(d = 0\) svi članovi su jednaki (6, 6, 6, …) — to je konstantan niz. Razlika može biti i razlomljena: 1; 1,5; 2; 2,5 — također aritmetički niz.
U kojem se razredu uči aritmetički niz?
U 9. razredu na satovima algebre, zajedno s geometrijskim nizom i brojčanim nizovima. Zadaci o nizovima dio su ispita: obično se traži pronalaženje člana po rednom broju, rednog broja po vrijednosti, broja članova ili zbroja prvih \(n\) članova.
