किसी संख्या \(a\) का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग \(a\) के बराबर होता है, और अंकगणितीय वर्गमूल केवल इसके गैर-ऋणात्मक मान को कहा जाता है: \(\sqrt{25} = 5\)। केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से ही मूल निकाला जा सकता है, लेकिन मूल के गुण जटिल व्यंजकों को छोटे व्यंजकों में बदल देते हैं। इस पृष्ठ पर - परिभाषा और डोमेन, सूत्रों के साथ वर्गमूल के सभी गुण, 1 से 20 तक वर्गमूल की तालिका, मूल निकालने और गुणक निकालने की तकनीकें, हल किए गए उदाहरण, सामान्य गलतियाँ और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर।
किसी संख्या का वर्गमूल क्या होता है
किसी संख्या \(a\) का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग \(a\) के बराबर होता है। मूल निकालना और वर्ग करना व्युत्क्रम क्रियाएँ हैं: \(7^2 = 49\) से यह तुरंत अनुसरण करता है कि 49 का वर्गमूल 7 है।
लेकिन एक धनात्मक संख्या के ठीक दो वर्गमूल होते हैं, और वे केवल चिह्न में भिन्न होते हैं: \(5^2 = 25\) और \((-5)^2 = 25\), यानी 25 के वर्गमूल 5 और -5 दोनों हैं। \(\sqrt{25}\) के प्रतीक को एक एकल संख्या दर्शाने के लिए, यह सहमति हुई है: \(\sqrt{\phantom{a}}\) प्रतीक केवल गैर-ऋणात्मक मूल को दर्शाता है। इसे अंकगणितीय कहा जाता है।
प्रतीक के अपने नाम हैं: \(\sqrt{\phantom{a}}\) चिह्न रेडिकल है, और इसके नीचे की संख्या या व्यंजक रेडिकैंड है।
अंकगणितीय वर्गमूल: परिभाषा और डोमेन
किसी गैर-ऋणात्मक संख्या \(a\) का अंकगणितीय वर्गमूल वह गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग \(a\) के बराबर होता है। इसे \(\sqrt{a}\) से दर्शाया जाता है और इसे 'a का मूल' पढ़ा जाता है।
परिभाषा में दो शर्तें छिपी हैं, और दोनों समान रूप से महत्वपूर्ण हैं:
- रेडिकैंड गैर-ऋणात्मक है: \(a \ge 0\);
- मूल का मान गैर-ऋणात्मक है: \(\sqrt{a} \ge 0\)।
इससे हमें तुरंत मिलता है: \(\sqrt{25} = 5\), न कि \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); और \(\sqrt{-9}\) का प्रतीक वास्तविक संख्याओं में कोई मतलब नहीं रखता है - ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक हो।
पहली शर्त मूल वाले व्यंजक के डोमेन को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{x-7}\) का मतलब \(x - 7 \ge 0\), यानी \(x \ge 7\) पर है: \(x\) का कोई भी छोटा मान मूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या डाल देगा।
परिभाषा से यह भी पता चलता है कि \((\sqrt{a})^2 = a\) जब \(a \ge 0\): मूल को वर्ग करने पर रेडिकैंड वापस मिल जाता है। यह तब भी काम करता है जब हम स्वयं मूल की सटीक गणना नहीं कर सकते: \((\sqrt{31})^2 = 31\)।
वर्गमूल तालिका: 1 से 20 तक संख्याओं के वर्ग
मूल पूरी तरह से तभी निकलता है जब रेडिकैंड एक पूर्ण वर्ग हो। इसलिए, संख्याओं के वर्गों की तालिका वर्गमूल की तालिका के रूप में भी काम करती है: इसे दोनों दिशाओं में पढ़ा जाता है - \(14^2 = 196\), जिसका अर्थ है \(\sqrt{196} = 14\)।
तालिका न केवल पूर्णांकों के साथ मदद करती है:
- दशमलव भिन्न: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), क्योंकि \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- साधारण भिन्न: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - मूल अंश और हर से अलग-अलग निकाला जाता है;
- गोल संख्याएँ: \(\sqrt{2500} = 50\), क्योंकि \(2500 = 25 \cdot 100\), और प्रत्येक गुणक का मूल ज्ञात है।
वर्गमूल के गुण
वर्गमूल के गुण हमें प्रत्येक मूल को अलग-अलग निकाले बिना व्यंजकों की गणना करने और उत्तर को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।
गुणनफल का मूल मूलों के गुणनफल के बराबर होता है: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) जब \(a \ge 0\) और \(b \ge 0\) हो। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - वही उत्तर जो \(\sqrt{144}\) का है।
भागफल का मूल मूलों के भागफल के बराबर होता है: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) जब \(a \ge 0\) और \(b > 0\) हो। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\)। शर्त \(b > 0\) सख्त है: शून्य से भाग नहीं दिया जा सकता।
किसी संख्या के वर्ग का मूल उसके निरपेक्ष मान के बराबर होता है: \(\sqrt{a^2} = |a|\), और यह किसी भी संख्या \(a\) के लिए सत्य है। यहाँ विषय की सबसे महत्वपूर्ण बारीकी है। यदि \(a \ge 0\), तो कुछ भी नहीं बदलता है: \(\sqrt{7^2} = 7\)। लेकिन ऋणात्मक \(a\) के लिए, चिह्न 'सीधा' हो जाता है: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), न कि \(-6\) - क्योंकि अंकगणितीय मूल ऋणात्मक नहीं हो सकता।
