Racionalna nejednadžba je nejednadžba oblika \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), gdje su \(P(x)\) i \(Q(x)\) polinomi, a umjesto znaka \(>\) mogu stajati \(<\), \(\ge\) ili \(\le\). Takve nejednadžbe rješavaju se metodom intervala: sve se prebaci na lijevu stranu, faktorizira se, na brojevnom pravcu se označe nule brojnika i nule nazivnika te se rasporede predznaci. Ispod je definicija, potpuni algoritam, pravilo izostavljenih točaka, višekratnost korijena, riješeni primjeri i trenažer s provjerom.
Što je racionalna nejednadžba
Racionalna nejednadžba je nejednadžba čije su obje strane zapisane racionalnim izrazima, tj. polinomima i razlomcima polinoma. Nakon prebacivanja svega na jednu stranu, uvijek se svodi na oblik
gdje su \(P(x)\) i \(Q(x)\) polinomi, a na mjestu \(\vee\) stoji jedan od znakova \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Desna strana mora biti nula – to je uvjet bez kojeg metoda intervala ne funkcionira.
Racionalne nejednadžbe dijele se na dvije vrste. Ako se varijabla pojavljuje samo u brojniku, nejednadžba se naziva cijela racionalna: nema dijeljenja i prikladne su sve vrijednosti \(x\). Ako se varijabla nalazi u nazivniku, nejednadžba je frakcijsko-racionalna (naziva se i razlomljena nejednadžba ili nejednadžba s razlomkom) – i tada se odmah pojavljuje ograničenje \(Q(x) \neq 0\).
Zašto se ne smije množiti obje strane s nazivnikom
Najveće iskušenje pri rješavanju nejednadžbe s razlomkom je „riješiti se nazivnika“ množenjem obje strane s njim. S jednadžbama se to može, s nejednadžbama – ne. Razlog je jednostavan: množenjem s negativnim brojem znak nejednadžbe se okreće, a znak izraza \(Q(x)\) unaprijed nije poznat – ovisi o \(x\).
Pogledajmo nejednadžbu \(\frac{5}{x-3} < 1\). Pomnožimo obje strane s \(x - 3\), kao da je pozitivan broj: dobit ćemo \(5 < x - 3\), tj. \(x > 8\). Provjerimo odgovor uvrštavanjem \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – nejednadžba je točna, što znači da je nula također rješenje, ali nije uključena u odgovor \(x > 8\). Odgovor je izgubljen.
Pravi put je prebaciti sve na lijevu stranu i svesti na jedan razlomak:
U posljednjem koraku pomnožili smo obje strane s \(-1\) i okrenuli znak – to je zakonito, jer je \(-1\) uvijek negativan. Dalje radi metoda intervala, a odgovor je \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – u njemu je i izgubljena nula.
Najlakše je zapamtiti ovako: množenje obje strane izrazom s varijablom nije dopušteno, prebacivanje članova – jest uvijek. Prebacivanje ne mijenja znak nejednadžbe.
Metoda intervala: algoritam rješavanja korak po korak
Metoda intervala temelji se na jednom svojstvu: između susjednih nula racionalnog izraza njegov predznak je konstantan. Dakle, dovoljno je pronaći sve točke gdje brojnik ili nazivnik postaje nula, njima podijeliti brojevni pravac i odrediti predznak na svakom dijelu – jednom probnom točkom ili prema višekratnosti korijena.
Izostavljene i zaokružene točke: ODZ i predznak nejednadžbe
Pogreška u jednoj zagradi pretvara točno rješenje u netočan odgovor, stoga pravilo o točkama treba naučiti odvojeno. Djeluju točno dva razmatranja.
Prvo – područje dopuštenih vrijednosti. Nula nazivnika se uvijek izostavlja, bez obzira na predznak nejednadžbe. U toj točki razlomak jednostavno ne postoji: ne smije se dijeliti s nulom, stoga ta vrijednost ne može biti rješenje, čak i ako je predznak ne-strogi.
