Aritmetička sredina, medijan, mod i raspon četiri su načina opisivanja skupa brojeva. Tri od njih — aritmetička sredina, medijan i mod — mjere su središnje vrijednosti: one vam govore kako izgleda "tipična" vrijednost. Četvrta, raspon, mjeri koliko su podaci raspršeni. Na ovoj stranici pronaći ćete jasnu definiciju svakog pojma, točan način izračuna (uključujući i medijan kod parnog broja podataka), kada koristiti pojedinu mjeru, riješene primjere, česte pogreške i interaktivni kviz za vježbu.
Što su aritmetička sredina, medijan, mod i raspon?
Svaka mjera odgovara na drugačije pitanje o vašim podacima:
- Aritmetička sredina — prosjek. Uravnotežuje sve vrijednosti u jedan broj.
- Medijan — srednja vrijednost kada su brojevi poredani po veličini.
- Mod — vrijednost koja se pojavljuje najčešće.
- Raspon — raspršenost, od najmanje do najveće vrijednosti.
Tablica u nastavku prikazuje što je svaka od njih i kako se računa. Primijetite da se samo mod odnosi na učestalost, a samo raspon opisuje raspršenost, a ne središnju vrijednost.
| Mjera | Što je to | Kako izračunati |
|---|---|---|
| Aritmetička sredina | Prosječna vrijednost | Zbrojite sve brojeve, a zatim podijelite s njihovim brojem |
| Medijan | Srednja vrijednost u nizu | Poredajte brojeve; odaberite srednji. Ako postoje dva srednja broja, izračunajte njihov prosjek |
| Mod | Najčešća vrijednost | Pronađite vrijednost koja se pojavljuje najčešće. Može ih biti nijedan, jedan ili više |
| Raspon | Raspršenost podataka | Oduzmite najmanju vrijednost od najveće vrijednosti |
Kako pronaći aritmetičku sredinu, medijan i mod
Izračunajmo sve četiri mjere za jedan skup podataka kako biste vidjeli po čemu se razlikuju. Uzmimo brojeve 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (sedam vrijednosti).
Aritmetička sredina. Zbrojimo ih: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Ima 7 vrijednosti, pa je aritmetička sredina 42 ÷ 7 = 6.
Medijan. Prvo poredamo: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Sa 7 vrijednosti srednja je 4. po redu, pa je medijan 6. (Uvijek poredajte prije nego što odaberete srednji broj — to je najčešća pogreška.)
Mod. Vrijednost 8 pojavljuje se tri puta, češće od bilo koje druge, pa je mod 8.
Raspon. Najveća vrijednost je 8, a najmanja 3, pa je raspon 8 − 3 = 5.
Jedan skup podataka, četiri različita odgovora — zato imamo četiri mjere.
Kada koristiti koju mjeru
Mjere se ne natječu — svaka je najbolja za drugu vrstu pitanja.
- Aritmetička sredina je svakodnevni "prosjek" i odlična je kada su vrijednosti prilično ujednačene, poput prosječnih ocjena na testovima ili dnevnih temperatura. Njezina slabost: jedna vrlo velika ili vrlo mala vrijednost (ekstremna vrijednost) može je značajno udaljiti od sredine.
- Medijan je srednja vrijednost, pa ga ekstremne vrijednosti jedva pomiču. Zato se cijene kuća i prihodi obično prikazuju kao medijani — jedna vila neće iskriviti tipičnu vrijednost.
- Mod je jedina mjera koja funkcionira za stvari koje ne možete zbrajati, poput najprodavanije veličine cipela ili omiljene boje u razredu. Skup podataka može imati jedan mod, nekoliko modova ili nijedan.
- Raspon uopće ne opisuje tipičnu vrijednost — on vam govori koliko su podaci raspršeni. Mali raspon znači da su vrijednosti blizu jedna drugoj; veliki raspon znači da su daleko jedna od druge.
Riješeni primjeri: korak po korak
Primjer 1. Sve četiri mjere na jednom skupu podataka
Skup podataka: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
1. korak — Poredajte brojeve. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
2. korak — Aritmetička sredina. Zbrojite ih: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Ima 7 vrijednosti, pa je aritmetička sredina 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
3. korak — Medijan. Sa 7 vrijednosti srednja je 4. po redu u poredanom nizu: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Medijan je 6.
4. korak — Mod. Vrijednost 3 pojavljuje se tri puta, češće od bilo koje druge, pa je mod 3.
5. korak — Raspon. Najveća minus najmanja: 10 − 3 = 7.
Odgovor: aritmetička sredina ≈ 5,57, medijan = 6, mod = 3, raspon = 7.
Primjer 2. Medijan s parnim brojem vrijednosti
Skup podataka: 12, 5, 8, 20 (četiri vrijednosti — paran broj).
1. korak — Poredajte. 5, 8, 12, 20.
