अनुपात दो अनुपातों की समानता है, उदाहरण के लिए \(2:3 = 8:12\)। अनुपात हल करने के लिए, आपको केवल एक उपकरण की आवश्यकता है - अनुपात का मूल गुण: बाहरी पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है। स्कूल में इसे 'क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन' नियम कहा जाता है। नीचे - अनुपात क्या है, अज्ञात पद कैसे खोजें, प्रत्यक्ष आनुपातिकता व्युत्क्रम से कैसे भिन्न होती है, नुस्खा, पैमाना और कीमत पर आधारित कार्यों का विश्लेषण, प्रतिशत पर जाना और 10 कार्यों का ट्रेनर।
अनुपात और समानुपात क्या हैं
दो संख्याओं का अनुपात उनका भागफल होता है। अनुपात \(2:3\) (पढ़ा जाता है 'दो से तीन') बताता है कि एक संख्या दूसरी से कितने गुना बड़ी है या एक दूसरी का कितना हिस्सा है। इसे दो तरीकों से लिखा जा सकता है: \(2:3\) या भिन्न \(\frac{2}{3}\) - यह एक ही बात है।
अनुपात दो अनुपातों की समानता है:
अनुपात में कुल चार संख्याएँ होती हैं, और उनके नाम होते हैं। रिकॉर्ड के किनारों पर संख्याएँ बाहरी पद होती हैं, बीच की संख्याएँ मध्य पद होती हैं। अनुपात तब सही होता है जब दोनों अनुपात एक ही संख्या के बराबर होते हैं।
अनुपात का मूल गुण: 'क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन' नियम
अनुपात का मूल गुण: बाहरी पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
यह कैसे होता है? समानता \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) के दोनों पक्षों को \(b \cdot d\) से गुणा करें। बाईं ओर \(b\) कट जाएगा, दाईं ओर \(d\) कट जाएगा, और ठीक \(a \cdot d = c \cdot b\) बचेगा। कोई जादू नहीं - यह समानता का एक सामान्य गुण है।
यही वह है जिसे स्कूली बच्चे 'अनुपात हल करना' कहते हैं: संख्याओं को विकर्ण रूप से, क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन द्वारा गुणा किया जाता है। गुण विपरीत दिशा में भी काम करता है: यदि चार संख्याओं (जिनमें से कोई भी शून्य नहीं है) के लिए \(a \cdot d = b \cdot c\) सत्य है, तो उनसे एक सही अनुपात बनाया जा सकता है।
इससे तुरंत दो कौशल मिलते हैं: यह जांचना कि अनुपात सही है या नहीं, और उसमें अज्ञात संख्या खोजना।
अनुपात का अज्ञात सदस्य कैसे खोजें
मूल गुण से दो छोटे नियम निकलते हैं:
- अज्ञात बाहरी सदस्य = मध्य पदों का गुणनफल : ज्ञात बाहरी पद;
- अज्ञात मध्य सदस्य = बाहरी पदों का गुणनफल : ज्ञात मध्य पद।
इन्हें याद रखने की ज़रूरत नहीं है। एक सार्वभौमिक विधि पर्याप्त है: क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन करें, 'संख्या \(\cdot\, x\) = संख्या' जैसा एक समीकरण प्राप्त करें और विभाजित करें। आइए इसे अनुपात \(x : 7 = 12 : 21\) पर चरण दर चरण देखें।
अंतिम चरण - जाँच - पाँच सेकंड लेता है और लगभग किसी भी अंकगणितीय त्रुटि को पकड़ लेता है, इसलिए इसे छोड़ना नहीं चाहिए।
प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता
