Tablica množenja sadrži sve umnoške brojeva od 1 do 10. Na ovoj stranici dostupna je u dva oblika: kao kvadrat 10 × 10 (Pitagorina tablica) i po stupcima za 2, 3, 4… 9 — oba su prikladna za ispis. Tu su i trikovi nakon kojih ostaje manje od polovice tablice za učenje, pravilo prstiju za devet, veza s dijeljenjem i plan kako naučiti tablicu u tjedan dana. Svoje znanje možete provjeriti na kartici „Vježbač”.
Provjeri sebe: 10 varijanti po 12 zadataka, podsjetnik kroz susjedni zadatak.
Otvori trenerŠto je množenje
Množenje je kraći zapis zbrajanja jednakih pribrojnika. Umjesto da pišemo \(4 + 4 + 4\), pišemo \(4 \times 3\): „četiri uzeto tri puta”.
Brojevi koji se množe zovu se faktori, a rezultat je umnožak. U zapisu \(4 \times 3 = 12\) faktori su 4 i 3, a umnožak je 12.
Najlakše je zamisliti množenje kao pravokutnik od točaka ili kvadratića: koliko redaka i koliko ih je u svakom. Takav pravokutnik odmah prikazuje i zbrajanje i množenje, kao i to zašto se zamjenom mjesta faktora rezultat ne mijenja — dovoljno je okrenuti sliku.
Tablica množenja: Pitagorina tablica od 1 do 10
Cijela tablica množenja stane u jedan kvadrat 10 × 10 — zove se Pitagorina tablica. Kako se njome koristiti: pronađemo prvi faktor u lijevom stupcu, drugi u gornjem retku, a rezultat je na presjeku. Na primjer, redak 6 i stupac 7 susreću se u polju 42.
Pogledate li tablicu, uočit ćete uzorke. Na dijagonali su kvadrati — brojevi pomnoženi sami sa sobom. Tablica je simetrična: polje iznad dijagonale jednako je polju ispod nje. A svaki redak je niz s jednakim koracima: redak 3 ide 3, 6, 9, 12…
Tablicu je praktično ispisati i objesiti iznad stola: kvadrati i ponavljajuća polja istaknuti su bojom.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Tablica množenja s 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 po stupcima
U školi se tablica obično uči po stupcima: prvo sve množenje s 2, zatim s 3 i tako dalje. To su isti brojevi kao u Pitagorinoj tablici, samo je svaki redak ispisan kao zadatak. Stupci s 1 i 10 ovdje nisu prikazani: pri množenju s 1 broj se ne mijenja, a pri množenju s 10 dodaje se nula.
Stupci su dobri za učenje tablice po dijelovima. No ako odgovarate samo redom, lako se naviknete „brojati” od početka. Zato, kad naučite stupac, provjerite ga nasumično.
Kako brzo naučiti tablicu množenja: polovica je već poznata
Tablica izgleda kao stotinu zadataka, ali zapravo treba naučiti puno manje.
- Zakon zamjene mjesta. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Ako ste naučili jedno, drugo već znate. Od 100 polja ostaje 55 različitih — gotovo polovica tablice besplatno.
- Množenje s 0 i s 1. Bilo koji broj pomnožen s 0 daje 0. Pomnožen s 1 — ostaje isti.
- Množenje s 10. Broju dodajemo nulu: \(10 \times 4 = 40\).
- Množenje s 2 — to je udvostručavanje, broj se zbraja sam sa sobom.
- Množenje s 5 — polovica od množenja s 10. Svi rezultati završavaju na 0 ili 5.
Nakon ovih pravila u stupcima od 3 do 9 ostaje vrlo malo zadataka. Svaki od njih može se izvesti iz onoga što već znate — trikovi su ispod.
Tablica množenja s 9: na prste i po zbroju znamenki
Stupac s 9 je najzanimljiviji. Ima dva pouzdana pravila.
Pravilo zbroja znamenki. U rezultatima od \(9 \times 2\) do \(9 \times 10\) zbroj znamenki uvijek je 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. A znamenka desetica za jedan je manja od drugog faktora. Dakle, \(9 \times 4\): desetica ima 3, a jedinica toliko da zajedno bude 9, dakle 6. Rezultat je 36.
Pravilo prstiju. Stavite ruke ispred sebe, prste numerirajte slijeva nadesno od 1 do 10. Da biste pomnožili 9 s brojem, savijte prst s tim brojem. Prsti lijevo od savijenog su desetice, desno su jedinice. Pravilo vrijedi za faktore od 1 do 10.