2. korak — Pronađite dvije srednje vrijednosti. Kod parnog broja ne postoji jedan srednji broj. Ovdje su dvije srednje vrijednosti 8 i 12.
3. korak — Izračunajte njihov prosjek. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Medijan je 10 — iako 10 nije jedan od izvornih brojeva. To je normalno za medijan kod parnog broja podataka.
Primjer 3. Skup podataka bez moda
Skup podataka: 2, 5, 9, 11, 14.
Svaka se vrijednost pojavljuje točno jednom, pa se nijedna vrijednost ne ponavlja. Ovaj skup podataka nema mod — to je valjan odgovor, a ne pogreška.
Za razliku od toga, skup podataka 4, 4, 7, 7, 9 ima dva moda (4 i 7) jer se oba pojavljuju najčešće. Skup s dva moda naziva se bimodalan.
Česte pogreške koje treba izbjegavati
-
Pronalaženje medijana bez prethodnog sortiranja brojeva.
Medijan je srednja vrijednost brojeva poredanih po veličini. Uvijek poredajte od najmanjeg do najvećeg prije nego što odaberete srednji broj. U nizu 7, 2, 9 medijan je 7 (poredano: 2, 7, 9), a ne 9.
-
Kod parnog broja vrijednosti, odabir samo jednog od dva srednja broja.
Kod parnog broja podataka ne postoji jedan srednji broj. Uzmite dvije srednje vrijednosti i izračunajte njihov prosjek. Za 5, 8, 12, 20 medijan je (8 + 12) ÷ 2 = 10, a ne 8 ili 12.
-
Pretpostavka da svaki skup podataka mora imati točno jedan mod.
Skup podataka može nemati mod (ako se ništa ne ponavlja) ili imati nekoliko modova (ako dvije ili više vrijednosti dijele prvo mjesto po učestalosti). Oboje su točni odgovori — nemojte forsirati jedan mod.
-
Miješanje aritmetičke sredine i medijana, te njihovo tretiranje kao iste stvari.
Aritmetička sredina je prosjek (zbrojite i podijelite); medijan je srednja vrijednost u nizu. Često su različiti, posebno kada postoji ekstremna vrijednost. Za 2, 3, 4, 100 aritmetička sredina je 27,25, ali medijan je samo 3,5.
-
Miješanje raspona s modom ili zaboravljanje oduzimanja.
Raspon je mjera raspršenosti: najveća vrijednost minus najmanja vrijednost. To je jedan broj koji opisuje raspršenost, a ne najčešća vrijednost. Za 4, 9, 15 raspon je 15 − 4 = 11.
Često postavljana pitanja
Što su aritmetička sredina, medijan, mod i raspon?
Aritmetička sredina je prosjek (zbrojite sve vrijednosti i podijelite s njihovim brojem). Medijan je srednja vrijednost kada su brojevi poredani. Mod je vrijednost koja se pojavljuje najčešće. Raspon je najveća vrijednost minus najmanja vrijednost. Aritmetička sredina, medijan i mod opisuju tipičnu vrijednost; raspon opisuje koliko su podaci raspršeni.
Kako pronaći aritmetičku sredinu skupa podataka?
Zbrojite sve brojeve kako biste dobili ukupnu vrijednost, a zatim podijelite taj zbroj s brojem vrijednosti. Na primjer, aritmetička sredina brojeva 4, 6, 8, 2 je (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Kako pronaći medijan kada postoji paran broj vrijednosti?
Poredajte brojeve, zatim uzmite dvije vrijednosti u sredini i izračunajte njihov prosjek (zbrojite ih i podijelite s 2). Za 5, 8, 12, 20 dvije srednje vrijednosti su 8 i 12, pa je medijan (8 + 12) ÷ 2 = 10. Rezultat može biti broj koji nije u izvornom skupu.
Koja je razlika između aritmetičke sredine i medijana?
Aritmetička sredina je prosjek svih vrijednosti, pa na nju utječe svaki broj. Medijan je samo srednja vrijednost u nizu, pa na njega jedva utječu vrlo veliki ili vrlo mali brojevi (ekstremne vrijednosti). Kada skup podataka ima ekstremne vrijednosti, medijan često daje tipičniju vrijednost od aritmetičke sredine.
Može li skup podataka imati više od jednog moda ili nijedan mod?
Da. Ako se nijedna vrijednost ne ponavlja, skup podataka nema mod. Ako dvije ili više vrijednosti dijele prvo mjesto po učestalosti, skup ima više modova — dva moda nazivamo bimodalan. Nemati mod ili imati nekoliko modova potpuno je valjano.
Što su mjere središnje vrijednosti?
Mjere središnje vrijednosti su pojedinačni brojevi koji opisuju središte ili tipičnu vrijednost skupa podataka. Tri glavne su aritmetička sredina, medijan i mod. Raspon nije mjera središnje vrijednosti — on umjesto toga mjeri raspršenost.