दो मात्राओं को सीधे आनुपातिक कहा जाता है यदि एक को कई बार बढ़ाने पर दूसरी भी उतने ही गुना बढ़ जाती है। दोगुनी नोटबुक खरीदीं - दोगुनी कीमत चुकाई। ऐसी मात्राओं का अनुपात स्थिर रहता है।
मात्राएँ व्युत्क्रम आनुपातिक होती हैं यदि एक को कई बार बढ़ाने पर दूसरी उतने ही गुना कम हो जाती है। दोगुनी संख्या में मजदूर - उसी काम के लिए उतने ही कम दिन। ऐसी मात्राओं का गुणनफल स्थिर रहता है।
मुख्य अंतर अनुपात लिखने के क्षण में दिखाई देता है। प्रत्यक्ष निर्भरता के लिए, यह 'जैसा है' लिखा जाता है: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)। व्युत्क्रम के लिए, दूसरा अनुपात उलट जाता है: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)।
क्यों? व्युत्क्रम निर्भरता के लिए गुणनफल स्थिर रहता है: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)। दोनों पक्षों को \(a_2 \cdot b_1\) से विभाजित करें - और आपको ठीक \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) मिलेगा। तो 'उलट देना' कोई मंत्र नहीं है जिसे याद रखना है, बल्कि यह इस तथ्य का परिणाम है कि गुणनफल स्थिर रहता है, अनुपात नहीं।
| लक्षण | प्रत्यक्ष | व्युत्क्रम |
|---|---|---|
| संबंध | अधिक → अधिक | अधिक → कम |
| स्थिर | अनुपात a : b | गुणनफल a × b |
| लिखना | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| उदाहरण | 3 पेन - 90 ₹, 5 पेन - 150 ₹ | 4 पेंटर - 9 दिन, 6 पेंटर - 6 दिन |
अनुपात के लिए कार्य कैसे बनाएं: नुस्खा, पैमाना, कीमत
अनुपात पर आधारित पाठ्य कार्य एक ही परिदृश्य का पालन करते हैं:
- स्थिति को दो कॉलम में लिखें ताकि समान मात्राएँ एक-दूसरे के नीचे हों (भागों के नीचे भाग, ग्राम के नीचे ग्राम)।
- अज्ञात को \(x\) से दर्शाएं।
- निर्भरता के प्रकार का निर्धारण करें: पहली मात्रा को मन से बढ़ाएं और देखें कि दूसरी बढ़ती है या घटती है।
- अनुपात बनाएं - व्युत्क्रम निर्भरता के लिए, दूसरे अनुपात को उलट दें।
- क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन द्वारा हल करें और जांचें कि उत्तर समझदार है या नहीं।
इसे एक नुस्खे से दिखाते हैं। 4 भागों पैनकेक के लिए 300 ग्राम आटा चाहिए - 6 भागों के लिए कितना आटा चाहिए? भाग अधिक हैं, इसलिए आटा भी अधिक चाहिए: निर्भरता प्रत्यक्ष है, अनुपात 'जैसा है' बनाया जाता है:
6 भागों के लिए 450 ग्राम आटा चाहिए। उत्तर समझदार है: भाग डेढ़ गुना हो गए, और आटा भी डेढ़ गुना चाहिए।
इसी तरह पैमाने पर आधारित कार्य (नक्शे पर दूरी का भू-भाग पर दूरी से वही अनुपात है जो 1 का पैमाने की संख्या से है) और कीमत पर आधारित कार्य (वस्तु की मात्रा का मात्रा से वही अनुपात है जो लागत का लागत से है) हल किए जाते हैं। पूर्ण विश्लेषण - नीचे दिए गए उदाहरणों में।
अनुपात के माध्यम से प्रतिशत
प्रतिशत संख्या का सौवां हिस्सा होता है, इसलिए प्रतिशत पर आधारित कोई भी सरल कार्य अनुपात में बदल जाता है:
यहाँ चार संख्याओं में से एक अज्ञात है - हम उसे क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन द्वारा खोजते हैं।
