अंकगणितीय प्रगति: n-वें पद और योग के सूत्र

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Author: Homiwork

स्तंभों की एक पंक्ति के बगल में गणितज्ञ शुभंकर, जहाँ प्रत्येक अगला स्तंभ पिछले से एक कदम ऊँचा है

अंकगणितीय प्रगति एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से एक निश्चित संख्या $d$ (प्रगति का अंतर) अधिक होता है। इसका कोई भी पद $a_n = a_1 + (n-1)d$ सूत्र द्वारा और पहले $n$ पदों का योग $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है। इस पृष्ठ पर परिभाषा, सार्व अंतर, योग के दोनों सूत्र, विशेषता गुण, किसी संख्या के प्रगति में होने की जाँच, ज्यामितीय प्रगति से अंतर, मानक OGE प्रश्न और स्वयं-परीक्षण के लिए एक इंटरैक्टिव सिम्युलेटर समझाया गया है।

अंकगणितीय प्रगति क्या है

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक ही संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस संख्या को प्रगति का सार्व अंतर कहा जाता है और इसे $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

एक सूत्र द्वारा परिभाषा: अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \dots$ को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि किसी भी संख्या $n$ के लिए समानता लागू होती है

\[a_{n+1} = a_n + d.\]

अनुक्रम 3, 7, 11, 15, 19, … लें। यहाँ पहला पद $a_1 = 3$ है, और अंतर $d = 4$ है: प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से ठीक 4 अधिक है। इसलिए, अगला पद 23 है, और तीन से पहले (यदि पीछे की ओर जारी रखें) ऋण चिह्न के साथ एक होता।

पूरी प्रगति केवल दो संख्याओं द्वारा निर्धारित की जाती है — पहला पद $a_1$ और अंतर $d$। इस जोड़ी को जानकर, आप कोई भी पद बता सकते हैं, कितने भी पहले पदों का योग गिन सकते हैं और जाँच सकते हैं कि क्या कोई दी गई संख्या अनुक्रम में मौजूद है। प्रगति को $(a_n)$ प्रतीक से दर्शाया जाता है, और इसके पदों को $a_1, a_2, a_3$ आदि के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ निचला सूचकांक हमेशा संख्या (स्थान) को दर्शाता है, मान को नहीं।

d = 4 > 0 — प्रगति बढ़ रही है

3+47+411+415+419+4?

d = −3 < 0 — प्रगति घट रही है

20−317−314−311−38−3?

चरण हमेशा एक समान होता है। यदि आप किसी भी पद से पिछला पद घटाते हैं, तो वही संख्या प्राप्त होगी — यही अंतर d है। पहली पंक्ति में अगला पद 23 है, दूसरी में 5।

अंकगणितीय प्रगति का सार्व अंतर: d कैसे ज्ञात करें

अंतर हमेशा अगला पद माइनस पिछला पद होता है:

\[d = a_n - a_{n-1}.\]

घटाने का क्रम महत्वपूर्ण है: यदि आप उल्टा घटाते हैं, तो अंतर का चिह्न विपरीत हो जाएगा। अनुक्रम 20, 17, 14, 11, 8 के लिए अंतर $17 - 20 = -3$ है, न कि $+3$।

$d$ का चिह्न पूरी तरह से प्रगति के व्यवहार को निर्धारित करता है:

$d > 0$ — प्रगति बढ़ रही है (आरोही), पद बढ़ते हैं;
$d < 0$ — प्रगति घट रही है (अवरोही), पद घटते हैं;
$d = 0$ — सभी पद समान हैं, उदाहरण के लिए 6, 6, 6, 6, … यह भी एक अंकगणितीय प्रगति है, बस स्थिर है।

यदि अलग-अलग संख्याओं वाले दो पद ज्ञात हैं, तो अंतर सूत्र द्वारा पाया जाता है

\[d = \frac{a_k - a_m}{k - m}.\]

उदाहरण। मान लें $a_4 = 30$ और $a_{10} = 6$। तब $d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4$, और पहला पद $a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42$ है। प्रगति की शुरुआत की जाँच करें: 42, 38, 34, 30 — चौथा पद वास्तव में 30 है।