Drugo – strogi predznak ili ne-strogi. Nule brojnika pretvaraju razlomak u nulu. Kod ne-strogog predznaka (\(\le\) ili \(\ge\)) jednakost nuli nam odgovara, stoga se točka zaokružuje i ulazi u odgovor uglatom zagradom. Kod strogog predznaka (\(<\) ili \(>\)) nula ne odgovara, i točka se izostavlja.
Na primjer, za nejednadžbu \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) točka \(x = 6\) se zaokružuje (nula brojnika, ne-strogi predznak), a točka \(x = -1\) izostavlja (nula nazivnika). Odgovor: \(x \in (-1; 6]\).
| Što je za točku | Kako se označava |
|---|---|
| Nula nazivnika, Q(x) = 0 | izostavljena uvijek, kod bilo kojeg predznaka – točka nije u ODZ-u |
| Nula brojnika, strogi predznak < ili > | izostavljena razlomak je nula, a potreban je strogo drugačiji predznak |
| Nula brojnika, ne-strogi predznak ≤ ili ≥ | zaokružena jednakost nuli odgovara, točka ulazi u odgovor |
Višekratnost korijena: gdje se predznak mijenja, a gdje ne
Predznaci na intervalima ne moraju se nužno samo izmjenjivati – to je najčešća zabluda u temi. Izmjena radi samo kada sve zagrade ulaze u prvoj potenciji. Pravilo je preciznije formulirano preko višekratnosti korijena – pokazatelja potencije odgovarajuće zagrade.
Pri prelasku preko korijena neparne višekratnosti (potencija 1, 3, 5) predznak izraza se mijenja. Pri prelasku preko korijena parne višekratnosti (potencija 2, 4) predznak se ne mijenja: zagrada u parnoj potenciji je nenegativna i ne kvari predznak izraza. Višekratnost se broji jednako i za brojnik i za nazivnik.
Uzmemo \((x-9)^2(x+3) > 0\). Korijeni: \(x = 9\) višekratnosti 2 i \(x = -3\) višekratnosti 1. Desno od devetke izraz je pozitivan. Prelazimo preko 9 – višekratnost je parna, predznak se zadržava, na intervalu \((-3; 9)\) također je plus. Prelazimo preko \(-3\) – višekratnost je neparna, predznak se mijenja u minus. Odgovor stroge nejednadžbe: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), točka 9 je izostavljena, jer tamo izraz postaje nula. A kod ne-strogog \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) odgovor je drugačiji: \(x \in [-3; +\infty)\) – devetka se zaokružuje i „spaja“ dva intervala u jedan.
| Višekratnost korijena | Predznak pri prijelazu |
|---|---|
| Neparna: (x − a), (x − a)3 | mijenja se |
| Parna: (x − a)2, (x − a)4 | ne mijenja se |
Brojevni pravac na primjeru: raspoređujemo predznake
Sastavimo sve zajedno na nejednadžbi \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nule brojnika: \(x = -7\). Nule nazivnika: \(x = 2\) i \(x = 5\), one su ujedno i ODZ. Sve tri zagrade su u prvoj potenciji, stoga se predznaci izmjenjuju. Probna točka \(x = 10\) u najdesnijem intervalu daje \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – počinjemo s plusom i idemo lijevo, mijenjajući predznak na svakoj točki.
Primjeri rješavanja racionalnih nejednadžbi
Primjer 1. Jednostavna razlomljena nejednadžba
Riješiti \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Korak 1. Na desnoj strani je već nula, razlomak je već jedan – nema što prebacivati i svoditi.
Korak 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), tj. \(x \neq -5\).
Korak 3. Nule. Brojnik je nula pri \(x = 3\), nazivnik – pri \(x = -5\).
Korak 4. Točke na pravcu. \(x = 3\) zaokružujemo (nula brojnika, ne-strogi predznak), \(x = -5\) izostavljamo (nula nazivnika).