भाग खोजें। 240 का 15% कितना होगा? \(x : 240 = 15 : 100\) बनाएं, जिसका अर्थ है \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) और \(x = 36\)।
पूर्ण खोजें। संख्या 21 किसी संख्या का 35% है। \(21 : x = 35 : 100\) बनाएं, जिसका अर्थ है \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) और \(x = 60\)।
प्रतिशत खोजें। 45 का कितना प्रतिशत 18 है? \(18 : 45 = p : 100\) बनाएं, जिसका अर्थ है \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) और \(p = 40\), यानी 40%।
एक विधि - तीन अलग-अलग प्रकार के कार्य, कुछ भी अतिरिक्त याद रखने की आवश्यकता नहीं है। मात्रा कितनी बढ़ी या घटी, यह प्रश्न अलग है: पहले परिवर्तन की गणना की जाती है, और फिर इसे मूल मान से विभाजित किया जाता है - यह प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र है, न कि एक साधारण अनुपात।
अनुपात हल करने के उदाहरण चरण-दर-चरण विश्लेषण के साथ
उदाहरण 1. अज्ञात मध्य पद
कार्य। अनुपात \(15 : x = 45 : 24\) में अज्ञात सदस्य खोजें।
चरण 1। हम निर्धारित करते हैं कि कौन सा सदस्य कहाँ है। बाहरी - 15 और 24, मध्य - \(x\) और 45।
चरण 2। हम मूल गुण लागू करते हैं: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), यानी \(360 = 45x\)।
चरण 3। हम विभाजित करते हैं: \(x = 360 : 45 = 8\)।
जाँच। \(15 : 8 = 1{,}875\) और \(45 : 24 = 1{,}875\) - अनुपात बराबर हैं।
उत्तर: \(x = 8\)।
उदाहरण 2. प्रत्यक्ष आनुपातिकता: कीमत और मात्रा
कार्य। छह नोटबुक की कीमत 210 ₽ है। ऐसी 10 नोटबुक की कीमत कितनी होगी?
चरण 1। नोटबुक अधिक हैं - कीमत अधिक है, इसलिए निर्भरता प्रत्यक्ष है।
चरण 2। हम स्थिति को इस तरह लिखते हैं कि समान मात्राएँ एक साथ हों, और अनुपात 'जैसा है' बनाते हैं:
चरण 3। क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), इसलिए \(x = 2100 : 6 = 350\)।
जाँच। एक नोटबुक की कीमत \(210 : 6 = 35\) ₽ है, और दस की - \(35 \cdot 10 = 350\) ₽। मेल खाता है।
उत्तर: 350 ₽।
उदाहरण 3. व्युत्क्रम आनुपातिकता: मजदूर और दिन
कार्य। आठ मजदूर एक आदेश 15 दिनों में पूरा करते हैं। 12 मजदूर उसी आदेश को कितने दिनों में पूरा करेंगे, यदि वे उसी गति से काम करते हैं?
चरण 1। मजदूर अधिक हो गए - दिनों की आवश्यकता कम होगी। निर्भरता व्युत्क्रम है।
चरण 2। हम दूसरे अनुपात को उलट कर अनुपात बनाते हैं:
यहाँ \(x\) 12 मजदूरों के लिए दिन हैं, और 15, 8 मजदूरों के लिए दिन हैं: वे अपनी जगह बदल चुके हैं क्योंकि निर्भरता व्युत्क्रम है।
चरण 3। क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन: \(8 \cdot 15 = 12x\), यानी \(120 = 12x\) और \(x = 10\)।
जाँच। गुणनफल स्थिर रहता है: \(8 \cdot 15 = 120\) और \(12 \cdot 10 = 120\)। मेल खाता है, और उत्तर समझदार है - दिनों की संख्या कम हो गई है।
उत्तर: 10 दिन।
उदाहरण 4. नक्शे का पैमाना
कार्य। नक्शे का पैमाना \(1 : 200\,000\) है। नक्शे पर गाँवों के बीच की दूरी 7 सेमी है। भू-भाग पर उनके बीच की दूरी कितनी है?