अंतर का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है: अनुक्रम 1; 1.5; 2; 2.5 के लिए अंतर 0.5 है, और यह एक पूर्ण अंकगणितीय प्रगति है।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें पद का सूत्र

विषय का मुख्य सूत्र आपको सभी पिछले पदों को लिखे बिना कोई भी पद खोजने की अनुमति देता है:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d.\]

$n - 1$ कहाँ से आता है? पहले पद से $n$-वें पद तक पहुँचने के लिए, अंतर को $n$ बार नहीं, बल्कि एक बार कम जोड़ा जाता है: दूसरे पद तक — एक कदम, तीसरे तक — दो, बीसवें तक — उन्नीस।

उदाहरण। प्रगति 3, 7, 11, 15, 19, … के लिए हमारे पास $a_1 = 3$ और $d = 4$ है, जिसका अर्थ है

\[a_n = 3 + (n - 1)\cdot 4 = 4n - 1.\]

ऐसा संक्षिप्त रिकॉर्ड बहुत सुविधाजनक है: तुरंत देखा जा सकता है कि $a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79$, और $a_{100} = 399$। साथ ही, यह अंतर का संकेत देता है: किसी भी अंकगणितीय प्रगति में $n$-वें पद का सूत्र रैखिक होता है, $a_n = dn + c$ रूप का, और $n$ के सामने का गुणांक ही अंतर होता है।

कभी-कभी पहला पद अज्ञात होता है, लेकिन कोई अन्य पद दिया जाता है। तब सामान्य रूप में वही विचार काम करता है: $a_n = a_k + (n - k)d$।

पहले पद के माध्यम से

a_n = a₁ + (n − 1)d

पहले पद से n-वें पद तक हम d के ठीक n − 1 कदम चलते हैं। कोष्ठक में एक — सूत्र का मुख्य स्थान।

किसी भी ज्ञात पद के माध्यम से

a_n = a_k + (n − k)d

तब सुविधाजनक है जब पहला पद अज्ञात हो: उदाहरण के लिए, a₇ = a₃ + 4d।

त्वरित स्वयं-परीक्षण: n = 1 रखें। a₁ + 0 · d = a₁ प्राप्त होना चाहिए। यदि a₁ + d निकला — तो सूत्र में एक (1) गायब है।

अंकगणितीय प्रगति का विशेषता गुण

प्रगति का कोई भी पद, पहले को छोड़कर, अपने पड़ोसियों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है:

\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \qquad n \ge 2.\]

यही कारण है कि प्रगति को अंकगणितीय कहा जाता है। यह समानता विपरीत दिशा में भी काम करती है: यदि अनुक्रम में प्रत्येक मध्य पद पड़ोसियों के आधे योग के बराबर है, तो अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। इस कथन को अंकगणितीय प्रगति का लक्षण (प्रमाण) कहा जाता है, और समस्याओं में इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि तीन संख्याएँ एक प्रगति बनाती हैं।

उदाहरण। संख्याएँ 7, $x$, 23 प्रगति के तीन लगातार पद हैं। तब $x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15$। जाँच: 7, 15, 23 — अंतर 8 और 8 हैं, सब कुछ मेल खाता है।

उसी गुण को लिखने का एक सुविधाजनक रूप: $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$, यानी दोगुना मध्य पद बाहरी पदों के योग के बराबर होता है। इस रूप में, गुण को लागू करना आसान है जब पद बीजीय व्यंजकों द्वारा दिए गए हों।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

योग $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ की गणना दो सूत्रों में से एक द्वारा की जाती है:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \qquad \text{या} \qquad S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n.\]

पहले सूत्र का विचार वही है जो किंवदंती के अनुसार, स्कूली छात्र गॉस ने 1 से 100 तक की संख्याओं को जोड़ते समय पाया था। यदि आप पहले पद को अंतिम के साथ, दूसरे को अंतिम से पहले के साथ जोड़ते हैं, और इसी तरह, तो सभी जोड़े एक ही योग देंगे। यहाँ से $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050$।

