भाज्यता के नियम ऐसे नियम हैं जो हमें यह जानने की अनुमति देते हैं कि कोई संख्या पूरी तरह से विभाज्य है या नहीं, बिना विभाजन किए: अंतिम अंकों को देखना या संख्या के सभी अंकों को जोड़ना पर्याप्त है। इस पृष्ठ पर 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 और 25 के लिए भाज्यता के नियमों की एक तालिका, अंकों के योग के माध्यम से 3 और 9 के लिए नियमों का एक स्पष्ट विश्लेषण, समाधान के साथ उदाहरण, सामान्य गलतियाँ और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर है जहाँ आप तुरंत खुद को परख सकते हैं।
भाज्यता का नियम क्या है
भाज्यता का नियम एक नियम है जिसके द्वारा यह पता लगाया जा सकता है कि कोई संख्या बिना विभाजन किए किसी अन्य संख्या से पूरी तरह विभाज्य है या नहीं। अंतिम अंकों को देखना या संख्या के सभी अंकों को जोड़ना पर्याप्त है।
भाज्यता के नियम हर जगह काम आते हैं जहाँ आपको किसी संख्या की 'संरचना' को जल्दी से समझने की आवश्यकता होती है:
- भिन्नों को सरल बनाने में - तुरंत पता चल जाता है कि अंश और हर को किस संख्या से काटना है;
- किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने में;
- सामान्य भाजक और सामान्य गुणज खोजने में;
- उदाहरणों और समस्याओं में उत्तर की त्वरित जाँच करने में।
दो अलग-अलग सवालों को भ्रमित न करना महत्वपूर्ण है। 'क्या 3726, 9 से विभाज्य है?' - भाज्यता का नियम इसका उत्तर देता है: अंकों का योग 3 + 7 + 2 + 6 = 18, 9 से विभाज्य है, इसलिए हाँ। और 'कितना मिलेगा?' - यह स्वयं विभाजन है: 3726 : 9 = 414। नियम केवल 'हाँ' या 'नहीं' का उत्तर देता है, लेकिन तुरंत और मन में।
भाज्यता के नियमों की तालिका
भाज्यता के सभी स्कूली नियम एक तालिका में सामने रखना सुविधाजनक है। रंग बताता है कि कहाँ देखना है: अंतिम अंक पर, अंकों के योग पर, दो-तीन अंतिम अंकों के 'पूंछ' पर या सीधे दो नियमों पर।
| किससे | भाज्यता का नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 है | 3726 → 6 |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य है | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 है | 1435 → 5 |
| 6 | एक साथ 2 और 3 दोनों से विभाज्य है | 5124 → 4 और 12 |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य है | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | अंतिम अंक 0 है | 2340 → 0 |
| 11 | अंकों को अंत से + और - के साथ; योग 11 से विभाज्य है | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं | 1875 → 75 |
2, 5 और 10 से भाज्यता के नियम
सबसे आसान समूह: हम केवल अंतिम अंक को देखते हैं, बाकी मायने नहीं रखते।
- 2 से सभी सम संख्याएँ विभाज्य होती हैं - वे जो 0, 2, 4, 6 या 8 पर समाप्त होती हैं;
- 5 से - 0 या 5 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ;
- 10 से - 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ।
संख्या की लंबाई मायने नहीं रखती: 987 654 320 शून्य पर समाप्त होने के कारण 2, 5 और 10 तीनों से विभाज्य है। और 1435, 5 से विभाज्य है (अंतिम अंक 5), लेकिन न तो 2 से और न ही 10 से विभाज्य है - संख्या विषम है।
इससे एक उपयोगी निष्कर्ष निकलता है: 10 से ठीक वही संख्याएँ विभाज्य होती हैं जो एक साथ 2 और 5 दोनों से विभाज्य होती हैं।
3 और 9 से भाज्यता के नियम: अंकों का योग
यहाँ अंतिम अंक कुछ भी तय नहीं करता है - सभी अंकों का योग काम करता है:
- कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो;
- कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
यदि योग बड़ा हो जाता है, तो नियम को उस पर फिर से लागू किया जा सकता है: संख्या 899 991 के अंकों का योग 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45 है, और 45 का योग 4 + 5 = 9 है - इसका मतलब है कि मूल संख्या 9 और 3 दोनों से विभाज्य है।
नियम समान हैं, लेकिन एक दूसरे को प्रतिस्थापित नहीं करते हैं। कोई भी संख्या जो 9 से विभाज्य है, वह 3 से भी विभाज्य होगी - क्योंकि नौ स्वयं तीन से विभाज्य है। इसके विपरीत सत्य नहीं है: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो सकता है और 9 से विभाज्य नहीं हो सकता है, और तब संख्या केवल दो नियमों में से एक को पूरा करती है। दोनों मामले नीचे दिए गए हैं।
