विएटा का प्रमेय वर्ग समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों से जोड़ता है: मानक समीकरण \(x^2 + px + q = 0\) के लिए, मूलों का योग \(-p\) के बराबर होता है, और गुणनफल \(q\) के बराबर होता है। यह विवेचक के बिना, मौखिक रूप से - चयन द्वारा मूलों को खोजने की अनुमति देता है। इस पृष्ठ पर - मानक समीकरण और सामान्य रूप के लिए सटीक सूत्र, विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय, मूलों के चयन की विधि, हल किए गए उदाहरण और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर हैं।
विएटा का प्रमेय क्या है
विएटा का प्रमेय एक नियम है जो वर्ग समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों से जोड़ता है। इसे इस प्रकार बताया गया है: यदि \(x_1\) और \(x_2\) मानक वर्ग समीकरण \(x^2 + px + q = 0\) के मूल हैं, तो
शब्दों में: मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल स्थिर पद के बराबर होता है। योग में ऋण चिह्न पूरे विषय का सबसे महत्वपूर्ण स्थान है: ठीक \(-p\) लिखा जाता है, \(p\) नहीं।
सामान्य रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) (जहाँ \(a \neq 0\)) के समीकरण के लिए, सूत्र \(a\) से विभाजित करके प्राप्त किए जाते हैं:
प्रमेय केवल तभी काम करता है जब वास्तविक मूल मौजूद हों, यानी \(D \ge 0\) के लिए। यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो चुनने के लिए कुछ भी नहीं है: ऐसे योग और गुणनफल वाली कोई वास्तविक संख्याएँ मौजूद नहीं हैं।
मानक समीकरण और सामान्य रूप: जहाँ a से विभाजित करना है
मानक वर्ग समीकरण को कहा जाता है, जिसमें \(x^2\) का गुणांक एक के बराबर होता है: \(x^2 + px + q = 0\)। विशेष रूप से इसके लिए विएटा का प्रमेय सबसे छोटा लगता है, इसलिए मूलों का चयन हमेशा मानक बनाने से शुरू होता है।
यदि \(a \neq 1\), तो समीकरण को पहले पद दर पद \(a\) से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) को \(3\) से विभाजित करने के बाद \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\) बन जाता है, यानी \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\)। इससे \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) और \(x_1 \cdot x_2 = 1\) प्राप्त होता है।
वही विचार सामान्य रूप के लिए तुरंत लिखा जा सकता है, समीकरण को मानक बनाए बिना: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)। सबसे आम त्रुटि यह है कि मानक न बनाए गए समीकरण पर 'छोटे' सूत्र \(-p\) और \(q\) लागू करना और \(\frac{10}{3}\) के बजाय 10 का योग प्राप्त करना।
विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय
विएटा के प्रमेय का एक व्युत्क्रम है, और यही इसे चयन द्वारा समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है। इसे इस प्रकार बताया गया है: यदि संख्याएँ \(m\) और \(n\) ऐसी हैं कि
तो \(m\) और \(n\) समीकरण \(x^2 + px + q = 0\) के मूल हैं।
अंतर मौलिक है। सीधा प्रमेय मूलों से गुणांकों की ओर जाता है: मूल ज्ञात हैं, हमें उनके बीच संबंध मिलते हैं। व्युत्क्रम गुणांकों से मूलों की ओर जाता है: हमने आवश्यक योग और आवश्यक गुणनफल वाली संख्याओं की एक जोड़ी का अनुमान लगाया है - और उन्हें मूल कहने का पूरा अधिकार है, कुछ और साबित करने की आवश्यकता नहीं है।
इससे एक उपयोगी नियम भी निकलता है: यदि \(x_1\) और \(x_2\) मूल हैं, तो बहुपद को गुणनखंडों \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)।
विएटा प्रमेय द्वारा मूलों का चयन: विधि
मूलों का चयन प्रमेय का मुख्य व्यावहारिक अनुप्रयोग है। यह विवेचक की तुलना में तेज़ी से काम करता है, जब मूल पूर्णांक होते हैं, और इसमें पाँच चरण लगते हैं।
p और q गुणांकों द्वारा वर्ग समीकरण के मूलों के चिह्न
चयन शुरू करने से पहले, आप गुणांकों \(p\) और \(q\) के चिह्नों को देखकर मूलों के चिह्न का पता लगा सकते हैं। यह चयन को बहुत कम कर देता है: आप तुरंत देख सकते हैं कि दो धनात्मक संख्याओं, दो ऋणात्मक संख्याओं या विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं की जोड़ी की तलाश करनी है या नहीं।
