Kvadratna formula rješava svaku kvadratnu jednadžbu oblika \(ax^2 + bx + c = 0\) (uz \(a \neq 0\)). Njezini korijeni dani su formulom \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Na ovoj stranici vidjet ćeš što svaki dio znači, kako koristiti formulu korak po korak, kako ti diskriminanta govori koliko rješenja očekivati i potpuno riješene primjere — uz interaktivni vježbač kako bi odmah mogao vježbati.
Što je kvadratna formula
Kvadratna jednadžba je svaka jednadžba koju možeš zapisati u standardnom obliku \(ax^2 + bx + c = 0\), gdje su \(a\), \(b\) i \(c\) brojevi i \(a \neq 0\). Brojevi \(a\), \(b\) i \(c\) nazivaju se koeficijenti: \(a\) je koeficijent uz \(x^2\), \(b\) je koeficijent uz \(x\), a \(c\) je slobodni član.
Kvadratna formula daje rješenja (korijene) izravno iz ova tri koeficijenta — bez potrebe za rastavljanjem na faktore. Radi za svaku kvadratnu jednadžbu, čak i za one koje se ne mogu lako rastaviti.
Odakle dolazi (izvođenje): formula je rezultat nadopunjavanja do potpunog kvadrata na općoj jednadžbi. Podijeli \(ax^2 + bx + c = 0\) s \(a\), prebaci slobodni član na drugu stranu, dodaj \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) na obje strane kako bi dobio potpuni kvadrat i korjenuj. Rezultat je jedinstvena formula ispod, valjana za bilo koje \(a\), \(b\), \(c\).
Diskriminanta: koliko ima korijena
Dio ispod korijena, \(b^2 - 4ac\), naziva se diskriminanta (često se piše kao \(D\)). Ne moraš dovršiti cijelu formulu da bi znao koliko rješenja jednadžba ima — predznak diskriminante ti to odmah govori.
Budući da ne možeš izračunati realni kvadratni korijen negativnog broja, predznak od \(D\) dijeli svaku kvadratnu jednadžbu na točno tri slučaja: dva korijena, jedan dvostruki korijen ili nijedan realni korijen. Na grafu, to je mjesto gdje parabola \(y = ax^2 + bx + c\) siječe os x — dvaput, jednom (u tjemenu) ili nijednom.
| Diskriminanta D = b² − 4ac | Realni korijeni | Što dobiješ |
|---|---|---|
| D > 0 | Dva različita realna korijena | Parabola siječe os x dvaput. Koristi oba predznaka: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Jedan realni korijen (dvostruki) | Parabola dodiruje os x u tjemenu. ± nestaje: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Nema realnih korijena | Parabola nikada ne dodiruje os x. Ne postoji realni korijen negativnog broja. |
Kako koristiti kvadratnu formulu: koraci
Kvadratna formula uvijek radi na isti način. Slijedi ovih pet koraka redom i nikada te neće iznevjeriti — najteži dio je samo ispravno očitati koeficijente (zajedno s njihovim predznacima).
Primjeri kvadratne formule (korak po korak)
Primjer 1. Dva realna korijena (D > 0)
Riješi \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Korak 1–2. Već je u standardnom obliku, pa očitaj koeficijente: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Korak 3. Diskriminanta: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Korak 4. \(D = 25 > 0\), dakle postoje dva različita realna korijena.
Korak 5. Uvrsti: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Koristeći plus: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Koristeći minus: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Korijeni: \(x = 3\) i \(x = \tfrac{1}{2}\).
Primjer 2. Jedan dvostruki korijen (D = 0)
Riješi \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Korak 1–2. Već je u standardnom obliku: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Korak 3. Diskriminanta: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Korak 4. \(D = 0\), dakle postoji točno jedan realni korijen (dvostruki korijen). Član \(\pm\) nestaje jer je \(\sqrt{0} = 0\).
Korak 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Korijen: \(x = 3\) (ova kvadratna jednadžba je potpuni kvadrat \((x-3)^2 = 0\)).