मूल का वर्ग रेडिकैंड को वापस देता है: \((\sqrt{a})^2 = a\) जब \(a \ge 0\) हो।
लेकिन योग और अंतर के लिए समान गुण मौजूद नहीं हैं: योग का मूल मूलों के योग के बराबर नहीं होता है। यह विषय की सबसे आम गलती है, जिसका विश्लेषण नीचे दिया गया है।
| गुण और शर्त | उदाहरण |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bजब a ≥ 0 और b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bजब a ≥ 0 और b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|किसी भी a के लिए | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aजब a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bजब b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें
कैलकुलेटर हमेशा उपलब्ध नहीं होता है, और स्कूल के कार्य लगभग हमेशा इस तरह से चुने जाते हैं कि मूल निकाला जा सके। क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है।
- वर्गों की तालिका से जांचें। यदि संख्या तालिका में है, तो उत्तर तैयार है: \(\sqrt{289} = 17\)।
- एक गोल गुणक अलग करें। शून्य वाली संख्याओं के लिए 100, 10,000 आदि को अलग करना सुविधाजनक है: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)।
- अभाज्य गुणकों में विघटित करें। यह एक सार्वभौमिक विधि है: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), घातों के घातांकों को आधा करें और प्राप्त करें \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\)।
- दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें। \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)। साथ ही, यह एक अंक खोने से बचाता है।
- यदि कोई पूर्ण वर्ग नहीं है - तो मूल अपरिमेय है। फिर इसे प्रतीक के रूप में उत्तर में छोड़ दिया जाता है (इस प्रकार लिखा जाता है: \(\sqrt{30}\)), या आसन्न वर्गों के बीच अनुमान लगाया जाता है।
जांच एक सेकंड लेती है: प्राप्त संख्या को वर्ग करें और देखें कि क्या रेडिकैंड वापस आ गया है। \(24^2 = 576\) - सही है।
मूल चिह्न से गुणक निकालना
मूल को शायद ही कभी 'कच्चा' छोड़ा जाता है - इससे सब कुछ निकाला जाता है। गुण \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) जब \(b \ge 0\) काम करता है: हम रेडिकैंड का सबसे बड़ा वर्ग गुणक ढूंढते हैं।
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)।
विपरीत क्रिया मूल के नीचे गुणक डालना है: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) जब \(a \ge 0\) हो। उदाहरण के लिए, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)।
ऋणात्मक गुणक के साथ सावधानी बरतनी चाहिए: माइनस मूल के नीचे नहीं जाता है और बाहर रहता है। सही प्रतीक है \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), न कि \(\sqrt{12}\)।
यह क्यों आवश्यक है: गुणक निकालने के बाद, समान रेडिकैंड वाले मूल समान पद बन जाते हैं, और उन्हें जोड़ा जा सकता है। और मूल के नीचे गुणक डालना दो मूल वाले व्यंजकों की तुलना करने का सबसे तेज़ तरीका है।
उस वर्गमूल का मान क्या है जो नहीं निकलता है
यदि रेडिकैंड एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल एक अपरिमेय संख्या है: इसका दशमलव निरूपण अनंत और अनावर्ती होता है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), और सटीक मान केवल \(\sqrt{2}\) प्रतीक द्वारा लिखा जाता है। गोल उत्तर केवल तभी लिखा जाता है जब कार्य में ऐसा करने के लिए कहा गया हो।
इस तरह के मूल का अनुमान कैलकुलेटर के बिना लगाया जा सकता है: दो आसन्न पूर्ण वर्ग खोजें जिनके बीच रेडिकैंड स्थित है। तुलना का नियम काम करता है: \(a \ge 0\) और \(b \ge 0\) के लिए, \(a < b\) से \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) होता है - बड़े रेडिकैंड के अनुरूप एक बड़ा मूल होता है।
वर्गमूल व्यंजकों के उदाहरण
उदाहरण 1. मूल वाले व्यंजक का मान
गणना करें \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\)।
चरण 1। \(\sqrt{121} = 11\), क्योंकि \(11^2 = 121\)।
चरण 2। \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), क्योंकि \(0{,}6^2 = 0{,}36\)।
चरण 3। भिन्न का मूल अंश और हर से अलग-अलग निकाला जाता है: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)।
चरण 4। जोड़ें: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)।
उत्तर: 11।
उदाहरण 2. गुणनफल का मूल
गणना करें \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\)।
चरण 1। अलग-अलग ये मूल नहीं निकलते हैं, इसलिए हम उन्हें एक में मिलाते हैं: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\)।