Postoji i treći način, bez prstiju: pomnožiti s 10 i oduzeti sam broj.
Tablica množenja sa 6, 7 i 8: kvadrati i susjedi
Ovi se stupci smatraju najtežima, ali nakon svih trikova u njima ostaje samo nekoliko novih zadataka: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 i 8 × 8.
Kvadrati se pamte lakše od ostalih jer ih je malo i nalaze se na dijagonali tablice: 36, 49, 64. Kad naučite kvadrate, možete dobiti susjedne rezultate u jednom koraku: \(7 \times 8\) — to je \(7 \times 7\) i još jedna sedmica: \(49 + 7 = 56\). Isto tako \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).
Drugi put je preko petice: \(6 \times 8\) — to je \(5 \times 8\) i još jedna osmica: \(40 + 8 = 48\).
Za 7 × 8 postoji i brojčani podsjetnik: \(56 = 7 \times 8\) — znamenke 5, 6, 7, 8 idu redom.
Tablica množenja i dijeljenja
Dijeljenje je radnja suprotna množenju. Zato ne treba učiti posebnu „tablicu dijeljenja”: ona je već skrivena u tablici množenja.
Od tri broja jednog zadatka dobivaju se četiri točne jednakosti: dvije za množenje i dvije za dijeljenje. Ako znate da je \(7 \times 8 = 56\), onda znate i da je \(56 \div 8 = 7\) i \(56 \div 7 = 8\).
Kako koristiti Pitagorinu tablicu za dijeljenje: pronađite u retku djelitelja djeljenik — broj stupca bit će rezultat.
Kako naučiti tablicu množenja u tjedan dana: plan po danima
Redoslijed učenja je važan: prvo najlakši stupci i pravila koja daju mnogo rezultata odjednom, a teški zadaci na kraju, kad ih ostane malo. Bolje je vježbati pomalo svaki dan, 10–15 minuta, nego jednom dugo.
Svako vježbanje započnite kratkim ponavljanjem jučerašnjeg. Odgovarajte naglas i nasumično, a ne redom. Pogreške zapisujte posebno: to je vaš osobni popis za sutra.
Provjeravati se možete na kartici „Vježbač” ove stranice: tamo možete odabrati pojedinačne stupce — na primjer, samo 6, 7 i 8 — i vježbati upravo njih.
Zadaci s objašnjenjem: kako pronaći rezultat ako zaboravite
Primjer 1. Zaboravio sam 6 × 9 — kako se sjetiti
Način 1 — preko desetice. \(10 \times 6 = 60\), oduzmemo jednu šesticu: \(60 - 6 = 54\).
Način 2 — preko petice. \(5 \times 9 = 45\), dodamo još jednu devetku: \(45 + 9 = 54\).
Provjera zbrojem znamenki: \(5 + 4 = 9\) — rezultat iz stupca s 9 izgleda točno.
Rezultat: \(6 \times 9 = 54\).
Primjer 2. 4 × 8 udvostručavanjem
Korak 1. Pomnožiti s 4 — znači udvostručiti dvaput.
Korak 2. \(8 + 8 = 16\).
Korak 3. \(16 + 16 = 32\).
Rezultat: \(4 \times 8 = 32\). Isti broj nalazi se i u polju \(8 \times 4\).
Primjer 3. Dijeljenje kroz tablicu: 72 ÷ 9
Korak 1. Postavljamo pitanje za množenje: s koliko treba pomnožiti 9 da bismo dobili 72?
Korak 2. Prisjećamo se stupca s 9: u broju 72 znamenka desetica je 7, što znači da je drugi faktor za jedan veći — 8.
Korak 3. Provjeravamo: \(9 \times 8 = 72\).
Rezultat: \(72 \div 9 = 8\).
Primjer 4. Zadatak: kutije s olovkama
Zadatak. U jednoj kutiji ima 6 olovaka. Koliko olovaka ima u 4 kutije?
Korak 1. Jednaku količinu uzimamo nekoliko puta — to je množenje: \(6 \times 4\).
Korak 2. Udvostručujemo dvaput: \(6 \to 12 \to 24\).
Rezultat: 24 olovke.
Česte pogreške u tablici množenja
-
Miješaju 7 × 8 i 6 × 8: kažu „7 × 8 = 48”.
48 je 6 × 8. Rezultat 7 × 8 za jednu je osmicu veći: 48 + 8 = 56. Podsjetnik: u zapisu 56 = 7 × 8 znamenke 5, 6, 7, 8 idu redom.