4, 8 और 25 से भाज्यता के नियम: संख्या की 'पूंछ' देखें
यहाँ अंतिम अंक पर्याप्त नहीं है - कुछ अंतिम अंकों की 'पूंछ' की आवश्यकता होती है:
- 4 से वह संख्या विभाज्य होती है जिसके अंतिम दो अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य हो;
- 8 से - यदि अंतिम तीन अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य हो;
- 25 से - यदि अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 बनाते हैं।
पूंछ क्यों पर्याप्त है: 100, 4 और 25 दोनों से विभाज्य है, और 1000, 8 से विभाज्य है। इसलिए, बाईं ओर जो कुछ भी है वह पहले से ही आवश्यक संख्या से विभाज्य है और उत्तर को प्रभावित नहीं करता है।
इससे एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है: चार और आठ के लिए समता पर्याप्त नहीं है। एक संख्या सम हो सकती है, लेकिन यदि उसके दो या तीन अंकों की पूंछ पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, तो पूरी संख्या भी विभाज्य नहीं होगी। पूंछ का विश्लेषण नीचे दिए गए स्निपेट में है।
6 से भाज्यता का नियम
छह के लिए कोई अलग नियम नहीं है: 6 = 2 · 3, और गुणनखंड सह-अभाज्य हैं। इसलिए, नियम संयुक्त है - कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह एक साथ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
आइए 5124 की जाँच करें: अंतिम अंक 4 - संख्या सम है, इसलिए यह 2 से विभाज्य है; अंकों का योग 5 + 1 + 2 + 4 = 12, 3 से विभाज्य है। दोनों शर्तें पूरी होती हैं → 5124 : 6 = 854।
केवल समता पर्याप्त नहीं है: 1000 सम है, लेकिन इसके अंकों का योग 1 है और 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 6 से विभाज्य नहीं है। विपरीत भी काम नहीं करता है: 4521 के अंकों का योग 12, 3 से विभाज्य है, लेकिन संख्या स्वयं विषम है - यह 6 से भी विभाज्य नहीं है।
ठीक इसी तरह अन्य संयुक्त नियम बनाए जाते हैं: 12 के लिए - 3 और 4 से विभाज्य, 15 के लिए - 3 और 5 से, 18 के लिए - 2 और 9 से, 45 के लिए - 5 और 9 से।
11 से भाज्यता का नियम
11 से भाज्यता का नियम वैकल्पिक रूप से चिह्नांकित अंकों के योग का उपयोग करता है। अंकों को अंतिम से शुरू करके, बारी-बारी से चिह्न बदलते हुए जोड़ा जाता है: प्लस, माइनस, प्लस, माइनस। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है (शून्य सहित), तो पूरी संख्या भी 11 से विभाज्य है।
वही नियम अक्सर अलग तरह से बताया जाता है: विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 से विभाज्य होना चाहिए। यह एक ही नियम है।
भाज्यता के नियमों पर उदाहरण
उदाहरण 1. 7254 किन संख्याओं से विभाज्य है
कार्य। निर्धारित करें कि 7254 किन संख्याओं 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 से विभाज्य है।
चरण 1. 2 से। अंतिम अंक 4 - सम है। विभाज्य है: 7254 : 2 = 3627।
चरण 2. 5 और 10 से। संख्या 4 पर समाप्त होती है, न कि 0 या 5 पर। न तो 5 से और न ही 10 से विभाज्य है।
चरण 3. 3 और 9 से। अंकों का योग: 7 + 2 + 5 + 4 = 18। यह 3 और 9 दोनों से विभाज्य है। इसलिए, 7254 : 3 = 2418 और 7254 : 9 = 806।
चरण 4. 6 से। संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है - इसलिए, यह 6 से विभाज्य है: 7254 : 6 = 1209।
चरण 5. 4 से। अंतिम दो अंक 54 बनाते हैं, और 54, 4 से विभाज्य नहीं है। विभाज्य नहीं है।
उत्तर। 7254, 2, 3, 6 और 9 से विभाज्य है।
उदाहरण 2. क्या 4715, 3 और 9 से विभाज्य है
कार्य। संख्या 4715 की 3 और 9 से भाज्यता की जाँच करें।
चरण 1। अंकों को जोड़ें: 4 + 7 + 1 + 5 = 17।
चरण 2. 3 से। 17, 3 से विभाज्य नहीं है (निकटतम गुणज 15 और 18 हैं)। इसलिए, 4715 भी 3 से विभाज्य नहीं है।
चरण 3. 9 से। 17, 9 से भी विभाज्य नहीं है। इसलिए, 4715 भी 9 से विभाज्य नहीं है।
संख्या क्या कर सकती है। अंतिम अंक 5 → संख्या 5 से विभाज्य है: 4715 : 5 = 943। 2 और 10 से विभाज्य नहीं है - यह विषम है।
उत्तर। संख्या 4715 न तो 3 से और न ही 9 से विभाज्य है।
उदाहरण 3. 4 और 8 से भाज्यता: संख्या 6248
कार्य। जाँच करें कि क्या 6248, 4 और 8 से विभाज्य है।
चरण 1. 4 से। अंतिम दो अंक लें: 48। संख्या 48, 4 से विभाज्य है (48 : 4 = 12), इसलिए 6248 भी विभाज्य है: 6248 : 4 = 1562।