चरण 1। पैमाना \(1 : 200\,000\) का अर्थ है: नक्शे पर 1 सेमी भू-भाग पर 200 000 सेमी के बराबर है। यह एक तैयार अनुपात है।
चरण 2। हम अनुपात बनाते हैं:
चरण 3। क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), यानी \(x = 1\,400\,000\) सेमी।
चरण 4। हम सुविधाजनक इकाइयों में अनुवाद करते हैं: एक किलोमीटर में 100 000 सेमी होते हैं, इसलिए \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) किमी।
उत्तर: 14 किमी।
उदाहरण 5. अनुपात के माध्यम से प्रतिशत
कार्य। कक्षा में 25 छात्र हैं, उनमें से 60% पिकनिक पर गए। कितने लोग पिकनिक पर गए?
चरण 1। पूर्ण - यह सभी 25 छात्र हैं, जो 100% के अनुरूप हैं। अज्ञात भाग - \(x\) लोग, जो 60% के अनुरूप हैं।
चरण 2। हम 'भाग : पूर्ण = प्रतिशत : 100' अनुपात बनाते हैं:
चरण 3। क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), इसलिए \(x = 15\)।
जाँच। 25 में से 15 लोग - यह \(15 : 25 = 0{,}6\), यानी ठीक 60% है।
उत्तर: 15 लोग।
अनुपात हल करते समय सामान्य गलतियाँ
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संख्याओं को क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन के बजाय 'सीधे' गुणा करना: अनुपात 5 : 2 = 20 : 8 में 5 · 2 और 20 · 8 की गणना करते हैं।
मूल गुण बाहरी पदों को मध्य पदों से जोड़ता है, यानी विकर्ण की संख्याएँ: 5 · 8 = 40 और 2 · 20 = 40। गुणनफल मेल खाते हैं - अनुपात सही है। और 5 · 2 और 20 · 8 बराबर नहीं हैं और कुछ भी नहीं बताते हैं।
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व्युत्क्रम निर्भरता वाले कार्य में 'प्रत्यक्ष' अनुपात बनाना। छह पंप 10 घंटे में एक पूल भरते हैं; रिकॉर्ड 6 : 15 = 10 : x 15 पंपों के लिए 25 घंटे देता है।
पंप अधिक हो गए - समय कम होना चाहिए, लेकिन यह अधिक हो गया: इसका मतलब है कि अनुपात सही दिशा में नहीं बनाया गया था। दूसरे अनुपात को उलटना होगा: 6 : 15 = x : 10, तब 15x = 60 और x = 4 घंटे। हमेशा अपने उत्तर की तर्कसंगतता की जाँच करें।
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क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन के बाद विपरीत क्रम में विभाजित करना: समीकरण 8x = 96 से x = 8 : 96 प्राप्त करते हैं।
x खोजने के लिए, गुणनफल को x के बगल में स्थित गुणक से विभाजित करें: x = 96 : 8 = 12। एक उपयोगी आदत - पाए गए मान को वापस प्रतिस्थापित करना: 8 · 12 = 96, सब कुछ सही है।
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इकाइयों को असंगत करना। पैमाने 1 : 50 000 वाले कार्य में 3 सेमी नक्शे पर उत्तर '1.5' बिना इकाइयों के लिखते हैं या इसे मीटर कहते हैं।
पहले उन इकाइयों में गणना करें जिनमें पैमाना दिया गया है: 3 · 50 000 = 150 000 सेमी। और केवल तब अनुवाद करें: 150 000 सेमी = 1500 मीटर = 1.5 किमी। उत्तर में इकाइयाँ संख्या जितनी ही महत्वपूर्ण हैं।
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अनुपात और समानुपात को भ्रमित करना: अनुपात बनाने के अनुरोध पर एक अनुपात '12 : 4' लिखते हैं।
अनुपात दो संख्याओं का भागफल होता है, उदाहरण के लिए 12 : 4। अनुपात दो अनुपातों की समानता है, इसमें चार संख्याएँ और एक समानता चिह्न होता है: 12 : 4 = 30 : 10 (जाँच करें: 12 · 10 = 120 और 4 · 30 = 120)।
प्रश्न और उत्तर
अनुपात समानुपात से कैसे भिन्न होता है?