-
Miješaju rezultate 6 × 7, 6 × 8 i 7 × 8 — brojevi 42, 48 i 56 „plutaju”.
Oslonite se na kvadrate: 6 × 6 = 36, dakle 6 × 7 = 36 + 6 = 42. 7 × 7 = 49, dakle 7 × 8 = 49 + 7 = 56. A 6 × 8 = 40 + 8 = 48 preko petice. Svaki od tri broja dobiva se svojim kratkim putem.
-
Pri množenju s 0 pišu isti broj: 5 × 0 = 5.
Ako pet puta uzmete nulu, dobit ćete nulu. Bilo koji broj pomnožen s 0 jednak je 0. Broj ostaje isti samo pri množenju s 1.
-
Pri množenju s 1 dodaju jedinicu: 8 × 1 = 9.
Pomnožiti s 1 — znači uzeti broj jedanput, stoga je 8 × 1 = 8. Dodavanje jedinice je zbrajanje, a ne množenje.
-
Zbrajaju umjesto da množe: 4 × 4 = 8.
4 + 4 = 8, a 4 × 4 su četiri četvorke: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Zbrka dolazi od 2 × 2 = 2 + 2 = 4 — to je jedini slučaj gdje se zbrajanje i množenje podudaraju.
-
Znaju stupac samo redom i svaki put računaju od početka: „7, 14, 21, 28…”.
To je brojanje, a ne poznavanje tablice. Kad naučite stupac, vježbajte ga nasumično dok se rezultat ne pojavi odmah. Na kartici „Vježbač” zadaci idu upravo tako.
Pitanja i odgovori
Kako brzo naučiti tablicu množenja?
Ne učite stotinu zadataka redom. Prvo zakon zamjene mjesta i jednostavna pravila (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) — nakon njih ostaje manje od polovice tablice. Zatim trikovi za ×4 i ×9, pa kvadrati i susjedi za ×6, ×7, ×8. Vježbajte 10–15 minuta dnevno i provjeravajte se nasumično — tako se tablica usvoji za otprilike tjedan dana.
Koliko zadataka u tablici množenja zapravo treba naučiti?
U Pitagorinoj tablici ima 100 polja, ali zbog zakona zamjene mjesta različitih zadataka ima samo 55. Ako uklonite množenje s 0, 1, 2, 5 i 10, koje se rješava pravilima, i stupac s 9 s pravilom prstiju, ostaje 15 zadataka. A najtežih, za koje treba trik, ima desetak, uglavnom u stupcima sa 6, 7 i 8.
Po čemu se Pitagorina tablica razlikuje od tablice množenja po stupcima?
Brojevi u njima su isti. Pitagorina tablica je kvadrat 10 × 10, gdje je rezultat na presjeku retka i stupca; u njoj se dobro vide uzorci i simetrija. Stupci su isti reci, ispisani kao zadaci „7 × 3 = 21”; njih je praktično učiti po dijelovima.
Kako ispisati tablicu množenja?
Otvorite ovu stranicu i odaberite ispis u pregledniku (na računalu — Ctrl+P ili ⌘+P). U ispis će ući i Pitagorina tablica i tablica po stupcima; nepotrebne stranice ne morate ispisivati ako navedete njihove brojeve u prozoru za ispis.
U kojem se razredu uči tablica množenja?
Obično u 2. ili 3. razredu: prvo se upoznaju s množenjem kao zbrajanjem jednakih brojeva, zatim uče tablicu po stupcima i odmah je povezuju s dijeljenjem. Točan redoslijed ovisi o školskom programu.
Zašto učiti tablicu napamet ako postoji kalkulator?
Na tablici množenja temelji se gotovo sva daljnja matematika: dijeljenje, razlomci, skraćivanje, množenje višeznamenkastih brojeva, jednadžbe. Ako svaki put računate, pažnja odlazi na aritmetiku, a ne na sam zadatak.
Kako naučiti tablicu množenja s djetetom bez suza?
Kratko vježbanje svaki dan, a ne jedno dugo. Počnite s onim što ide i pokažite da dijete već zna mnoge rezultate. Pohvalite za brzinu i točne odgovore, a teške zadatke ponavljajte češće. Dobro funkcioniraju igre brzine i kartice nasumično.
Kako provjeriti je li tablica množenja naučena?
Tablica je naučena ako se odgovor na bilo koji zadatak nasumično pojavljuje odmah, bez preračunavanja, i ako jednako brzo odgovarate na obrnute zadatke dijeljenja. Provjeriti se možete na kartici „Vježbač” — tamo se vidi u kojim stupcima su pogreške.
