Decimalni broj je broj čiji su cijeli i decimalni dio odvojeni zarezom: 3,25 ili 0,7. Sve operacije s decimalnim brojevima — zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje — izvode se gotovo jednako kao s prirodnim brojevima; najvažnije je paziti na zarez. Na ovoj stranici pronaći ćeš sva pravila s primjerima u stupac, podsjetnik za pomicanje zareza, analizu čestih pogrešaka i interaktivni vježbač za samoprovjeru.
Mjesne vrijednosti decimalnog broja
Svaka znamenka nakon zareza ima svoj naziv i vrijednost:
- prva znamenka — desetinke (0,1);
- druga — stotinke (0,01);
- treća — tisućinke (0,001) i tako dalje.
Važno svojstvo: ako s desne strane decimalnog dijela dopišemo nule, vrijednost broja se ne mijenja: 5,7 = 5,70 = 5,700. Ovo svojstvo koristimo stalno — omogućuje nam izjednačavanje broja decimalnih mjesta pri zbrajanju, oduzimanju i uspoređivanju.
Sve operacije s decimalnim brojevima: kratki podsjetnik
Svaka operacija ima svoje glavno pravilo o zarezu. Četiri kartice ispod sažimaju bit teme, a dalje je svaka operacija detaljno objašnjena s primjerima.
Zbrajanje i oduzimanje decimalnih brojeva u stupac
Zbrajanje i oduzimanje izvode se po istom pravilu:
- Zapisujemo brojeve u stupac tako da zarez bude strogo ispod zareza — tada će se jednake mjesne vrijednosti naći jedna ispod druge: desetinke ispod desetinki, stotinke ispod stotinki.
- Ako je broj decimalnih mjesta različit, izjednačavamo ih dodavanjem nula.
- Zbrajamo ili oduzimamo ne obraćajući pažnju na zareze, kao prirodne brojeve.
- U rezultatu stavljamo zarez ispod zareza početnih brojeva.
Cijeli broj također možemo zapisati kao decimalni: 6 = 6,00 — to pomaže kod primjera poput 6 − 2,35.
Pravilo množenja decimalnih brojeva
Množenje je jedina operacija gdje ne treba poravnavati zareze. Pravilo množenja decimalnih brojeva sastoji se od dva koraka:
- Množimo brojeve ne obraćajući pažnju na zareze — kao obične prirodne brojeve.
- U rezultatu odvajamo zarezom s desne strane onoliko znamenki koliko ih ima nakon zareza u oba faktora zajedno.
Ako je znamenki u umnošku manje nego što ih treba odvojiti, dopisujemo nule s lijeve strane: 12 × 3 = 36, a za 0,12 × 0,3 treba odvojiti tri mjesta, stoga je rezultat 0,036.
Brza samoprovjera: pri množenju s brojem manjim od jedan, rezultat mora biti manji od prvog faktora. Ako je ispalo veće — znači da zarez nije na pravom mjestu.
Dijeljenje decimalnih brojeva
Ovdje postoje dva slučaja.
Dijeljenje prirodnim brojem. Dijelimo pisanim putem kao i obično, a zarez u količniku stavljamo u trenutku kada smo završili s cijelim dijelom djeljenika: 8,46 : 2 = 4,23.
Dijeljenje decimalnim brojem. Prvo se rješavamo zareza u djelitelju: pomičemo zarez i u djeljeniku i u djelitelju udesno za isti broj mjesta — odnosno množimo oba broja s 10, 100 ili 1000. Količnik se time ne mijenja, a dijeljenje se svodi na prvi slučaj.
Množenje i dijeljenje s 10, 100, 1000
Najbrže operacije s decimalnim brojevima su množenje i dijeljenje dekadskim jedinicama. Stupac nije potreban: dovoljno je pomaknuti zarez za onoliko mjesta koliko ima nula u broju 10, 100 ili 1000. Ako nedostaje znamenki, dopisujemo nule.
Uspoređivanje decimalnih brojeva
Decimalne brojeve uspoređujemo po mjesnim vrijednostima:
- Prvo cijele dijelove: koji broj ima veći cijeli dio, taj je veći.
- Ako su cijeli dijelovi jednaki — uspoređujemo desetinke, zatim stotinke, zatim tisućinke, dok ne nađemo razliku.
- Kako se ne bi zbunio, izjednači broj mjesta nulama: usporediti 5,7 i 5,68 lakše je u obliku 5,70 i 5,68 — sedamdeset stotinki je više od šezdeset osam, dakle 5,7 > 5,68.
Duljina zapisa ne znači ništa: 0,5 je veće od 0,4999, iako ima manje znamenki.
Operacije s decimalnim brojevima: primjeri s rješenjima
Primjer 1. Zbrajanje: 5,3 + 2,47
1. korak. Izjednačavamo broj decimalnih mjesta: 5,3 = 5,30.
2. korak. Zapisujemo u stupac, zarez ispod zareza.
3. korak. Zbrajamo kao prirodne brojeve: 530 + 247 = 777.
4. korak. Stavljamo zarez ispod zareza pribrojnika: 7,77.
Primjer 2. Oduzimanje od cijelog broja: 6 − 2,35
1. korak. Prikazujemo 6 kao decimalni broj: 6 = 6,00.
2. korak. Zapisujemo u stupac: 6,00 − 2,35.
3. korak. Oduzimamo s posuđivanjem iz viših mjesnih vrijednosti: 3,65.