चरण 2. 8 से। अंतिम तीन अंक लें: 248। विभाजित करें: 248 : 8 = 31 - विभाज्य है। इसलिए, 6248 : 8 = 781।
विपरीत तर्क से सावधान रहें। 4 से भाज्यता से 8 से भाज्यता का अनुमान नहीं लगाया जा सकता है: संख्या 6244 की पूंछ 44, 4 से विभाज्य है (6244 : 4 = 1561), लेकिन अंतिम तीन अंक 244, 8 से विभाज्य नहीं हैं - संख्या 8 से विभाज्य नहीं है।
उत्तर। 6248, 4 और 8 दोनों से विभाज्य है।
उदाहरण 4. 11 से भाज्यता का नियम: संख्या 2926
कार्य। जाँच करें कि क्या 2926, 11 से विभाज्य है।
चरण 1। अंकों को लिखें और अंत से चिह्नों को व्यवस्थित करें: अंतिम अंक प्लस चिह्न के साथ, फिर बारी-बारी से माइनस और प्लस।
चरण 2। वैकल्पिक रूप से चिह्नांकित योग की गणना करें: 6 − 2 + 9 − 2 = 11।
चरण 3। परिणाम 11, 11 से विभाज्य है → पूरी संख्या भी विभाज्य है।
विभाजन द्वारा जाँच। 2926 : 11 = 266।
उत्तर। 2926, 11 से विभाज्य है।
उदाहरण 5. भाज्यता के नियमों का उपयोग करके भिन्न को सरल बनाएं
कार्य। भिन्न 270/378 को सरल बनाएं।
चरण 1। अंकों के योग की गणना करें: 2 + 7 + 0 = 9 और 3 + 7 + 8 = 18। दोनों 9 से विभाज्य हैं → अंश और हर दोनों 9 से विभाज्य हैं।
चरण 2। 9 से सरल करें: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42। हमें 30/42 मिलता है।
चरण 3। दोनों संख्याएँ सम हैं → 2 से सरल करें: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21। हमें 15/21 मिलता है।
चरण 4। अंकों का योग 6 और 3, 3 से विभाज्य है → 3 से सरल करें।
उत्तर। 270/378 = 5/7।
भाज्यता के नियमों में सामान्य गलतियाँ
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6 से भाज्यता की जाँच केवल समता से की जाती है: यदि संख्या सम है - तो यह 6 से विभाज्य है।
दोनों शर्तें एक साथ आवश्यक हैं: 2 और 3 दोनों से। संख्या 7124 सम है, लेकिन इसके अंकों का योग 14, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह 6 से विभाज्य नहीं है। और इसके विपरीत: 3471 तीन के नियम को पूरा करता है (योग 15, 3471 : 3 = 1157), लेकिन विषम है - यह 6 से भी विभाज्य नहीं है।
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4 से भाज्यता के लिए अंतिम अंक को देखा जाता है: '8, 4 से विभाज्य है, इसलिए 9138 भी काम करेगा'।
चार के लिए, अंतिम दो अंक लिए जाते हैं। 9138 में यह 38 है, और 38, 4 से विभाज्य नहीं है। सही उदाहरण: 9136 में पूंछ 36 है, 36 : 4 = 9, इसलिए 9136 : 4 = 2284। आठ के लिए, पूंछ और भी लंबी होती है - तीन अंक।
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9 से भाज्यता का नियम अंतिम अंक से जाँच किया जाता है: 9 या 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ खोजी जाती हैं।
नौ के लिए अंतिम अंक का कोई मतलब नहीं है। सभी अंकों का योग करें: 4563 में यह 18 है, योग 9 से विभाज्य है - और संख्या विभाज्य है (4563 : 9 = 507), भले ही यह 3 पर समाप्त होती है।
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माना जाता है कि यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य है।
यह केवल एक दिशा में काम करता है: 9 से विभाज्य → 3 से विभाज्य। विपरीत सत्य नहीं है। 8241 के अंकों का योग 15: 3 से विभाज्य है (8241 : 3 = 2747), लेकिन 9 से नहीं।
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11 के नियम के लिए, सभी अंकों को बस जोड़ा जाता है, जैसे 3 और 9 के लिए।
ग्यारह के लिए योग वैकल्पिक रूप से चिह्नांकित होता है: अंकों को अंत से जोड़ा जाता है, एक के बाद एक चिह्न बदलते हुए। 6479 के लिए यह 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → विभाज्य है (6479 : 11 = 589)। सामान्य अंकों का योग यहाँ 26 है और कुछ भी नहीं कहता है।
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भाज्यता के नियम को स्वयं विभाजन के साथ भ्रमित किया जाता है: 'क्या 5391, 9 से विभाज्य है?' प्रश्न का उत्तर 'हाँ, 18' दिया जाता है।
18 अंकों का योग है, नियम का एक मध्यवर्ती परिणाम। भागफल अलग से गिना जाता है: 5391 : 9 = 599। नियम केवल 'विभाज्य / विभाज्य नहीं' का उत्तर देता है।
प्रश्न और उत्तर
सरल शब्दों में भाज्यता का नियम क्या है?
