Nejednadžba je dva izraza povezana znakom \(<\), \(>\), \(\le\) ili \(\ge\). Riješiti nejednadžbu znači pronaći sve vrijednosti varijable za koje ona postaje točna numerička nejednadžba. Odgovor neće biti jedan broj, već cijeli skup: interval na brojevnom pravcu ili unija intervala. Na ovoj stranici prikupljena je baza, zajednička svim vrstama nejednadžbi: kako čitati znakove, koje su transformacije dopuštene, zašto se znak preokreće pri dijeljenju negativnim brojem i kako pravilno zapisati odgovor. A zatim — pregled svih vrsta nejednadžbi s poveznicama na detaljne analize i trenažer za provjeru sebe.
Što znači riješiti nejednadžbu
Rješenje nejednadžbe je bilo koja vrijednost varijable koja nejednadžbu pretvara u točnu numeričku. A riješiti nejednadžbu znači pronaći sve takve vrijednosti i zapisati ih kao skup.
Usporedi s jednadžbom. Jednadžba \(2x = 8\) ima odgovor — jedan broj \(x = 4\). Nejednadžba \(2x < 8\) ima odgovor — beskonačno mnogo brojeva: odgovarat će i \(3\), i \(0\), i \(-100\), i \(3{,}999\). Nemoguće ih je zapisati pojedinačno, stoga se odgovor oblikuje intervalom: \(x < 4\), tj. \((-\infty;\ 4)\).
Provjeriti je li konkretan broj rješenje, lako je: uvrsti ga umjesto varijable i pogledaj je li dobivena točna nejednadžba.
- \(x = 1\) u nejednadžbi \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — točno, dakle \(1\) — rješenje.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — netočno, dakle \(5\) nije rješenje.
Dva se nejednadžbe nazivaju ekvivalentnima ako imaju jednake skupove rješenja. Cijelo rješavanje nejednadžbe je lanac prijelaza na jednostavniju ekvivalentnu nejednadžbu, dok s lijeve strane ne ostane samostalni \(x\).
Znakovi nejednadžbi: stroge i nestroge
Znakova su četiri, i od toga koji stoji, ovisi i odgovor i oblikovanje. Strogi znakovi \(<\) i \(>\) samu graničnu točku ne uključuju u odgovor, nestrogi \(\le\) i \(\ge\) — uključuju.
Ta razlika vuče se kroz cijelo rješavanje: strogi znak daje «ispucanu» (praznu) točku na pravcu i okruglu zagradu u odgovoru, nestrogi — popunjenu točku i uglatu zagradu.
| Znak | Kako se čita i što daje u odgovoru |
|---|---|
| < | manjestrogitočka ispuštena, zagrada okrugla |
| > | većestrogitočka ispuštena, zagrada okrugla |
| ≤ | manje ili jednakonestrogitočka popunjena, zagrada uglata |
| ≥ | veće ili jednakonestrogitočka popunjena, zagrada uglata |
Ekvivalentne transformacije: što se smije raditi s nejednadžbom
S nejednadžbom je dopušteno raditi gotovo isto što i s jednadžbom, ali s jednom važnom napomenom. Zbrajati i oduzimati se može slobodno: ako se objema stranama doda ili od obje strane oduzme ista vrijednost, skup rješenja se neće promijeniti. Upravo tako se članovi «prebacuju» preko znaka, mijenjajući im predznak.
A množenje i dijeljenje ovisi o predznaku faktora. Pri množenju ili dijeljenju obje strane negativnim brojem, znak nejednadžbe mijenja se u suprotni: \(<\) postaje \(>\), \(\le\) postaje \(\ge\) i obrnuto. Razlog je vidljiv na brojevima: iz točnog \(3 < 5\) nakon množenja s \(-1\) dobiva se \(-3\) i \(-5\), a \(-3 > -5\) — redoslijed brojeva se preokrenuo.