दूसरा सूत्र पहले सूत्र में $a_n = a_1 + (n-1)d$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है — इसकी आवश्यकता तब होती है जब अंतिम पद नहीं दिया गया हो और आप इसे अलग से गिनना नहीं चाहते।

उदाहरण। प्रगति 3, 7, 11, 15, 19, … के पहले बीस पदों का योग ज्ञात करें।

पहले सूत्र के अनुसार: $a_{20} = 79$, इसलिए $S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$।

दूसरे के अनुसार: $S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820$।

उत्तर मेल खाते हैं — यह गणनाओं की सबसे अच्छी जाँच है।

अंतिम पद ज्ञात है

S_n =a₁ + a_n2· n

बाहरी पदों के योग का आधा, पदों की संख्या से गुणा किया गया। तब लें जब a_n पहले से ही गिना गया हो या शर्त में दिया गया हो।

पहला पद और अंतर ज्ञात हैं

S_n =2a₁ + (n − 1)d2· n

कुछ भी पहले से गिनने की आवश्यकता नहीं है। तब लें जब a_n अज्ञात हो।

यह एक ही सूत्र है। दूसरा, a_n = a₁ + (n − 1)d को प्रतिस्थापित करके पहले से प्राप्त होता है, इसलिए उत्तरों का मेल खाना अनिवार्य है — खुद को जाँचने का एक सुविधाजनक तरीका।

यह कैसे पता करें कि कोई संख्या अंकगणितीय प्रगति में शामिल है या नहीं

प्रश्न "क्या संख्या प्रगति का एक पद है" एक समीकरण द्वारा हल किया जाता है। संख्या प्रगति में तभी शामिल होती है जब उसका नंबर $n$ प्राकृतिक प्राप्त हो: 1, 2, 3 और इसी तरह। भिन्नात्मक या गैर-धनात्मक $n$ का अर्थ है कि ऐसा कोई पद नहीं है।

उदाहरण 1. क्या संख्या 99 प्रगति 3, 7, 11, 15, 19, … में शामिल है? यहाँ $n$-वें पद का सूत्र $a_n = 4n - 1$ है, इसलिए हम $4n - 1 = 99$ हल करते हैं, जहाँ से $4n = 100$ और $n = 25$। नंबर प्राकृतिक है — इसका मतलब है कि 99 प्रगति में है, यह इसका पच्चीसवाँ पद है।

उदाहरण 2. और संख्या 2026? $4n - 1 = 2026$ से हमें $4n = 2027$ और $n = 506.75$ मिलता है। नंबर भिन्नात्मक है, इसलिए 2026 इस प्रगति का पद नहीं है।

मौखिक अनुमान के लिए एक उपयोगी संकेत: $a_n = 4n - 1$ सूत्र वाली प्रगति में सभी पद 4 से विभाजित होने पर 3 शेषफल देते हैं। संख्या 2026 शेषफल 2 देती है, इसलिए यह प्रगति से "चूक" जाती है।

n-वें पद का सूत्र बनाएं

a_n = a₁ + (n − 1)d और कोष्ठक खोलें

इसे जाँचने वाली संख्या के बराबर रखें

अज्ञात n के साथ एक सामान्य रैखिक समीकरण प्राप्त होगा

n के लिए समीकरण हल करें

n — पद का नंबर है, मान नहीं

प्राप्त n को देखें

प्राकृतिक (1, 2, 3, …) — संख्या शामिल है और यह उसका नंबर है; भिन्नात्मक या n ≤ 0 — शामिल नहीं है

अंकगणितीय प्रगति पर मानक OGE प्रश्न

गणित में OGE में प्रगति हर साल आती है, और लगभग सभी कार्य चार विषयों तक सीमित हैं।

नंबर द्वारा पद ज्ञात करना। $a_1$ और $d$ (या कुछ पहले पद) दिए गए हैं — $a_n = a_1 + (n-1)d$ में प्रतिस्थापित करें।

मान द्वारा नंबर ज्ञात करना। एक संख्या दी गई है — $n$-वें पद के सूत्र को उसके बराबर रखें और $n$ के लिए समीकरण हल करें।