Korak 5. Predznaci. Probna točka \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – desno je plus. Obje zagrade su u prvoj potenciji, stoga se predznaci izmjenjuju: na \((-5; 3)\) minus, na \((-\infty; -5)\) plus. Provjerimo: pri \(x = -6\) dobivamo \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – poklapa se.
Korak 6. Odgovor. Potreban je predznak „plus ili nula“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Primjer 2. Na desnoj strani nije nula – prebacujemo
Riješiti \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Korak 1. Prebacimo jedinicu na lijevu stranu. Množenje s \(x - 4\) nije dopušteno, predznak tog izraza nije poznat:
Korak 2. Svedemo na jedan razlomak.
Korak 3. ODZ. \(x \neq 4\).
Korak 4. Točke. \(x = -5\) – nula brojnika, ne-strogi predznak, zaokružujemo. \(x = 4\) – nula nazivnika, izostavljamo.
Korak 5. Predznaci. Pri \(x = 5\) razlomak je \(\frac{10}{1} > 0\). Dakle, na \((4; +\infty)\) je plus, na \((-5; 4)\) minus, na \((-\infty; -5)\) plus.
Korak 6. Odgovor. \(x \in [-5; 4)\). Provjera graničnih točaka: pri \(x = -5\) razlomak je nula – odgovara za \(\le\); pri \(x = 4\) razlomak ne postoji – ne odgovara.
Primjer 3. Korijen parne višekratnosti i izolirana točka
Riješiti \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Korak 1. ODZ. \(x \neq 9\).
Korak 2. Nule i višekratnosti. \(x = 2\) – višekratnost 2 (parna), \(x = -6\) – višekratnost 1, \(x = 9\) – višekratnost 1 u nazivniku.
Korak 3. Točke. \(x = 2\) i \(x = -6\) zaokružujemo (nule brojnika kod ne-strogog predznaka), \(x = 9\) izostavljamo.
Korak 4. Predznaci. Probna točka \(x = 10\): brojnik je pozitivan, nazivnik je 1 – plus. Idemo lijevo. Preko 9 (neparna višekratnost) predznak se mijenja: na \((2; 9)\) minus. Preko 2 (višekratnost parna) predznak se ne mijenja: na \((-6; 2)\) također minus. Preko \(-6\) (neparna višekratnost) predznak se mijenja: na \((-\infty; -6)\) plus.
Korak 5. Odgovor. Uzimamo intervale sa znakom „plus“ plus sve točke gdje je izraz jednak nuli. Točka \(x = 2\) nalazi se unutar intervala s minusom, ali sam izraz tamo postaje nula, stoga ona ulazi u odgovor zasebno:
Takva „usamljena“ točka u odgovoru – točan je znak korijena parne višekratnosti kod ne-strogog predznaka.
Primjer 4. Skraćivanje razlomka: zamka s ODZ-om
Riješiti \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Korak 1. Faktoriziramo. Brojnik je potpuni kvadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Za nazivnik računamo diskriminantu: \(D = 81 + 40 = 121\), korijeni \(x_1 = \frac{1}{5}\) i \(x_2 = -2\), stoga \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Korak 2. ODZ – prije svakog skraćivanja. \(5x - 1 \neq 0\) i \(x + 2 \neq 0\), tj. \(x \neq \frac{1}{5}\) i \(x \neq -2\).
Korak 3. Skraćujemo. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ali samo uz uvjet \(x \neq \frac{1}{5}\) – skraćivanje ne vraća izostavljenu točku natrag.
Korak 4. Rješavamo \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nule: \(\frac{1}{5}\) i \(-2\). Pri \(x = 1\) razlomak je \(\frac{4}{3} > 0\). Dakle, na \((\frac{1}{5}; +\infty)\) je plus, na \((-2; \frac{1}{5})\) minus, na \((-\infty; -2)\) plus.
Korak 5. Vraćamo ODZ. Interval \((-2; \frac{1}{5}]\) bi odgovarao po predznaku, ali točka \(\frac{1}{5}\) je izostavljena: u početnoj nejednadžbi nazivnik \(5x^2+9x-2\) pri \(x = \frac{1}{5}\) postaje nula, razlomak tamo ne postoji.