अनुपात दो संख्याओं का भागफल होता है, उदाहरण के लिए 12 : 4। अनुपात दो अनुपातों की समानता है, इसमें चार संख्याएँ होती हैं: 12 : 4 = 30 : 10। अनुपात 'कितने गुना' प्रश्न का उत्तर देता है, और अनुपात यह बताता है कि दो ऐसे तुलनात्मक परिणाम समान देते हैं।
अनुपात के बाहरी और मध्य पद क्या हैं?
a : b = c : d रिकॉर्ड में, बाहरी पद वे होते हैं जो किनारों पर स्थित होते हैं, यानी a और d। मध्य पद वे होते हैं जो बीच में स्थित होते हैं, यानी b और c। यदि अनुपात भिन्न के रूप में लिखा गया है, तो बाहरी पद पहली भिन्न का अंश और दूसरी का हर होता है, और मध्य पद पहली का हर और दूसरी का अंश होता है।
अनुपात सही है या नहीं इसकी जाँच कैसे करें?
क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन करें और गुणनफलों की तुलना करें। उदाहरण के लिए, 9 : 12 = 15 : 20 के लिए, हम 9 · 20 = 180 और 12 · 15 = 180 की गणना करते हैं - संख्याएँ मेल खाती हैं, इसलिए अनुपात सही है। यदि गुणनफल भिन्न हैं, तो अनुपात गलत है।
क्या अनुपात के पदों को बदला जा सकता है?
हाँ, यदि नियमों के अनुसार किया जाए। एक सही अनुपात में, आप बाहरी पदों को बदल सकते हैं, आप मध्य पदों को बदल सकते हैं, या आप दोनों पक्षों को एक साथ उलट सकते हैं - अनुपात सही रहेगा। 4 : 6 = 10 : 15 से हमें 4 : 10 = 6 : 15 या 6 : 4 = 15 : 10 मिलता है - विकर्ण पर गुणनफल हमेशा 60 होता है। लेकिन केवल एक संख्या को स्थानांतरित करना संभव नहीं है।
अनुपात को 'क्रॉस से हल करना' का क्या मतलब है?
यह अनुपात के मूल गुण का बोलचाल का नाम है। संख्याओं को विकर्ण रूप से, क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन द्वारा गुणा किया जाता है: बाहरी को बाहरी से और मध्य को मध्य से। इससे एक अज्ञात वाला समीकरण बनता है, जिसे एक विभाजन द्वारा हल किया जाता है। मूल गुण के अलावा कोई अलग 'क्रॉस विधि' मौजूद नहीं है।
कार्य में प्रत्यक्ष निर्भरता या व्युत्क्रम निर्भरता कैसे समझें?
पहली मात्रा को मन से दोगुना करें और दूसरी को देखें। यदि यह भी दोगुनी हो गई - तो निर्भरता प्रत्यक्ष है, अनुपात 'जैसा है' बनाया जाता है। यदि यह आधी हो गई - तो निर्भरता व्युत्क्रम है, दूसरे अनुपात को उलटना होगा। एक और संकेत: प्रत्यक्ष निर्भरता में मात्राओं का अनुपात स्थिर रहता है, व्युत्क्रम में - उनका गुणनफल।
अनुपात के माध्यम से प्रतिशत पर आधारित कार्य कैसे हल करें?
एक अनुपात 'भाग : पूर्ण = प्रतिशत : 100' बनाएं और अज्ञात को क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन द्वारा खोजें। उदाहरण के लिए, 350 का 12%: हमें x : 350 = 12 : 100 मिलता है, जिसका अर्थ है 100x = 4200 और x = 42। उसी तरह, हम ज्ञात भाग से पूर्ण और स्वयं प्रतिशत भी खोजते हैं।