यह एक नियम है जो हमें यह जानने की अनुमति देता है कि कोई संख्या स्वयं विभाजन किए बिना पूरी तरह से विभाज्य होगी या नहीं। आमतौर पर संख्या के अंतिम अंकों को देखना या उसके सभी अंकों को जोड़ना पर्याप्त होता है।
यह कैसे पता करें कि कोई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं?
संख्या के सभी अंकों को जोड़ें। यदि प्राप्त योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2571 में अंकों का योग 2 + 5 + 7 + 1 = 15 है, और 15, 3 से विभाज्य है → 2571 : 3 = 857।
3 से भाज्यता का नियम 9 से भाज्यता के नियम से कैसे भिन्न है?
नियम समान है - हम अंकों का योग करते हैं, लेकिन हम इसे विभिन्न संख्याओं के लिए जाँचते हैं: तीन के लिए योग 3 से विभाज्य होना चाहिए, नौ के लिए - 9 से। इसलिए, कोई भी संख्या जो 9 से विभाज्य है, वह 3 से भी विभाज्य है, और इसके विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता है: 9420 के अंकों का योग 15, 3 से विभाज्य है (9420 : 3 = 3140), लेकिन 9 से नहीं।
यदि अंकों का योग बड़ा हो जाए तो क्या करें?
नियम को फिर से लागू करें - पहले से ही योग पर। संख्या 777 771 के अंकों का योग 36 है, 36 का योग 3 + 6 = 9 है। नौ, 9 से विभाज्य है, इसलिए मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है (और साथ ही 3 से भी): 777 771 : 9 = 86 419।
क्या 7 से भाज्यता का कोई नियम है?
तीन के योग जैसे सरल नियम के लिए सात का कोई नियम नहीं है, और इसे भाज्यता नियमों की स्कूली तालिका में शामिल नहीं किया गया है। एक तरीका है: अंतिम अंक को हटा दें, उसे दोगुना करें और शेष संख्या से घटाएं। उदाहरण के लिए, 343 के लिए: 3 को हटा दें, दोगुना करें - 6, गणना करें 34 - 6 = 28। संख्या 28, 7 से विभाज्य है, इसलिए 343 भी विभाज्य है: 343 : 7 = 49।
12, 15 और 45 से भाज्यता के नियम क्या हैं?
वे संयुक्त हैं - संख्या को तुरंत दो नियमों को पूरा करना चाहिए: 12 के लिए - 3 और 4 से विभाज्य, 15 के लिए - 3 और 5 से, 45 के लिए - 5 और 9 से। यह महत्वपूर्ण है कि गुणक सह-अभाज्य हों: 12 = 2 · 6 का अपघटन उपयुक्त नहीं है, क्योंकि 18, 2 और 6 दोनों से विभाज्य है, लेकिन 12 से विभाज्य नहीं है।
भाज्यता के नियम किस कक्षा में पढ़ाए जाते हैं?
कक्षा 6 में गणित की कक्षाओं में: पहले 10, 5 और 2 से भाज्यता के नियम, फिर 3 और 9 से। 4, 8, 11 और 25 से भाज्यता के नियम आमतौर पर अतिरिक्त रूप से समझाए जाते हैं - वे भिन्नों को सरल बनाने और प्रतियोगिताओं में उपयोगी होंगे।
