Formule skraćenog množenja (FSM) su gotovi algebarski identiteti koji omogućuju množenje zagrada i rastavljanje izraza na faktore bez dugotrajnog množenja svakog člana. Na ovoj stranici nalazi se tablica svih sedam formula: kvadrat zbroja i razlike, razlika kvadrata, kub zbroja i razlike, zbroj i razlika kubova. Svaku formulu objašnjavamo s izvodom i primjerima, a na kraju se nalazi interaktivni vježbač gdje možeš odmah vježbati primjenu FSM.
Što su formule skraćenog množenja
Formule skraćenog množenja su identiteti koji se dobivaju kada jednom pažljivo pomnožimo polinome i zapamtimo rezultat. Nakon toga više ne moramo svaki put množiti zagrade: dovoljno je prepoznati "uzorak" i uvrstiti svoje brojeve ili slova.
U školskom programu algebre 7. razreda FSM se koriste u dva smjera:
- slijeva nadesno — za brzo množenje zagrada i kvadriranje ili kubiranje izraza;
- zdesna nalijevo — za rastavljanje polinoma na faktore (potrebno za skraćivanje razlomaka i rješavanje jednadžbi).
Ukupno se uči sedam formula. Ispod je tablica-podsjetnik, a zatim objašnjenje svake formule zasebno.
Tablica formula skraćenog množenja
Svih sedam formula skraćenog množenja zgodno je imati pred očima u jednoj tablici. Slova \(a\) i \(b\) ovdje su bilo koji izrazi: broj, varijabla ili cijeli monom poput \(2x\).
| Formula | Zapis |
|---|---|
| Kvadrat zbroja | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kvadrat razlike | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Razlika kvadrata | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kub zbroja | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kub razlike | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Zbroj kubova | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Razlika kubova | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kvadrat zbroja i kvadrat razlike
Kvadrat zbroja dobivamo množenjem \((a+b)\) samim sa sobom:
Riječima: kvadrat zbroja jednak je kvadratu prvog izraza plus dvostruki umnožak prvog i drugog plus kvadrat drugog. Na isti način izvodimo kvadrat razlike — znak srednjeg člana postaje minus:
Glavno je ne izgubiti srednji član \(2ab\): upravo zbog njega \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Kod kvadrata zbroja i kvadrata razlike razlikuje se samo znak ispred \(2ab\), a krajnji članovi \(a^2\) i \(b^2\) uvijek su s predznakom plus.
Primjer. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kvadrat zbroja ima zoran geometrijski smisao: to je površina velikog kvadrata sa stranicom \((a+b)\).
Razlika kvadrata
Ako pomnožimo zbroj i razliku istih izraza, srednji se članovi poništavaju:
Dobivamo formulu razlike kvadrata: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ovo je najkorisnija FSM za rastavljanje na faktore: čim vidiš razliku dvaju kvadrata — odmah rastavi na umnožak.
Primjer (množenje zagrada). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Primjer (rastavljanje na faktore). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Važno: zbroj kvadrata \(a^2 + b^2\) ne rastavlja se na faktore po ovoj formuli — radi samo razlika.
Kub zbroja, kub razlike, zbroj i razlika kubova
Kub zbroja i kub razlike sadrže četiri člana:
Kod kuba razlike znakovi se izmjenjuju: \(+\,-\,+\,-\). I opet česta zamka: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — ne možeš samo "podijeliti" potenciju, srednje članove \(3a^2b\) i \(3ab^2\) ne smiješ izgubiti.
Primjer. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Zasebno stoje zbroj i razlika kubova — oni, naprotiv, rastavljaju izraz na faktore:
Drugi faktor nazivamo nepotpunim kvadratom zbroja ili razlike. Znak u njegovom srednjem članu uvijek je suprotan znaku u prvoj zagradi: kod zbroja kubova je \(-ab\), kod razlike kubova je \(+ab\).
Primjer. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Primjeri primjene formula skraćenog množenja
Primjer 1. Pomnoži zagrade: kvadrat zbroja
Zadatak. Kvadriraj \((2x+5)^2\).