योग ज्ञात करना। दो सूत्रों में से किसी एक द्वारा $S_n$ की गणना करें; यदि $a_n$ पर्याप्त नहीं है — तो पहले उसे खोजें।

पदों की संख्या ज्ञात करना। $n$-वें पद के सूत्र से एक सुविधाजनक परिणाम प्राप्त होता है: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$।

अलग से पाठ्य समस्या है, जहाँ प्रगति कथानक में छिपी होती है। उदाहरण के लिए: पहले दिन एक कर्मचारी ने 12 पुर्जे बनाए, और प्रत्येक अगले दिन — पिछले दिन की तुलना में 3 पुर्जे अधिक; वह 15 दिनों में कितने पुर्जे बनाएगा? यहाँ $a_1 = 12$, $d = 3$, $n = 15$ है। अंतिम पद गिनें: $a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54$। तब $S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495$ पुर्जे।

ऐसे कार्यों के लिए मुख्य सलाह: पहले एक अलग पंक्ति में लिखें कि क्या दिया गया है ($a_1$, $d$, $n$, $a_n$, $S_n$) और क्या खोजने की आवश्यकता है। परीक्षा में आधी गलतियाँ सूत्रों के कारण नहीं, बल्कि इस कारण होती हैं कि नंबर को पद के मान के साथ भ्रमित कर दिया गया।

अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति: अंतर क्या है

दोनों प्रगति वे नियम हैं जिनके द्वारा एक पद से अगला पद प्राप्त किया जाता है। क्रिया में अंतर: अंकगणितीय में पद में एक ही संख्या $d$ जोड़ी जाती है, ज्यामितीय में — एक ही संख्या $q$ से गुणा किया जाता है, जिसे प्रगति का अनुपात (common ratio) कहा जाता है।

यहाँ से अलग व्यवहार आता है। अंकगणितीय प्रगति समान रूप से बढ़ती है, "सीढ़ियों की तरह": 3, 7, 11, 15 — प्रत्येक कदम 4 जोड़ता है। ज्यामितीय हिमस्खलन की तरह बढ़ती है: 3, 6, 12, 24 — प्रत्येक कदम संख्या को दोगुना करता है, और दस कदम बाद ही पद डेढ़ हजार से अधिक हो जाएगा।

अनुक्रम के प्रकार की जाँच करना आसान है: पड़ोसी पदों के अंतर और उनके अनुपात की गणना करें। समान अंतर — अंकगणितीय प्रगति, समान अनुपात — ज्यामितीय। यदि न तो एक और न ही दूसरा मेल खाता है, तो आपके सामने बस एक अनुक्रम है: उदाहरण के लिए, 1, 4, 9, 16 — ये प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं, और यह प्रगति नहीं है (अंतर 3, 5, 7 अलग हैं, अनुपात भी)।

स्कूली पाठ्यक्रम में, दोनों विषय कक्षा 9 में एक के बाद एक आते हैं, इसलिए सूत्रों को भ्रमित करना आसान है। दिमाग में एक आधार रखें: अंकगणितीय में अंतर $d$ घटाया (या जोड़ा) जाता है, ज्यामितीय में अनुपात $q$ विभाजित (या गुणा) किया जाता है। बाकी सब कुछ परिणाम है।

अंकगणितीय

चरणजोड़ते हैं d

n-वाँ पदa_n = a₁ + (n − 1)d

योगS_n = a₁ + a_n2 · n

उदाहरण3, 7, 11, 15 (+4)

ज्यामितीय

चरणगुणा करते हैं q

n-वाँ पदb_n = b₁ · qⁿ⁻¹

योग (q ≠ 1)S_n = b₁(qⁿ − 1)q − 1

उदाहरण3, 6, 12, 24 (×2)

10 सेकंड में कैसे पहचानें: पड़ोसी पदों के अंतर की गणना करें। समान — अंकगणितीय प्रगति। यदि अंतर नहीं, बल्कि अनुपात समान हैं (प्रत्येक अगला पिछले से विभाजित होकर एक ही परिणाम देता है) — ज्यामितीय।