Primjer 3. Nema realnih korijena (D < 0)
Riješi \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Korak 1–2. Standardni oblik: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Korak 3. Diskriminanta: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Korak 4. \(D = -16 < 0\). Budući da ne možeš izračunati realni kvadratni korijen negativnog broja, ova jednadžba nema realnih korijena — njezina parabola nikada ne siječe os x.
Korak 5. Nije potreban daljnji rad za realna rješenja. (Ako si upoznat s kompleksnim brojevima, korijeni su \(x = -1 \pm 2i\), ali za realni odgovor ovdje stajemo.)
Česte pogreške s kvadratnom formulom
-
Pogrešan predznak od b, posebno kada je b negativan.
Formula počinje s −b. Ako je b = −7, tada je −b = +7 — dva minusa se poništavaju. Zapiši uvrštavanje u potpunosti, npr. −(−7), prije pojednostavljivanja.
-
Zaboravljanje ± i navođenje samo jednog korijena.
Kada je D > 0, ± daje dva odgovora: jedan s + i jedan s −. Uvijek izračunaj oba (−b + √D)/(2a) i (−b − √D)/(2a) osim ako je D = 0.
-
Dijeljenje samo dijela brojnika s 2a.
Cijeli brojnik, −b ± √D, dijeli se s 2a — ne samo dio s √D. Zadrži to kao jedan razlomak: (−b ± √D) / (2a).
-
Pogrešno računanje diskriminante kada je a ili c negativan.
U D = b² − 4ac, oduzimanje 4ac kada je a·c negativan zapravo znači zbrajanje. Za 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, pa je D = 4 + 12 = 16, a ne 4 − 12.
-
Primjena formule prije zapisivanja jednadžbe u standardnom obliku.
Prebaci svaki član na jednu stranu tako da jednadžba prvo glasi ax² + bx + c = 0. Na primjer, x² = 5x − 6 mora postati x² − 5x + 6 = 0 prije nego što očitaš a, b, c.
Često postavljana pitanja
Što je kvadratna formula?
Kvadratna formula je x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ona daje rješenja svake kvadratne jednadžbe ax² + bx + c = 0 (uz a ≠ 0) izravno iz koeficijenata a, b i c.
Kako koristiti kvadratnu formulu korak po korak?
Zapiši jednadžbu u standardnom obliku ax² + bx + c = 0, odredi a, b i c s njihovim predznacima, izračunaj diskriminantu D = b² − 4ac, provjeri njezin predznak da vidiš koliko ima korijena, zatim uvrsti u x = (−b ± √D) / (2a) i pojednostavi obje verzije, s plusom i minusom.
Što je diskriminanta i zašto je važna?
Diskriminanta je D = b² − 4ac, izraz ispod korijena. Njezin predznak ti govori broj realnih korijena bez dovršavanja izračuna: D > 0 daje dva realna korijena, D = 0 daje jedan dvostruki korijen, a D < 0 daje nula realnih korijena.
Kada bih trebao koristiti kvadratnu formulu umjesto rastavljanja na faktore?
Rastavljanje na faktore je brzo kada se kvadratna jednadžba može rastaviti s malim cijelim brojevima. Kvadratna formula radi za svaku kvadratnu jednadžbu, uključujući one koje se ne mogu lako rastaviti ili koje imaju iracionalne ili ne-cjelobrojne korijene, pa je pouzdana alternativa kad god rastavljanje nije očito.
Odakle dolazi kvadratna formula?
Izvedena je nadopunjavanjem do potpunog kvadrata na općoj jednadžbi ax² + bx + c = 0: podijeli s a, nadopuni do kvadrata dodavanjem (b/2a)², prepiši lijevu stranu kao potpuni kvadrat i korjenuj obje strane. Rezultat je kvadratna formula.
Može li kvadratna formula dati odgovor da nema rješenja?
Ako je diskriminanta negativna (D < 0), nema realnog rješenja jer ne možeš izračunati realni kvadratni korijen negativnog broja. Jednadžba i dalje ima dva kompleksna korijena, ali nema realnih korijena — na grafu parabola jednostavno nikada ne dodiruje os x.