| p और q | मूल | उदाहरण |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | दोनों > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | दोनों < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | विपरीत चिह्न | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 और −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
विएटा का प्रमेय या विवेचक: क्या चुनें
विवेचक \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) के माध्यम से मूलों का सूत्र हमेशा काम करता है, लेकिन इसके लिए गणना की आवश्यकता होती है। विएटा का प्रमेय तुरंत काम करता है, लेकिन केवल तभी जब मूलों का अनुमान लगाया जा सके - आमतौर पर ये छोटी पूर्णांक संख्याएँ होती हैं।
व्यावहारिक नियम इस प्रकार है:
- समीकरण मानक है, और \(q\) छोटी संख्याओं के जोड़े में विघटित होता है → विएटा द्वारा चयन आज़माएँ, उत्तर मौखिक रूप से प्राप्त होता है;
- गुणांक बड़े या भिन्नात्मक हैं, मूल 10-15 सेकंड में अनुमानित नहीं होते हैं → विवेचक की गणना करें;
- केवल मूलों की संख्या या मूलों के चिह्न की आवश्यकता है, और स्वयं मूलों की नहीं → \(D\) और उपरोक्त चिह्नों की तालिका पर्याप्त है।
संयोजन भी उपयोगी है: विवेचक की गणना करें और मूलों को खोजें - उत्तर को विएटा द्वारा जांचें। योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) देना चाहिए। ऐसी जाँच कुछ सेकंड लेती है और लगभग किसी भी अंकगणितीय त्रुटि को पकड़ लेती है।
विएटा प्रमेय द्वारा हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1. मूलों का चयन: दोनों मूल धनात्मक
हल करें \(x^2 - 9x + 20 = 0\)।
चरण 1. समीकरण मानक है: \(p = -9\), \(q = 20\)।
चरण 2. विवेचक की जाँच करें: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) - दो मूल मौजूद हैं।
चरण 3. संबंध लिखें: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\)।
चरण 4. 20 के गुणनखंडों को सूचीबद्ध करें: \(1\cdot 20\) (योग 21), \(2\cdot 10\) (योग 12), \(4\cdot 5\) (योग 9) - अंतिम जोड़ी उपयुक्त है। दोनों गुणनखंड धनात्मक हैं, क्योंकि \(q > 0\), और \(p < 0\)।
चरण 5. प्रतिस्थापन द्वारा जाँच। \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\)।
उत्तर: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\)।
उदाहरण 2. विपरीत चिह्नों वाले मूल
हल करें \(x^2 + 3x - 28 = 0\)।
चरण 1. समीकरण मानक है: \(p = 3\), \(q = -28\)।
चरण 2. \(q < 0\), जिसका अर्थ है कि मूलों के चिह्न विपरीत हैं और विवेचक निश्चित रूप से धनात्मक है: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\)।
चरण 3. संबंध: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\)।
चरण 4. 28 के गुणनखंड: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\)। 3 का अंतर चाहिए - जोड़ी 4 और 7 उपयुक्त है। चूँकि योग ऋणात्मक है, मापांक में बड़ी संख्या को ऋणात्मक चिह्न के साथ लें: \(4\) और \(-7\)।
चरण 5. जाँच। \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\)।
उत्तर: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\)।
उदाहरण 3. सामान्य रूप का समीकरण (a ≠ 1)
हल करें \(3x^2 - 10x + 3 = 0\)।
चरण 1. गुणांक \(a = 3\) है, इसलिए 'छोटे' सूत्र \(-p\) और \(q\) लागू नहीं किए जा सकते। सामान्य रूप का उपयोग करें: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\)।
चरण 2. गुणनफल 1 के बराबर है - इसका मतलब है कि मूल पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम हैं: यदि एक \(t\) है, तो दूसरा \(\tfrac{1}{t}\) है। योग \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) से पता चलता है कि \(t = 3\), क्योंकि \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\)।
चरण 3. प्रतिस्थापन द्वारा जाँच। \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\)।
उत्तर: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\)।
उदाहरण 4. अपने मूलों के अनुसार समीकरण बनाएँ
कार्य। एक मानक वर्ग समीकरण बनाएँ जिसके मूल \(-4\) और \(6\) हों।
चरण 1. योग और गुणनफल की गणना करें: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\)।