Isto se događa ako se zamijene mjesta lijeve i desne strane: iz \(7 < y\) dobiva se \(y > 7\).
| Što radimo s obje strane | Što sa znakom |
|---|---|
| Dodajemo ili oduzimamo isti broj ili izraz | znak se zadržava |
| Množimo ili dijelimo s pozitivnim brojem | znak se zadržava |
| Množimo ili dijelimo s negativnim brojem | znak se mijenja |
| Zamjenjujemo lijevu i desnu stranu | znak se mijenja |
| Množimo ili dijelimo izrazom s varijablom (x − 2) | nije dopušteno |
Kako zapisati odgovor: brojevni pravac i intervali
Kada varijabla ostane sama, rješenje je gotovo — preostaje ga oblikovati. Najpogodnije je prvo označiti odgovor na brojevnom pravcu, a s njega već brojati interval.
Pravila zapisa su samo tri, i ne mijenjaju se ovisno o vrsti nejednadžbe:
- okrugla zagrada — točka se ne uključuje u odgovor (strogi znak, ispuštena točka);
- uglata zagrada — točka se uključuje (nestrogi znak, popunjena točka);
- kod beskonačnosti je zagrada uvijek okrugla: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — zapis oblika \([-\infty;\ 4]\) ne postoji, beskonačnost nije broj i ne može se dosegnuti.
Ako su rješenjem ispala dva dijela pravca, spajaju se znakom unije \(\cup\): na primjer, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Vrste nejednadžbi i načini njihovog rješavanja
Nejednadžbe se razlikuju po tome kako varijabla ulazi u njih — je li u prvom stupnju, pod kvadratom, u nazivniku ili pod apsolutnom vrijednosti. Upravo to određuje način rješavanja, stoga je prvi korak svakog rješavanja — utvrditi vrstu nejednadžbe. Opća logika dalje je ista: svesti nejednadžbu na oblik «izraz se uspoređuje s nulom», a zatim primijeniti metodu koja odgovara toj vrsti. Sažetak vrsta i metoda — u tablici ispod.
Posebno treba zapamtiti kako se rastvara apsolutna vrijednost — tablica to ne obuhvaća. Za \(a > 0\) nejednadžba \(|f(x)| < a\) ekvivalentna je dvostrukoj nejednadžbi \(-a < f(x) < a\) (dobiva se sustav), a \(|f(x)| > a\) — disjunkciji \(f(x) < -a\) ili \(f(x) > a\) (dobiva se unija intervala). Ako je pak \(a < 0\), nema o čemu razmišljati: apsolutna vrijednost je nenegativna, stoga \(|f(x)| < a\) nema rješenja, a \(|f(x)| > a\) vrijedi za sve dopuštene \(x\).
Iracionalne (s korijenom) i eksponencijalne nejednadžbe obrađuju se u višim razredima: na uobičajene transformacije dodaje se rad s područjem dopuštenih vrijednosti.
Detaljne analize pojedinih vrsta: linearne nejednadžbe, racionalne nejednadžbe i metoda intervala, a korijeni kvadratnog trinoma zgodno se traže prema Vietinom pravilu.
| Vrsta | Kako izgleda i čime se rješava |
|---|---|
| Linearna | ax + b > 0prebacujemo članove i dijelimo s koeficijentom uz x |
| Kvadratna | ax2 + bx + c > 0tražimo korijene trinoma i gledamo parabolu |
| Razlomljeno-racionalna | P(x) / Q(x) ≥ 0metoda intervala, nule nazivnika ispuštamo |
| S apsolutnom vrijednosti | | f(x) | < arastvaramo apsolutnu vrijednost po definiciji |
| Sustav | dvije nejednadžbe u vitičastoj zagradirješavamo svaku, uzimamo presjek |
Sustavi i disjunkcije nejednadžbi
Često se jedna nejednadžba raspada na dvije, i tada je važno ne pobrkati što raditi s dobivenim skupovima.
Sustav (vitičasta zagrada) znači «i jedno i drugo istovremeno». Rješavamo svaku nejednadžbu posebno, označavamo oba odgovora na istom pravcu i uzimamo presjek — zajednički dio. Ako zajedničkog dijela nema, sustav nema rješenja.
Disjunkcija (uglata zagrada) znači «ili jedno ili drugo». Ovdje se uzima unija — sve što je obojano barem jednim od odgovora. Disjunkcija se pojavljuje, na primjer, pri rastvaranju apsolutne vrijednosti sa znakom «veće».