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. दो पदों द्वारा पहला पद और अंतर ज्ञात करना

दिया गया है। $a_3 = 14$, $a_7 = 30$। $a_1$, $d$ और $a_{20}$ ज्ञात करें।

चरण 1. तीसरे पद से सातवें तक ठीक $7 - 3 = 4$ कदम हैं, प्रत्येक पर $d$ जोड़ा जाता है। इसका मतलब $a_7 = a_3 + 4d$, यानी $30 = 14 + 4d$, जहाँ से $4d = 16$ और $d = 4$।

चरण 2. पहले पद पर वापस लौटें: $a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6$।

चरण 3. $n$-वें पद का सूत्र लिखें: $a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2$।

चरण 4. आवश्यक पद गिनें: $a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82$।

जाँच। प्रगति की शुरुआत लिखें: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30। तीसरा पद 14, सातवां 30 — मेल खा गया।

उत्तर: $a_1 = 6$, $d = 4$, $a_{20} = 82$।

उदाहरण 2. पहले 30 पदों का योग (दोनों सूत्र)

दिया गया है। प्रगति $-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots$ $S_{30}$ ज्ञात करें।

चरण 1. पैरामीटर निर्धारित करें: $a_1 = -5$, $d = -2 - (-5) = 3$।

चरण 2. तीसवां पद ज्ञात करें: $a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82$।

चरण 3. पहले सूत्र द्वारा गिनें: $S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155$।

चरण 4. दूसरे सूत्र द्वारा जाँच। पहले अंश: $2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77$।

आगे तीसरे चरण की तरह: $S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155$।

दोनों रास्तों ने 1155 दिया — इसका मतलब है कि अंकगणित सही है।

उत्तर: $S_{30} = 1155$।

उदाहरण 3. 7 से विभाज्य सभी दो-अंकीय संख्याओं का योग

कार्य। 7 से विभाज्य सभी दो-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करें।

चरण 1. ऐसी संख्याएँ स्वयं 7 के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। सात का सबसे छोटा दो-अंकीय गुणज 14 है, सबसे बड़ा — 98 (अगला, 105, पहले से ही तीन-अंकीय है)। हमें $a_1 = 14$, $d = 7$, $a_n = 98$ मिलता है।

चरण 2. पदों की संख्या गिनें: $n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13$।

चरण 3. योग गिनें: $S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$।

चरण 4. दूसरे सूत्र द्वारा जाँच। $S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728$।

उत्तर: 728।

उदाहरण 4. जाँचें कि क्या संख्या प्रगति में शामिल है

कार्य। क्या संख्या 145 प्रगति $7,\ 12,\ 17,\ \dots$ का पद है? और संख्या 142?

चरण 1. प्रगति के पैरामीटर: $a_1 = 7$, $d = 5$, जिसका अर्थ है $a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2$।

चरण 2. 145 की जाँच करें: समीकरण $5n + 2 = 145$ से $5n = 143$ और $n = 28.6$ मिलता है। नंबर भिन्नात्मक है, इसलिए 145 प्रगति का पद नहीं है।

चरण 3. 142 की जाँच करें: $5n + 2 = 142$, जहाँ से $5n = 140$ और $n = 28$। नंबर प्राकृतिक है — संख्या शामिल है।

चरण 4. प्रतिस्थापन द्वारा जाँच। $a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142$। सही है।

उत्तर: 145 प्रगति में शामिल नहीं है; 142 शामिल है और इसका 28वां पद है।

उदाहरण 5. बीजीय पदों के साथ विशेषता गुण

कार्य। $x$ के किस मान के लिए संख्याएँ $x - 3$, $2x + 1$, $4x - 1$ अंकगणितीय प्रगति के तीन लगातार पद हैं?