चरण 2. विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार गुणांक \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) और \(q = x_1 x_2 = -24\) हैं। यहाँ मुख्य जाल छिपा है: \(p\) योग के विपरीत चिह्न के बराबर है।
चरण 3. समीकरण लिखें: \(x^2 - 2x - 24 = 0\)।
चरण 4. प्रतिस्थापन द्वारा जाँच। \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\)।
उत्तर: \(x^2 - 2x - 24 = 0\)। वही परिणाम गुणनखंड \((x + 4)(x - 6) = 0\) से मिलता है।
उदाहरण 5. विएटा प्रमेय द्वारा किसी और के उत्तर की जाँच करें
कार्य। एक छात्र ने समीकरण \(x^2 + 5x + 6 = 0\) हल किया और उत्तर लिखा: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\)। जाँचें कि क्या वह गलत है।
चरण 1. विएटा के अनुसार \(x_1 + x_2 = -p = -5\) और \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\) होना चाहिए।
चरण 2. प्रस्तावित उत्तर का गुणनफल मेल खाता है (\(2\cdot 3 = 6\)), लेकिन योग नहीं: \(2 + 3 = 5 \neq -5\)। इसलिए, उत्तर गलत है: चिह्न खो गया है।
चरण 3. सही जोड़ी खोजें: गुणनफल 6 और योग -5 वाली संख्याएँ चाहिए - ये \(-2\) और \(-3\) हैं (दोनों ऋणात्मक हैं, क्योंकि \(q > 0\) और \(p > 0\))।
चरण 4. प्रतिस्थापन द्वारा जाँच। \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\)।
उत्तर: सही मूल \(-x_1 = -2\), \(x_2 = -3\) हैं।
विएटा प्रमेय के साथ काम करते समय सामान्य त्रुटियाँ
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योग में माइनस खो देते हैं: $x_1 + x_2 = p$ के बजाय $x_1 + x_2 = -p$ लिखते हैं।
माइनस केवल योग के साथ होता है, गुणनफल उसी चिह्न के साथ लिया जाता है: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\)। सरल समीकरण \(x^2 - 5x + 6 = 0\) पर जाँचें: यहाँ \(p = -5\), मूलों का योग 5 है, और मूल वास्तव में 2 और 3 हैं।
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मानक न बनाए गए समीकरण पर $-p$ और $q$ के सूत्रों को लागू करते हैं: $2x^2 - 9x + 4 = 0$ के लिए 'योग 9, गुणनफल 4' कहते हैं।
जब तक \(a \neq 1\), सामान्य रूप के सूत्र काम करते हैं: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\)। यहाँ मूल 4 और \(\tfrac{1}{2}\) हैं, न कि 4 और 1। या पहले पूरे समीकरण को \(a\) से विभाजित करें।
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विवेचक की जाँच किए बिना मूलों का चयन करते हैं: $x^2 + x + 1 = 0$ के लिए -1 के योग और 1 के गुणनफल वाली जोड़ी खोजने की कोशिश करते हैं।
पहले सुनिश्चित करें कि मूल मौजूद हैं: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, चयन संभव नहीं है। विएटा का प्रमेय केवल \(D \ge 0\) के लिए काम करता है।
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केवल गुणनफल द्वारा जोड़ी का चयन करते हैं, योग की जाँच नहीं करते: $x^2 - 8x + 12 = 0$ के लिए 3 और 4 लेते हैं, क्योंकि उनका गुणनफल 12 है।
दोनों संबंधों की एक साथ जाँच करनी चाहिए। \(x^2 - 8x + 12 = 0\) के लिए, 12 का गुणनफल (1; 12), (2; 6), (3; 4) की जोड़ियों से मिलता है, और 8 का योग केवल 2 और 6 की जोड़ी से मिलता है। जाँच: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) और \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\)।
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मूलों के अनुसार समीकरण बनाते समय, $p$ को योग के बराबर लेते हैं: 2 और 5 के मूलों के लिए $x^2 + 7x + 10 = 0$ लिखते हैं।
गुणांक \(p\) विपरीत चिह्न के योग के बराबर होता है: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), यानी \(x^2 - 7x + 10 = 0\)। प्रतिस्थापन पुष्टि करता है: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\)।
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मानते हैं कि विएटा का प्रमेय केवल पूर्णांक मूलों के लिए मान्य है, और उत्तर की जाँच के लिए इसका उपयोग नहीं करते हैं।
संबंध \(x_1 + x_2 = -p\) और \(x_1 x_2 = q\) किसी भी वास्तविक मूल - पूर्णांक, भिन्नात्मक और अपरिमेय के लिए मान्य होते हैं। मौखिक चयन पूर्णांकों के लिए सुविधाजनक है, और दूसरों के लिए प्रमेय उत्तर की जाँच का एक तेज़ तरीका बना रहता है।
प्रश्न और उत्तर
विएटा का प्रमेय सरल शब्दों में कैसे कहा जाता है?