Posebno vrijedi dvostruka nejednadžba oblika \(-3 < 2x + 1 \le 7\): to je kratki zapis sustava. Transformacije se izvode odmah nad sve tri strane — oduzima se, dijeli, i pri dijeljenju negativnim brojem preokreću se oba znaka zajedno.
Primjeri rješavanja nejednadžbi
Primjer 1. Provjeriti je li broj rješenje
Zadatak. Je li \(x = -1\) rješenje nejednadžbe \(3x + 5 \ge 1\)?
Korak 1. Uvrštavamo \(-1\) umjesto \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Korak 2. Uspoređujemo s desnom stranom: \(2 \ge 1\) — točna numerička nejednadžba.
Odgovor. Da, \(-1\) je jedno od rješenja. Ali riješiti nejednadžbu znači pronaći sve takve brojeve, a ne jedan: ovdje je odgovor \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Primjer 2. Linearna nejednadžba s promjenom znaka
Zadatak. Riješiti \(7 - 3x < 1\).
Korak 1. Prebacujemo \(7\) udesno (tj. oduzimamo \(7\) od obje strane — znak nejednadžbe se ne mijenja): \(-3x < 1 - 7\), dakle \(-3x < -6\).
Korak 2. Dijelimo obje strane s \(-3\). Djelitelj je negativan, stoga se znak preokreće: \(x > 2\).
Korak 3. Označavamo na pravcu: ispuštena točka u \(2\), popunjavamo sve udesno.
Odgovor. \(x > 2\), tj. \(x \in (2;\ +\infty)\).
Primjer 3. Kvadratna nejednadžba
Zadatak. Riješiti \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Korak 1. Nalazimo korijene trinoma: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), odakle \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Korak 2. Koeficijent uz \(x^2\) je pozitivan, stoga su grane parabole usmjerene prema gore: između korijena trinom je negativan, a izvan korijena — pozitivan.
Korak 3. Nama treba znak \(\le 0\), tj. negativne vrijednosti i sami korijeni (znak je nestrogi) — uzimamo segment između korijena zajedno s krajevima.
Odgovor. \(x \in [-1;\ 5]\).
Primjer 4. Nejednadžba s apsolutnom vrijednosti
Zadatak. Riješiti \(|x + 1| > 4\).
Korak 1. Apsolutna vrijednost je veća od pozitivnog broja — znači izraz pod apsolutnom vrijednosti je ili veći od \(4\), ili manji od \(-4\). Dobivamo disjunkciju: \(x + 1 > 4\) ili \(x + 1 < -4\).
Korak 2. Rješavamo svaku: iz prve \(x > 3\), iz druge \(x < -5\).
Korak 3. Ovo je disjunkcija, stoga uzimamo uniju intervala, a ne presjek.
Odgovor. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Primjer 5. Sustav nejednadžbi
Zadatak. Riješiti sustav \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Korak 1. Prva nejednadžba: \(2x > -4\), dijelimo s pozitivnim \(2\) — znak se zadržava, \(x > -2\).
Korak 2. Druga nejednadžba: \(x \le 4\).
Korak 3. Označavamo oba odgovora na istom pravcu i uzimamo presjek — dio koji je obojan dvaput. Lijeva granica ne ulazi (strogi znak), desna ulazi (nestrogi).
Odgovor. \(x \in (-2;\ 4]\).
Česte pogreške pri rješavanju nejednadžbi
-
Podijelili su obje strane negativnim brojem i ostavili stari znak.
Pri množenju i dijeljenju obje strane negativnim brojem znak se obavezno mijenja u suprotni. Iz \(-5x \ge 10\) dobiva se \(x \le -2\), a ne \(x \ge -2\). Možete se provjeriti uvrštavanjem: \(x = -3\) daje \(15 \ge 10\) — točno, dakle točan odgovor je zaista «manje ili jednako».
-
Pišu uglatu zagradu kod beskonačnosti: $[-\infty;\ 7]$.
Beskonačnost nije broj, ona se ne može «dosegnuti», stoga je zagrada uz \(\infty\) uvijek okrugla: \((-\infty;\ 7]\). Uglata zagrada stavlja se samo uz konačnu granicu koja ulazi u odgovor.
-
Miješaju vrstu zagrade i vrstu točke: strogi znak zapisuju uglatom zagradom.