Odgovor: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – obje zagrade su okrugle.
Primjer 5. Kvadratni trinom u brojniku
Riješiti \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Korak 1. Faktoriziramo brojnik. Prema Viètovoj formuli zbroj korijena je 7, umnožak 10, stoga \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nejednadžba poprima oblik \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Korak 2. ODZ. \(x \neq -4\).
Korak 3. Točke. Sve tri točke su izostavljene: \(-4\) – nula nazivnika, \(2\) i \(5\) – nule brojnika kod strogog predznaka.
Korak 4. Predznaci. Probna točka \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Sve zagrade su u prvoj potenciji, stoga se predznaci izmjenjuju: na \((5; +\infty)\) plus, na \((2; 5)\) minus, na \((-4; 2)\) plus, na \((-\infty; -4)\) minus.
Korak 5. Odgovor. Potreban je strogi minus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrola uvrštavanjem: pri \(x = -5\) dobivamo \(\frac{70}{-1} < 0\), pri \(x = 3\) dobivamo \(\frac{-2}{7} < 0\) – oba intervala odgovaraju.
Česte pogreške pri rješavanju racionalnih nejednadžbi
-
Množe obje strane s nazivnikom: iz $\frac{3}{x-8} > 1$ naprave $3 > x - 8$ i pišu $x < 11$.
Predznak izraza \(x - 8\) unaprijed nije poznat, a pri množenju negativnim brojem nejednadžba se okreće. Provjera: \(x = 0\) daje \(\frac{3}{-8} < 1\) – nula nije rješenje, iako je ušla u odgovor \(x < 11\). Ispravno: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), tj. \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), odakle \(x \in (8; 11)\).
-
Zaokružuju nulu nazivnika jer je predznak ne-strogi: kod $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ pišu odgovor s uglatom zagradom kod sedmice.
Nula nazivnika se izostavlja uvijek, kod bilo kojeg predznaka: u toj točki razlomak jednostavno ne postoji. Točan odgovor: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – kod jedinice je uglata zagrada, kod sedmice okrugla.
-
Skraćuju razlomak i gube ODZ: iz $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ dobivaju $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ i uključuju u odgovor točku $x = -3$.
ODZ ispisuju prije skraćivanja, po početnom nazivniku: \(x \neq -3\) i \(x \neq 5\). Skraćeni razlomak \(\frac{x+3}{x-5}\) je nepozitivan na \([-3; 5)\) – pri \(x = 0\) on je \(-0{,}6\), što je i potrebno za predznak \(\le\). Ali točka \(-3\) je izostavljena po ODZ-u, stoga je odgovor – \((-3; 5)\), a ne \([-3; 5)\).
-
Smatraju da se predznaci na intervalima uvijek izmjenjuju, i za $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ stavljaju minus desno od jedinice.
Izmjena je točna samo kod zagrada u prvoj potenciji. Korijen \(x = 1\) ima višekratnost 2, stoga se predznak preko njega ne mijenja. Izraz je pozitivan na cijelom \((-4; +\infty)\), osim same jedinice, gdje je nula. Odgovor: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Mijenjaju predznak nejednadžbe pri prebacivanju člana: iz $\frac{x}{x-2} \le 3$ naprave $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Prebacivanje člana iz jedne strane u drugu ne mijenja predznak nejednadžbe – mijenja se samo predznak samog člana. Predznak se okreće samo pri množenju ili dijeljenju obje strane negativnim brojem. Ispravno: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), dalje \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), tj. \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Označavaju na pravcu samo nule brojnika, a nazivnik provjeravaju „poslije“: za $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ stavljaju jednu točku $-11$.
Na pravac se označavaju sve nule odjednom – i brojnika, i nazivnika, inače intervali neće biti točni. Ovdje \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), stoga su tri točke: \(-11\), \(-4\) i \(4\), a ne jedna. Sve su izostavljene (strogi predznak), odgovor: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Pitanja i odgovori
Što je racionalna nejednadžba?