1. korak. Prepoznajemo formulu kvadrata zbroja: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), gdje je \(a = 2x\), \(b = 5\).
2. korak. Računamo svaki član:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Rezultat. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Primjer 2. Sažmi u formulu razlike kvadrata
Zadatak. Izračunaj umnožak \((3x-4)(3x+4)\).
1. korak. Pred nama je umnožak razlike i zbroja istih izraza — to je razlika kvadrata \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), gdje je \(a = 3x\), \(b = 4\).
2. korak. Kvadriramo svaki izraz: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Rezultat. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Primjer 3. Rastavi na faktore
Zadatak. Rastavi na faktore \(x^2 - 36\) i \(x^3 + 27\).
Razlika kvadrata. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Zbroj kubova. Primjećujemo da je \(27 = 3^3\), dakle \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Primjenjujemo formulu \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) uz \(a = x\), \(b = 3\):
Obrati pozornost na znak \(-3x\) u nepotpunom kvadratu — kod zbroja kubova srednji član je s predznakom minus.
Primjer 4. Kub zbroja
Zadatak. Pomnoži zagrade \((x+2)^3\).
1. korak. Formula kuba zbroja: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), gdje je \(a = x\), \(b = 2\).
2. korak. Računamo članove redom:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Rezultat. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Česte pogreške pri radu s FSM
-
Zaboravljaju dvostruki umnožak: pišu $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
U kvadratu zbroja i razlike uvijek postoji srednji član \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Lako je provjeriti — pomnoži \((a+b)(a+b)\) stupčano i srednji će se član pojaviti sam.
-
Miješaju znakove u kvadratu razlike i razlici kvadrata.
U kvadratu razlike minus stoji samo kod srednjeg člana: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (krajnji su s plusom). A u razlici kvadrata minus je između samih kvadrata: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). To su različite formule.
-
„Dijele” potenciju kod kuba: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Tako se ne smije raditi. Kub zbroja sadrži četiri člana: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formula \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — to je nešto sasvim drugo (zbroj kubova), ona služi za rastavljanje na faktore.
-
U nepotpunom kvadratu kod zbroja/razlike kubova stavljaju dvostruki umnožak $2ab$.
Nepotpuni kvadrat je \(a^2 \pm ab + b^2\), bez dvojke ispred \(ab\). Znak je suprotan znaku prve zagrade: zbroj kubova \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), razlika kubova \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Pokušavaju rastaviti zbroj kvadrata $a^2 + b^2$ na faktore.
Na faktore se rastavlja samo razlika kvadrata \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Zbroj kvadrata \(a^2 + b^2\) u školskom se programu ne rastavlja na faktore.
Pitanja i odgovori
Koliko ukupno ima formula skraćenog množenja?
Sedam: kvadrat zbroja, kvadrat razlike, razlika kvadrata, kub zbroja, kub razlike, zbroj kubova i razlika kubova. Sve su skupljene u tablici iznad.
Čemu je jednak kvadrat zbroja?
Kvadratu prvog izraza plus dvostruki umnožak prvog i drugog plus kvadrat drugog: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Kod kvadrata razlike srednji član je s predznakom minus: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kako rastaviti razliku kvadrata na faktore?
Po formuli \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Na primjer, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Dovoljno je vidjeti da su oba člana potpuni kvadrati, a između njih stoji minus.
Zašto $(a+b)^2$ nije jednako $a^2 + b^2$?
Zato što se pri množenju \((a+b)(a+b)\) pojavljuju još dva jednaka člana \(ab\), koji daju srednji član \(2ab\). Njega se ne smije izgubiti: točno je \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Po čemu se razlikuje kub zbroja od zbroja kubova?
Kub zbroja \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — to je množenje zagrada. Zbroj kubova \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — naprotiv, rastavljanje izraza na faktore. To su različite formule, nemoj ih miješati.
U kojem se razredu uče formule skraćenog množenja?
Obično u 7. razredu na satovima algebre: prvo kvadrat zbroja i razlike, razlika kvadrata, zatim formule za kubove. Aktivno se koriste kasnije pri pojednostavljivanju izraza, skraćivanju razlomaka i rješavanju jednadžbi.
