एक असमानता दो व्यंजकों को \(<\), \(>\), \(\le\) या \(\ge\) चिह्न से जोड़कर बनाई जाती है। एक असमानता को हल करने का अर्थ है चर के सभी मान ज्ञात करना, जिनके लिए यह एक सत्य संख्यात्मक असमानता बन जाती है। उत्तर एक संख्या नहीं, बल्कि एक पूरा समुच्चय होगा: संख्या रेखा पर एक अंतराल या अंतरालों का एक संघ। यह पृष्ठ सभी प्रकार की असमानताओं के लिए एक आधार प्रदान करता है: चिह्नों को कैसे पढ़ें, कौन से परिवर्तन अनुमत हैं, ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न क्यों पलट जाता है, और उत्तर को सही ढंग से कैसे लिखें। और फिर - विस्तृत विश्लेषण और स्वयं का परीक्षण करने के लिए एक ट्रेनर के लिंक के साथ सभी प्रकार की असमानताओं का अवलोकन।
असमानता को हल करने का क्या मतलब है
एक असमानता का हल चर का कोई भी मान है जो असमानता को एक सत्य संख्यात्मक असमानता में बदल देता है। और एक असमानता को हल करने का अर्थ है ऐसे सभी मान ज्ञात करना और उन्हें एक समुच्चय के रूप में लिखना।
एक समीकरण से तुलना करें। समीकरण \(2x = 8\) का उत्तर एक संख्या \(x = 4\) है। असमानता \(2x < 8\) का उत्तर अनंत संख्या में संख्याएँ हैं: \(3\), \(0\), \(-100\), और \(3{,}999\) सभी उपयुक्त हैं। उन्हें एक-एक करके लिखना असंभव है, इसलिए उत्तर को एक अंतराल के रूप में लिखा जाता है: \(x < 4\), यानी \((-\infty;\ 4)\)।
यह जांचना आसान है कि कोई विशेष संख्या हल है या नहीं: इसे चर के स्थान पर रखें और देखें कि क्या एक सत्य असमानता प्राप्त होती है।
- \(x = 1\) असमानता \(2x < 8\) में: \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) - सत्य है, इसलिए \(1\) एक हल है।
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) - असत्य है, इसलिए \(5\) हल नहीं है।
दो असमानताओं को समकक्ष कहा जाता है यदि उनके हल समुच्चयों समान हों। एक असमानता का पूरा हल सरल समकक्ष असमानता में संक्रमण की एक श्रृंखला है, जब तक कि बाईं ओर अकेला \(x\) न रह जाए।
असमानता चिह्न: सख्त और गैर-सख्त
चार चिह्न हैं, और कौन सा चिह्न है, इस पर उत्तर और प्रस्तुति दोनों निर्भर करते हैं। सख्त चिह्न \(<\) और \(>\) सीमा बिंदु को उत्तर में शामिल नहीं करते हैं, गैर-सख्त \(\le\) और \(\ge\) - शामिल करते हैं।
यह अंतर पूरे हल में बना रहता है: एक सख्त चिह्न अक्ष पर एक खाली (खुला) बिंदु और उत्तर में एक गोल कोष्ठक देता है, एक गैर-सख्त - एक भरा हुआ बिंदु और एक चौकोर कोष्ठक।
| चिह्न | कैसे पढ़ा जाता है और उत्तर में क्या देता है |
|---|---|
| < | से कमसख्तबिंदु खाली, कोष्ठक गोल |
| > | से बड़ासख्तबिंदु खाली, कोष्ठक गोल |
| ≤ | से कम या बराबरगैर-सख्तबिंदु भरा हुआ, कोष्ठक चौकोर |
| ≥ | से बड़ा या बराबरगैर-सख्तबिंदु भरा हुआ, कोष्ठक चौकोर |
समकक्ष परिवर्तन: असमानता के साथ क्या किया जा सकता है
असमानता के साथ लगभग वही किया जा सकता है जो समीकरण के साथ किया जाता है, लेकिन एक महत्वपूर्ण सुधार के साथ। आप स्वतंत्र रूप से जोड़ और घटा सकते हैं: यदि दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ी या घटाई जाती है, तो हल समुच्चय नहीं बदलेगा। इस तरह से पदों को चिह्न बदलकर प्लस से माइनस करके 'स्थानांतरित' किया जाता है।