To je nejednadžba čije su obje strane racionalni izrazi (polinomi i razlomci polinoma). Nakon prebacivanja svega na lijevu stranu, svodi se na oblik \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), gdje su \(P(x)\) i \(Q(x)\) polinomi, a umjesto \(>\) mogu stajati \(<\), \(\le\) ili \(\ge\).
Kako se rješavaju racionalne nejednadžbe?
Metodom intervala u šest koraka: prebaciti sve na lijevu stranu, da na desnoj ostane nula; svesti na jedan razlomak i faktorizirati brojnik i nazivnik; ispisati ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); označiti na brojevnom pravcu nule brojnika i nazivnika; rasporediti predznake na intervalima prema probnoj točki i višekratnosti korijena; ispisati u odgovor intervale s potrebnim predznakom.
Čime se frakcijsko-racionalna nejednadžba razlikuje od cijele racionalne?
Kod cijele racionalne varijabla stoji samo u brojniku, na primjer \((x-1)(x+4) > 0\), i ODZ su svi realni brojevi. Kod frakcijsko-racionalne varijabla je u nazivniku, na primjer \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), i pojavljuje se ograničenje \(x \neq -4\). Algoritam je pritom isti – mijenjaju se samo izostavljene točke.
Kako se rješavaju nejednadžbe s razlomkom?
Isto kao i bilo koja racionalna: prvo prebaciti sve na lijevu stranu i svesti na jedan razlomak, a ne rješavati se nazivnika. Na primjer, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) pretvara se u \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), tj. \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Brojnik je konstantan i negativan, stoga je razlomak nenegativan samo kod negativnog nazivnika: \(x + 2 < 0\). Odgovor: \(x \in (-\infty; -2)\).
Zašto se ne smije množiti obje strane nejednadžbe s nazivnikom?
Zato što predznak nazivnika ovisi o \(x\): pri množenju pozitivnim izrazom predznak nejednadžbe se zadržava, a pri množenju negativnim – okreće. Unaprijed nije poznato koji je slučaj pred vama, stoga se dio rješenja gubi, a dio dodaje nepotrebno. Prebacivati članove se može uvijek – prebacivanje ne mijenja predznak nejednadžbe.
Kako pronaći ODZ u nejednadžbi?
Za racionalnu nejednadžbu ODZ su sve vrijednosti \(x\) za koje nazivnik ne postaje nula. Izjednačite nazivnik s nulom, riješite jednadžbu i isključite pronađene brojeve. ODZ treba ispisati po početnom nazivniku, prije skraćivanja razlomka – inače će izostavljene točke biti izgubljene.
Koje su točke izostavljene, a koje zaokružene?
Nule nazivnika izostavljaju se uvijek, kod bilo kojeg predznaka nejednadžbe. Nule brojnika zaokružuju se kod ne-strogog predznaka (\(\le\) ili \(\ge\)) i izostavljaju kod strogog (\(<\) ili \(>\)). U zapisu odgovora izostavljenoj točki odgovara okrugla zagrada, zaokruženoj – uglata.
Što je višekratnost korijena i zašto je potrebna u metodi intervala?
Višekratnost je potencija u kojoj zagrada ulazi u faktorizaciju. Pri prelasku preko korijena neparne višekratnosti predznak izraza se mijenja, pri prelasku preko korijena parne višekratnosti – zadržava se. Upravo zato se predznaci ne izmjenjuju uvijek: kod \((x-9)^2(x+3)\) u točki \(9\) predznak ostaje isti.
U kojem se razredu prolaze racionalne nejednadžbe?
U 9. razredu na satovima algebre, nakon kvadratnih nejednadžbi i faktorizacije polinoma. Metoda intervala se dalje koristi za eksponencijalne, logaritamske i iracionalne nejednadžbe, kao i u zadacima OGE i profilnog USE.