चरण 1. विशेषता गुण के अनुसार, दोगुना मध्य पद बाहरी पदों के योग के बराबर होता है:

\[2(2x + 1) = (x - 3) + (4x - 1).\]

चरण 2. कोष्ठक खोलें: $4x + 2 = 5x - 4$।

चरण 3. हल करें: $2 + 4 = 5x - 4x$, यानी $x = 6$।

चरण 4. जाँच। $x = 6$ प्रतिस्थापित करें: पहला पद $6 - 3 = 3$, दूसरा $2\cdot 6 + 1 = 13$, तीसरा $4\cdot 6 - 1 = 23$। अंतर: $13 - 3 = 10$ और $23 - 13 = 10$ — समान।

उत्तर: $x = 6$, 10 के अंतर के साथ प्रगति 3, 13, 23।

उदाहरण 6. प्रगति में कितने ऋणात्मक पद हैं

कार्य। प्रगति $-21,\ -18,\ -15,\ \dots$ में कितने ऋणात्मक पद हैं?

चरण 1. पैरामीटर: $a_1 = -21$, $d = 3$। $n$-वें पद का सूत्र: $a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24$।

चरण 2. शर्त "पद ऋणात्मक है" लिखें: $3n - 24 < 0$, जहाँ से $3n < 24$ और $n < 8$।

चरण 3. नंबर प्राकृतिक हैं, इसलिए $n = 1, 2, \dots, 7$ उपयुक्त हैं — कुल सात पद।

चरण 4. सीमा की जाँच। $a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3$ — ऋणात्मक। $a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0$ — शून्य ऋणात्मक संख्या नहीं है, इसलिए आठवें पद को अब नहीं गिनते। $a_9 = 3$ — धनात्मक।

उत्तर: सात ऋणात्मक पद।

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं में सामान्य गलतियाँ

$n$-वें पद के सूत्र में $a_n = a_1 + (n-1)d$ के बजाय $a_n = a_1 + nd$ लिखते हैं।

पहले पद से $n$-वें पद तक नंबर से एक कदम कम किया जाता है। प्रगति $5,\ 9,\ 13,\ \dots$ के लिए दसवां पद $a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41$ है, न कि 45। सूत्र की त्वरित जाँच: $n = 1$ रखें — यह ठीक $a_1$ प्राप्त होना चाहिए।
अंतर को उल्टा गिनते हैं: $d = a_1 - a_2$, और चिह्न विपरीत प्राप्त होता है।

अंतर अगला पद माइनस पिछला पद है: $d = a_2 - a_1$। प्रगति $40,\ 34,\ 28,\ \dots$ के लिए $d = 34 - 40 = -6$ सही है। यहाँ ऋण चिह्न गलती नहीं, बल्कि घटती प्रगति का संकेत है।
योग के सूत्र में 2 से विभाजित करना या $n$ से गुणा करना भूल जाते हैं: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ लिखते हैं।

जोड़े "पहले के साथ अंतिम" जोड़े जाते हैं, उनकी संख्या ठीक $\dfrac{n}{2}$ होती है, इसलिए 2 से विभाजित करना अनिवार्य है। प्रगति $2,\ 9,\ 16,\ \dots$ के लिए हमारे पास $a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65$ और $S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335$ है, न कि 670।
संख्या के शामिल होने की जाँच करते समय $n = 0$ या ऋणात्मक $n$ प्राप्त करते हैं और फिर भी "शामिल है" उत्तर देते हैं।

पद का नंबर एक प्राकृतिक संख्या है, गिनती एक से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, प्रगति $10,\ 14,\ 18,\ \dots$ के लिए समीकरण $10 + 4(n-1) = 6$ से $n = 0$ मिलता है, जिसका अर्थ है कि 6 प्रगति में शामिल नहीं है: यह संख्या पहले पद से पहले खड़ी होती।
भ्रमित होते हैं कि क्या पाया गया है: पद का मान वहाँ प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ उसके नंबर की आवश्यकता होती है, और इसके विपरीत।

$a_n$ — मान है, $n$ — क्रम संख्या है। यदि समस्या में पूछा जाता है "कौन सा पद 142 के बराबर है", तो उत्तर 28 होगा, न कि 142। उपयोगी आदत: हल करने से पहले पंक्ति "दिया गया है: $a_1 = \dots$, $d = \dots$, ज्ञात करें: $n$" लिखें।
मानते हैं कि प्रगति का बढ़ना और पूर्णांकों से बना होना अनिवार्य है।

अंतर ऋणात्मक ($20,\ 17,\ 14,\ \dots$), भिन्नात्मक (1; 1.5; 2; 2.5) और शून्य (8, 8, 8, …) भी हो सकता है। तीनों मामले वैध अंकगणितीय प्रगति हैं, और उनके लिए सभी सूत्र बिना किसी बदलाव के काम करते हैं।

प्रश्न और उत्तर

सरल शब्दों में अंकगणितीय प्रगति क्या है?