लेकिन गुणा और भाग गुणक के चिह्न पर निर्भर करते हैं। जब दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत हो जाता है: \(<\) बन जाता है \(>\), \(\le\) बन जाता है \(\ge\) और इसके विपरीत। संख्याओं में कारण स्पष्ट है: सत्य \(3 < 5\) को \(-1\) से गुणा करने के बाद \(-3\) और \(-5\) प्राप्त होता है, और \(-3 > -5\) - संख्याओं का क्रम उलट गया है।
वही होता है यदि आप बाएं और दाएं पक्षों को बदलते हैं: \(7 < y\) से \(y > 7\) प्राप्त होता है।
| दोनों पक्षों के साथ क्या करें | चिह्न के साथ क्या करें |
|---|---|
| एक ही संख्या या व्यंजक जोड़ें या घटाएँ | चिह्न बना रहता है |
| धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करें | चिह्न बना रहता है |
| ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करें | चिह्न बदल जाता है |
| बाएं और दाएं पक्षों को बदलें | चिह्न बदल जाता है |
| चर वाले व्यंजक से गुणा या विभाजित करें (x − 2) | ऐसा नहीं कर सकते |
उत्तर कैसे लिखें: संख्या रेखा और अंतराल
जब चर अकेला रह जाता है, तो हल लगभग तैयार होता है - इसे प्रस्तुत करना बाकी है। सबसे सुविधाजनक तरीका पहले उत्तर को संख्या रेखा पर चिह्नित करना है, और फिर रेखा से अंतराल की गणना करना है।
लिखने के नियम केवल तीन हैं, और वे असमानता के प्रकार से नहीं बदलते हैं:
- गोल कोष्ठक - बिंदु उत्तर में शामिल नहीं है (सख्त चिह्न, खाली बिंदु);
- चौकोर कोष्ठक - बिंदु शामिल है (गैर-सख्त चिह्न, भरा हुआ बिंदु);
- अनंत के लिए कोष्ठक हमेशा गोल होता है: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) - \([-\infty;\ 4]\) जैसे रूप में कोई प्रविष्टि नहीं है, अनंत एक संख्या नहीं है और इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
यदि उत्तर रेखा के दो टुकड़े निकलते हैं, तो उन्हें संघ चिह्न \(\cup\) से जोड़ा जाता है: उदाहरण के लिए, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)।
असमानताओं के प्रकार और उन्हें हल करने के तरीके
असमानताओं को इस आधार पर अलग किया जाता है कि चर उनमें कैसे प्रवेश करता है - क्या यह पहली डिग्री में है, वर्ग के तहत, हर में, या मापांक के तहत। यही हल करने की विधि निर्धारित करता है, इसलिए किसी भी हल का पहला कदम असमानता के प्रकार का पता लगाना है। आगे की सामान्य तर्क एक ही है: असमानता को 'व्यंजक शून्य से तुलना की जाती है' के रूप में लाना, और फिर इस प्रकार के लिए उपयुक्त विधि लागू करना। प्रकारों और विधियों का सारांश - नीचे दी गई तालिका में।
मापांक को कैसे खोला जाता है, इसे अलग से याद रखना चाहिए - तालिका में यह शामिल नहीं है। जब \(a > 0\), असमानता \(|f(x)| < a\) दोहरी असमानता \(-a < f(x) < a\) के समतुल्य है (एक प्रणाली बनती है), और \(|f(x)| > a\) - \(f(x) < -a\) या \(f(x) > a\) के संयोजन के लिए (अंतरालों का संघ बनता है)। यदि \(a < 0\), तो सोचने की कोई बात नहीं है: मापांक गैर-ऋणात्मक है, इसलिए \(|f(x)| < a\) का कोई हल नहीं है, और \(|f(x)| > a\) सभी स्वीकार्य \(x\) के लिए सत्य है।
अपरिमेय (वर्गमूल के साथ) और घातीय असमानताओं को उच्च विद्यालय में हल किया जाता है: सामान्य परिवर्तनों में स्वीकार्य मानों के क्षेत्र के साथ काम करना जोड़ा जाता है।
अलग-अलग प्रकारों के विस्तृत विश्लेषण: रैखिक असमानताएँ, तर्कसंगत असमानताएँ और अंतराल विधि, और द्विघात त्रिपद के मूल विएटा के प्रमेय द्वारा आसानी से चुने जा सकते हैं विएटा के प्रमेय।