Strogi znak (\(<\), \(>\)) — granica ne ulazi: ispuštena točka i okrugla zagrada. Nestrogi (\(\le\), \(\ge\)) — granica ulazi: popunjena točka i uglata zagrada. Provjera je jednostavna: uvrstite samu graničnu točku u početnu nejednadžbu i pogledajte je li dobivena točna.
-
Množe obje strane izrazom s varijablom kako bi se «riješili razlomka».
Znak takvog izraza je nepoznat, stoga nije jasno treba li znak nejednadžbe preokrenuti ili ne — transformacija nije ekvivalentna. Umjesto toga, sve se prebacuje na jednu stranu, svodi na jedan razlomak i primjenjuje metoda intervala.
-
U odgovor zapisuju jedan broj: «$x = 3$» umjesto skupa.
Rješenje nejednadžbe je skup vrijednosti. Zapiši ga intervalom: \(x > 3\), tj. \((3;\ +\infty)\). Jedan broj može biti samo elementom odgovora, ali ne i samim odgovorom.
-
Za sustav uzimaju uniju, a za disjunkciju — presjek.
Za sustav (vitičasta zagrada, «i») — presjek, zajednički dio intervala. Za disjunkciju (uglata zagrada, «ili») — unija preko znaka \(\cup\). I još: zapis oblika «\(-2 < x > 5\)» nema smisla — takav odgovor oblikuje se kao unija dva intervala.
Pitanja i odgovori
Što znači riješiti nejednadžbu?
Riješiti nejednadžbu znači pronaći sve vrijednosti varijable za koje ona postaje točna numerička nejednadžba, i zapisati ih kao skup. Odgovor će biti interval ili unija intervala, a ne zaseban broj.
Koje vrste nejednadžbi postoje?
Prema vrsti izraza s varijablom razlikuju se linearne (\(ax + b > 0\)), kvadratne (\(ax^2 + bx + c > 0\)), razlomljeno-racionalne (varijabla u nazivniku), s apsolutnom vrijednosti, iracionalne i eksponencijalne. Posebno se izdvajaju sustavi i disjunkcije nejednadžbi. Prema znaku nejednadžbe dijele se na stroge (\(<\), \(>\)) i nestroge (\(\le\), \(\ge\)).
Kada se znak nejednadžbe mijenja u suprotni?
U dva slučaja: kada se obje strane množe ili dijele negativnim brojem i kada se lijeva i desna strana zamijene mjestima. Pri zbrajanju, oduzimanju i dijeljenju pozitivnim brojem znak ostaje isti.
Kada je zagrada okrugla, a kada uglata?
Okrugla — ako granična točka ne ulazi u odgovor (strogi znak, ispuštena točka na pravcu). Uglata — ako ulazi (nestrogi znak, popunjena točka). Blizu \(+\infty\) i \(-\infty\) zagrada je uvijek okrugla. Uglata zagrada stavlja se samo uz konačnu granicu koja ulazi u odgovor.
Čime se rješenje nejednadžbe razlikuje od rješenja jednadžbe?
Transformacije su gotovo iste, ali jednadžba obično ima odgovor koji se sastoji od zasebnih brojeva, dok nejednadžba ima odgovor koji se sastoji od cijelih intervala. Osim toga, nejednadžba ima pravilo promjene znaka pri množenju i dijeljenju negativnim brojem, kojeg u jednadžbama nema.
Koja se nejednadžba smatra razlomljenom i gdje se obrađuje?
Razlomljena (razlomljeno-racionalna) naziva se nejednadžba u kojoj se varijabla nalazi u nazivniku — na primjer \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); zbog nazivnika ona ima područje dopuštenih vrijednosti, i običnim dijeljenjem se ne može riješiti. Detaljan algoritam s primjerima — u zasebnom materijalu racionalne nejednadžbe i metoda intervala.
U kojem se razredu uči rješavanje nejednadžbi?
Linearne nejednadžbe i brojevni intervali obrađuju se u 8. razredu (kod Merzljaka — u 9.), kvadratne i razlomljeno-racionalne nejednadžbe s metodom intervala — u 8.–9. razredu, a iracionalne i eksponencijalne — u višim razredima.