Provjera. 3,65 + 2,35 = 6 — točno je.
Primjer 3. Množenje: 2,5 × 0,04
1. korak. Množimo ne obraćajući pažnju na zareze: 25 × 4 = 100.
2. korak. Brojimo mjesta nakon zareza: jedno u 2,5 i dva u 0,04 — ukupno tri.
3. korak. Odvajamo tri mjesta s desna: 0,100.
4. korak. Odbacujemo nule na kraju decimalnog dijela: 0,1.
Provjera poretka. 0,04 je manje od jedan, dakle rezultat mora biti manji od 2,5 — točno.
Primjer 4. Dijeljenje decimalnim brojem: 1,44 : 1,2
1. korak. Činimo djelitelj cijelim brojem: pomičemo zarez za jedno mjesto udesno u oba broja — dobivamo 14,4 : 12.
2. korak. Dijelimo pisanim putem cijeli dio: 14 : 12 = 1, ostatak 2.
3. korak. Cijeli dio je završio — stavljamo u količniku zarez i spuštamo 4: 24 : 12 = 2.
Rezultat: 1,2. Provjera: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Česte pogreške pri radu s decimalnim brojevima
-
Pri zbrajanju i oduzimanju poravnavaju brojeve po desnom rubu, kao cijele brojeve: 3,25 + 4,8 zapisuju u stupac bez obzira na zarez i dobivaju 3,73.
Poravnavajte po zarezu, a ne po zadnjoj znamenki: 4,8 = 4,80, i tada je 3,25 + 4,80 = 8,05. Desetinke moraju biti ispod desetinki, stotinke ispod stotinki.
-
Pri množenju pokušavaju poravnavati zareze ili stavljaju zarez u umnošku „ispod zareza” faktora.
Kod množenja se zarezi uopće ne poravnavaju. Pomnožite kao cijele brojeve i odvojite s desne strane onoliko mjesta koliko ih ima nakon zareza u oba faktora zajedno.
-
Ako u umnošku ima manje znamenki nego što ih treba odvojiti, gube nule: 0,12 × 0,3 = 0,36 umjesto 0,036.
12 × 3 = 36 — to su samo dvije znamenke, a treba odvojiti tri. Dopišite nule koje nedostaju s lijeve strane: 0,036.
-
Pri dijeljenju decimalnim brojem pomiču zarez samo u djelitelju: 4,2 : 0,7 pretvaraju u 4,2 : 7 i dobivaju 0,6.
Zarez se pomiče u oba broja za isti broj mjesta: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Inače će se količnik smanjiti 10 puta.
-
Uspoređuju brojeve prema broju znamenki: misle da je 5,68 veće od 5,7 jer je zapis dulji.
Izjednačite mjesta nulama i uspoređujte po mjesnim vrijednostima: 5,70 i 5,68 — kod desetinki 7 > 6, dakle 5,7 > 5,68.
-
Pri množenju i dijeljenju s 10, 100, 1000 pomiču zarez u krivu stranu.
Množenje povećava broj — zarez ide udesno: 3,74 × 10 = 37,4. Dijeljenje smanjuje — ulijevo: 3,74 : 10 = 0,374. Broj mjesta jednak je broju nula.
Pitanja i odgovori
Koje se operacije s decimalnim brojevima uče u 5. razredu?
U 5. razredu se uče sve četiri operacije — zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje decimalnih brojeva, kao i njihovo uspoređivanje i zaokruživanje. Obično se prvo uči zbrajanje i oduzimanje u stupac, zatim množenje i dijeljenje prirodnim brojem, a na kraju — dijeljenje decimalnim brojem.
Mijenja li se decimalni broj ako s desne strane dopišemo nule?
Ne: 5,7 = 5,70 = 5,700 — to je isti broj. Dopisivanje nula koristi se za izjednačavanje broja decimalnih mjesta pri zbrajanju, oduzimanju i uspoređivanju. No, umetnuti nulu između znamenki ili ukloniti nulu iz sredine broja ne smijemo — broj će se promijeniti.
Kako zaokružiti decimalni broj?
Pronađite mjesnu vrijednost na koju treba zaokružiti i pogledajte sljedeću znamenku: ako je manja od 5 — znamenka koja se zaokružuje se ne mijenja (3,748 ≈ 3,7), ako je 5 ili više — povećava se za jedan (2,85 ≈ 2,9). Sve znamenke desno se odbacuju.
Kako pretvoriti razlomak u decimalni broj?
Podijelite brojnik nazivnikom: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Ne daje svaki razlomak konačan decimalni zapis: na primjer, 1/3 = 0,333… — beskonačni periodični decimalni broj. Konačan decimalni broj dobiva se kada se nazivnik može rastaviti samo na faktore 2 i 5.
Kojim redoslijedom izvoditi operacije u izrazima s decimalnim brojevima?
Redoslijed je isti kao i za prirodne brojeve: prvo operacije u zagradama, zatim množenje i dijeljenje slijeva nadesno, pa zbrajanje i oduzimanje slijeva nadesno. Decimalni zapis brojeva ne utječe na redoslijed operacija.
Može li se manji decimalni broj podijeliti većim?
Da. Ako je djeljenik manji od djelitelja, količnik će jednostavno biti manji od jedan: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. U cijelom dijelu količnika u tom slučaju pišemo 0 i nastavljamo dijeljenje nakon zareza.