| प्रकार | कैसा दिखता है और किससे हल होता है |
|---|---|
| रैखिक | ax + b > 0पदों को स्थानांतरित करें और x के गुणांक से विभाजित करें |
| द्विघात | ax2 + bx + c > 0त्रिपद के मूल ज्ञात करें और परवलय को देखें |
| भिन्नात्मक-तर्कसंगत | P(x) / Q(x) ≥ 0अंतराल विधि, हर के शून्य को खाली करें |
| मापांक के साथ | | f(x) | < aपरिभाषा के अनुसार मापांक खोलें |
| प्रणाली | घुंघराले कोष्ठक में दो असमानताएँप्रत्येक को हल करें, प्रतिच्छेदन लें |
असमानताओं की प्रणालियाँ और संयोजन
अक्सर एक असमानता दो में विभाजित हो जाती है, और तब यह महत्वपूर्ण होता है कि प्राप्त समुच्चयों के साथ क्या करना है, इसमें भ्रमित न हों।
प्रणाली (घुंघराले कोष्ठक) का अर्थ है 'यह और वह दोनों एक साथ'। प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करें, दोनों उत्तरों को एक ही अक्ष पर चिह्नित करें और प्रतिच्छेदन लें - सामान्य भाग। यदि कोई सामान्य भाग नहीं है, तो प्रणाली का कोई हल नहीं है।
संयोजन (चौकोर कोष्ठक) का अर्थ है 'या तो यह, या वह'। यहां संघ लिया जाता है - वह सब कुछ जो कम से कम एक उत्तर से रंगा गया है। संयोजन तब प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, 'से बड़ा' चिह्न के साथ मापांक को खोलते समय।
अलग से दोहरी असमानता \(-3 < 2x + 1 \le 7\) के रूप में है: यह प्रणाली का एक संक्षिप्त रूप है। परिवर्तन तुरंत तीनों भागों पर किए जाते हैं - घटाना, विभाजित करना, और ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते समय दोनों चिह्नों को एक साथ उलट देना।
असमानताओं को हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1. जांचें कि क्या कोई संख्या हल है
कार्य। क्या \(x = -1\) असमानता \(3x + 5 \ge 1\) का हल है?
चरण 1. \(x\) के स्थान पर \(-1\) रखें: \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\)।
चरण 2. दाईं ओर से तुलना करें: \(2 \ge 1\) - एक सत्य संख्यात्मक असमानता।
उत्तर। हाँ, \(-1\) एक हल है। लेकिन असमानता को हल करने का अर्थ है सभी ऐसे संख्याओं को खोजना, न कि एक को: यहां उत्तर \(x \ge -\frac{4}{3}\) है।
उदाहरण 2. चिह्न बदलने के साथ रैखिक असमानता
कार्य। \(7 - 3x < 1\) को हल करें।
चरण 1. \(7\) को दाईं ओर ले जाएं (यानी दोनों पक्षों से \(7\) घटाएं - असमानता का चिह्न नहीं बदलता है): \(-3x < 1 - 7\), जिसका अर्थ है \(-3x < -6\)।
चरण 2. दोनों पक्षों को \(-3\) से विभाजित करें। भाजक ऋणात्मक है, इसलिए चिह्न पलट जाता है: \(x > 2\)।
चरण 3. अक्ष पर चिह्नित करें: \(2\) पर खाली बिंदु, सब कुछ दाईं ओर रंगें।
उत्तर। \(x > 2\), यानी \(x \in (2;\ +\infty)\)।
उदाहरण 3. द्विघात असमानता
कार्य। \(x^2 - 4x - 5 \le 0\) को हल करें।
चरण 1. त्रिपद के मूल ज्ञात करें: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), जिससे \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\)।
चरण 2. \(x^2\) के साथ गुणांक धनात्मक है, इसलिए परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं: मूलों के बीच त्रिपद ऋणात्मक होता है, और मूलों के बाहर - धनात्मक।
चरण 3. हमें \(\le 0\) चिह्न चाहिए, यानी ऋणात्मक मान और स्वयं मूल (गैर-सख्त चिह्न) - मूलों के बीच के खंड को सिरों सहित लें।
उत्तर। \(x \in [-1;\ 5]\)।
उदाहरण 4. मापांक के साथ असमानता