यह संख्याओं का एक अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछले में एक ही संख्या $d$ — प्रगति का अंतर — जोड़कर प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 15, 19, … — पहले पद 3 और अंतर 4 वाली प्रगति है।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें पद का सूत्र क्या है?

$a_n = a_1 + (n-1)d$, जहाँ $a_1$ — पहला पद, $d$ — अंतर, $n$ — नंबर है। यदि पहला नहीं, बल्कि कोई अन्य पद ज्ञात है, तो सामान्य रूप $a_n = a_k + (n-k)d$ काम करता है।

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कैसे ज्ञात करें?

किसी भी पद से पिछला पद घटाएं: $d = a_n - a_{n-1}$। यदि अलग-अलग नंबरों वाले दो पद दिए गए हैं, तो $d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}$ का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, $a_5 = 23$ और $a_9 = 43$ पर हमें $d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5$ मिलता है, और पहला पद $23 - 4\cdot 5 = 3$ है।

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद कैसे ज्ञात करें?

$n$-वें पद के सूत्र से: $a_1 = a_n - (n-1)d$। उदाहरण के लिए, यदि $a_{12} = 60$ और $d = 4$ है, तो $a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16$। जाँच: $16 + 11\cdot 4 = 60$।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग कैसे ज्ञात करें?

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ सूत्र द्वारा, यदि अंतिम पद ज्ञात है, या $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n$ सूत्र द्वारा, यदि केवल पहला पद और अंतर ज्ञात हैं। दोनों एक ही परिणाम देते हैं, इसलिए दूसरे का उपयोग पहले की जाँच के रूप में करना सुविधाजनक है।

अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या कैसे ज्ञात करें?

$n$-वें पद के सूत्र से: $n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$। उदाहरण के लिए, प्रगति $8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98$ में अंतर 5 है, इसलिए $n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$ पद हैं।

अंकगणितीय प्रगति ज्यामितीय से कैसे भिन्न है?

अंकगणितीय में प्रत्येक पद में अंतर $d$ जोड़ा जाता है, और ज्यामितीय में प्रत्येक पद को अनुपात $q$ से गुणा किया जाता है। $n$-वें पद के सूत्र: $a_n = a_1 + (n-1)d$ बनाम $b_n = b_1 q^{\,n-1}$। प्रकार निर्धारित करने के लिए, पड़ोसी पदों के अंतर और उनके अनुपात की गणना करें: समान अंतर — अंकगणितीय, समान अनुपात — ज्यामितीय।

क्या अंतर ऋणात्मक या शून्य हो सकता है?

हाँ। $d < 0$ पर प्रगति घटती है (उदाहरण के लिए, 20, 17, 14, 11), $d = 0$ पर सभी पद समान होते हैं (6, 6, 6, …) — यह एक स्थिर प्रगति है। अंतर भिन्नात्मक भी हो सकता है: 1; 1.5; 2; 2.5 — यह भी एक अंकगणितीय प्रगति है।

अंकगणितीय प्रगति किस कक्षा में पढ़ाई जाती है?

कक्षा 9 में बीजगणित के पाठों में, ज्यामितीय प्रगति और संख्यात्मक अनुक्रमों के साथ। प्रगति पर कार्य OGE में शामिल हैं: आमतौर पर नंबर द्वारा पद, मान द्वारा नंबर, पदों की संख्या या पहले $n$ पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक होता है।

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अंकगणितीय प्रगति: सूत्र, सार्व अंतर और पहले n पदों का योग