यदि मानक वर्ग समीकरण \(x^2 + px + q = 0\) के मूल मौजूद हैं, तो उनका योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और गुणनफल स्थिर पद के बराबर होता है: \(x_1 + x_2 = -p\) और \(x_1 x_2 = q\)।
समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग और गुणनफल कितना होता है?
सामान्य रूप के समीकरण के लिए, मूलों का योग \(-\dfrac{b}{a}\) के बराबर होता है, और गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) के बराबर होता है। ये सूत्र मानक मामले से पूरे समीकरण को \(a\) से विभाजित करके प्राप्त किए जाते हैं।
विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय सीधे प्रमेय से कैसे भिन्न है?
सीधा प्रमेय मूलों से गुणांकों की ओर जाता है: मूलों को जानने पर, हमें योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) मिलते हैं। व्युत्क्रम विपरीत दिशा में जाता है: यदि संख्याओं की एक जोड़ी आवश्यक योग और आवश्यक गुणनफल देती है, तो ये संख्याएँ समीकरण के मूल हैं। विशेष रूप से व्युत्क्रम प्रमेय ही चयन द्वारा समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है।
विएटा प्रमेय द्वारा मूलों का चयन कैसे करें?
समीकरण को \(x^2 + px + q = 0\) के रूप में लाएँ, सुनिश्चित करें कि \(D \ge 0\), \(x_1 + x_2 = -p\) और \(x_1 x_2 = q\) लिखें, \(q\) के गुणनखंडों की जोड़ियों को सूचीबद्ध करें और उस जोड़ी को चुनें जिसका योग \(-p\) के बराबर है। उदाहरण के लिए, \(x^2 + 6x + 8 = 0\) के लिए 8 के गुणनफल और -6 के योग वाली संख्याओं की आवश्यकता है - ये -2 और -4 हैं।
क्या विएटा का प्रमेय तब काम करता है जब $x^2$ का गुणांक एक के बराबर नहीं होता है?
हाँ, लेकिन सामान्य रूप में: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\)। छोटे सूत्र \(-p\) और \(q\) केवल मानक समीकरण के लिए मान्य हैं, इसलिए \(a \neq 1\) होने पर समीकरण को पहले \(a\) से विभाजित किया जाता है।
यदि विएटा प्रमेय द्वारा मूलों का चयन नहीं हो पाता है तो क्या करें?
इसका मतलब है कि मूल पूर्णांक नहीं हैं या वे मौजूद ही नहीं हैं। विवेचक की गणना करें: \(D < 0\) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, और \(D \ge 0\) होने पर \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) सूत्र द्वारा मूल ज्ञात करें और फिर उत्तर को विएटा प्रमेय द्वारा जाँचें।
बिना समीकरण हल किए मूलों के चिह्न कैसे निर्धारित करें?
\(D \ge 0\) के लिए \(p\) और \(q\) के चिह्नों से: यदि \(q > 0\) और \(p < 0\) - दोनों मूल धनात्मक हैं; यदि \(q > 0\) और \(p > 0\) - दोनों ऋणात्मक हैं; यदि \(q < 0\) - मूलों के चिह्न विपरीत हैं; यदि \(q = 0\) - एक मूल शून्य है।
विएटा का प्रमेय किस कक्षा में पढ़ाया जाता है?
8वीं कक्षा में बीजगणित के पाठों में, वर्ग समीकरणों और विवेचक के ठीक बाद। आगे इसका उपयोग वर्ग त्रिपद को गुणनखंडों \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) में विघटित करने, पैरामीटर वाले मूलों के अध्ययन में और OGE और ЕГЭ के कार्यों में किया जाता है।