कार्य। \(|x + 1| > 4\) को हल करें।
चरण 1. मापांक एक धनात्मक संख्या से बड़ा है - इसका मतलब है कि मापांक के तहत व्यंजक या तो \(4\) से बड़ा है, या \(-4\) से छोटा है। हमें एक संयोजन मिलता है: \(x + 1 > 4\) या \(x + 1 < -4\)।
चरण 2. प्रत्येक को हल करें: पहले से \(x > 3\), दूसरे से \(x < -5\)।
चरण 3. यह एक संयोजन है, इसलिए हम प्रतिच्छेदन के बजाय अंतरालों का संघ लेते हैं।
उत्तर। \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)।
उदाहरण 5. असमानताओं की प्रणाली
कार्य। प्रणाली को हल करें \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
चरण 1. पहली असमानता: \(2x > -4\), धनात्मक \(2\) से विभाजित करें - चिह्न बना रहता है, \(x > -2\)।
चरण 2. दूसरी असमानता: \(x \le 4\)।
चरण 3. दोनों उत्तरों को एक ही अक्ष पर चिह्नित करें और प्रतिच्छेदन लें - वह खंड जो दो बार रंगा गया है। बाईं सीमा शामिल नहीं है (सख्त चिह्न), दाईं सीमा शामिल है (गैर-सख्त)।
उत्तर। \(x \in (-2;\ 4]\)।
असमानताओं को हल करते समय सामान्य त्रुटियाँ
-
ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया और वही चिह्न छोड़ दिया।
जब दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो चिह्न अनिवार्य रूप से विपरीत हो जाता है। \(-5x \ge 10\) से \(x \le -2\) प्राप्त होता है, न कि \(x \ge -2\)। स्वयं को जांचें: \(x = -3\) से \(15 \ge 10\) प्राप्त होता है - यह सत्य है, इसलिए सही उत्तर वास्तव में 'से कम या बराबर' है।
-
अनंत के लिए चौकोर कोष्ठक लिखते हैं: $[-\infty;\ 7]$।
अनंत कोई संख्या नहीं है, इसे 'प्राप्त' नहीं किया जा सकता है, इसलिए \(\infty\) के पास कोष्ठक हमेशा गोल होता है: \((-\infty;\ 7]\)। चौकोर कोष्ठक केवल एक परिमित सीमा के लिए रखा जाता है जो उत्तर में शामिल है।
-
कोष्ठक के प्रकार और बिंदु के प्रकार को भ्रमित करते हैं: सख्त चिह्न को चौकोर कोष्ठक से लिखते हैं।
सख्त चिह्न (\(<\), \(>\)) - सीमा उत्तर में शामिल नहीं है: अक्ष पर खाली बिंदु और गोल कोष्ठक। गैर-सख्त (\(\le\), \(\ge\)) - सीमा शामिल है: भरा हुआ बिंदु और चौकोर कोष्ठक। जांच सरल है: मूल असमानता में सीमा बिंदु को स्वयं रखें और देखें कि क्या यह सत्य हो जाता है।
-
चर वाले व्यंजक से दोनों पक्षों को गुणा करते हैं, ताकि 'भिन्न से छुटकारा' मिल सके।
ऐसे व्यंजक का चिह्न अज्ञात है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि असमानता के चिह्न को पलटना है या नहीं - परिवर्तन समकक्ष नहीं है। इसके बजाय, सब कुछ एक भाग में ले जाएं, एक भिन्न में लाएं और अंतराल विधि लागू करें।
-
उत्तर में एक संख्या लिखते हैं: ' $x = 3$ ' समुच्चय के बजाय।
असमानता का हल मानों का एक समुच्चय है। इसे अंतराल के रूप में लिखें: \(x > 3\), यानी \((3;\ +\infty)\)। एक संख्या उत्तर का एक तत्व हो सकती है, लेकिन स्वयं उत्तर नहीं।
-
प्रणाली के लिए संघ लेते हैं, और संयोजन के लिए - प्रतिच्छेदन।
प्रणाली (घुंघराले कोष्ठक, 'और') - प्रतिच्छेदन, अंतरालों का सामान्य भाग। संयोजन (चौकोर कोष्ठक, 'या') - संघ \(\cup\) चिह्न के माध्यम से। और एक और बात: '\(-2 < x > 5\)' रूप की कोई प्रविष्टि अर्थहीन है - ऐसे उत्तर को दो अंतरालों के संघ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।
प्रश्न और उत्तर
असमानता को हल करने का क्या मतलब है?
असमानता को हल करने का अर्थ है चर के सभी मान ज्ञात करना, जिनके लिए यह एक सत्य संख्यात्मक असमानता बन जाती है, और उन्हें एक समुच्चय के रूप में लिखना। उत्तर एक अंतराल या अंतरालों का एक संघ होगा, न कि एक अलग संख्या।
किस प्रकार की असमानताएँ होती हैं?
चर वाले व्यंजक के रूप के आधार पर, रैखिक (\(ax + b > 0\)), द्विघात (\(ax^2 + bx + c > 0\)), भिन्नात्मक-तर्कसंगत (चर हर में), मापांक के साथ, अपरिमेय और घातीय असमानताओं को अलग किया जाता है। अलग से, असमानताओं की प्रणालियों और संयोजनों को अलग किया जाता है। चिह्न के अनुसार, असमानताओं को सख्त (\(<\), \(>\)) और गैर-सख्त (\(\le\), \(\ge\)) में विभाजित किया जाता है।
असमानता का चिह्न कब विपरीत हो जाता है?
दो मामलों में: जब दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है और जब बाएं और दाएं पक्षों को बदला जाता है। जोड़ते, घटाते और धनात्मक संख्या से विभाजित करते समय चिह्न वही रहता है।
कोष्ठक गोल कब होता है, और कब चौकोर?
गोल - यदि सीमा बिंदु उत्तर में शामिल नहीं है (सख्त चिह्न, अक्ष पर खाली बिंदु)। चौकोर - यदि यह शामिल है (गैर-सख्त चिह्न, अक्ष पर भरा हुआ बिंदु)। \(+\infty\) और \(-\infty\) के पास कोष्ठक हमेशा गोल होता है।
असमानता का हल समीकरण के हल से कैसे भिन्न होता है?
परिवर्तन लगभग समान हैं, लेकिन समीकरण का उत्तर आमतौर पर अलग-अलग संख्याओं से बना होता है, जबकि असमानता का - पूरे अंतरालों से। इसके अलावा, असमानता में ऋणात्मक संख्या से गुणा और भाग करते समय चिह्न बदलने का एक नियम होता है, जो समीकरणों में नहीं होता है।
भिन्नात्मक असमानता क्या मानी जाती है और इसे कहाँ हल किया जाता है?
भिन्नात्मक (भिन्नात्मक-तर्कसंगत) असमानता वह होती है जिसमें चर हर में होता है, जैसे \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); हर के कारण इसमें स्वीकार्य मानों का एक क्षेत्र होता है, और इसे सामान्य विभाजन से हल नहीं किया जा सकता है। उदाहरणों के साथ चरण-दर-चरण एल्गोरिथम - एक अलग सामग्री तर्कसंगत असमानताएँ और अंतराल विधि में है।
असमानताओं को हल करना किस कक्षा में पढ़ाया जाता है?
रैखिक असमानताओं और संख्यात्मक अंतरालों को कक्षा 8 में (मर्ज़ल्याक के अनुसार - 9 में) पढ़ाया जाता है, द्विघात और भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानताओं को अंतराल विधि के साथ - कक्षा 8-9 में, और अपरिमेय और घातीय - उच्च विद्यालय में।