चरण 2। मूल के नीचे गुणनफल की गणना करें: \(8 \cdot 18 = 144\)।
चरण 3। \(\sqrt{144} = 12\)।
दूसरा तरीका - गुणकों को पहले से निकालना: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), तब \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\)। उत्तर मेल खाते हैं।
उत्तर: 12।
उदाहरण 3. गुणकों में विघटन द्वारा मूल निकालना
गणना करें \(\sqrt{576}\) और \(\sqrt{6400}\)।
चरण 1। संख्या 576 वर्गों की तालिका में नहीं है, इसलिए हम इसे अभाज्य गुणकों में विघटित करते हैं: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)।
चरण 2। घातों के घातांकों को आधा करें: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\)।
चरण 3। जांच। \(24^2 = 576\) - सही है।
चरण 4। संख्या 6400 के लिए, गोल गुणक को अलग करना अधिक सुविधाजनक है: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)। जांच: \(80^2 = 6400\)।
उत्तर: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\)।
उदाहरण 4. गुणक निकालना और समान पदों को लाना
सरल करें \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\)।
चरण 1। प्रत्येक मूल से गुणक निकालें: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), इसलिए \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\)।
चरण 2। \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)।
चरण 3। \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)।
चरण 4। केवल समान रेडिकैंड वाले मूलों को जोड़ा जा सकता है: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), और \(\sqrt{3}\) वाले पद को अलग रखा जाता है।
उत्तर: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\)।
उदाहरण 5. चर वाले संख्या के वर्ग का मूल
सरल करें \(\sqrt{(x-4)^2}\) जब \(x < 4\)।
चरण 1। वर्ग के मूल के गुण के अनुसार \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - हम तुरंत निरपेक्ष मान लिखते हैं, न कि \(x - 4\)।
चरण 2। शर्त के अनुसार निरपेक्ष मान खोलें। यदि \(x < 4\), तो अंतर \(x - 4\) ऋणात्मक है, और ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान विपरीत संख्या है: \(|x-4| = 4 - x\)।
चरण 3। जांच। \(x = 1\) लें: बाईं ओर \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), दाईं ओर \(4 - 1 = 3\) - मेल खाता है।
उत्तर: \(4 - x\)। तुलना के लिए, \(x \ge 4\) के लिए उत्तर \(x - 4\) होगा।
उदाहरण 6. मूल वाले व्यंजकों की तुलना
तुलना करें \(3\sqrt{5}\) और \(5\sqrt{2}\)।
चरण 1। दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए हम गुणक को मूल के नीचे डालते हैं: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)।
चरण 2। \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)।
चरण 3। हम रेडिकैंड की तुलना करते हैं: \(45 < 50\), और बड़े रेडिकैंड के अनुरूप एक बड़ा मूल होता है।
उत्तर: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)।
वर्गमूल के साथ काम करते समय सामान्य गलतियाँ
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निरपेक्ष मान को भूलकर $\sqrt{a^2} = a$ लिखते हैं।
सही समानता है - \(\sqrt{a^2} = |a|\)। एक ऋणात्मक संख्या के लिए यह महत्वपूर्ण है: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), न कि \(-13\)। अंकगणितीय मूल ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए मूल चिह्न 'सीधा' हो जाता है।
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यह मानते हैं कि योग का मूल मूलों के योग के बराबर होता है: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$।
ऐसा कोई गुण नहीं है। पहले मूल के नीचे क्रिया करें: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), न कि 7। गुण केवल गुणनफल और भागफल के लिए हैं: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) और \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\)।
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उत्तर देते हैं कि $\sqrt{49} = \pm 7$।
\(\sqrt{49} = 7\) - अंकगणितीय मूल हमेशा एक होता है और यह गैर-ऋणात्मक होता है। दो मान एक अलग कार्य में दिखाई देते हैं: समीकरण \(x^2 = 49\) के मूल \(x = 7\) और \(x = -7\) हैं। मूल के प्रतीक को समीकरण के हल के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।
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'-' को '-' से गुणा करने पर '+' होता है' तर्क का उपयोग करके $\sqrt{-16} = -4$ लिखते हैं।
मूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती: \((-4)^2 = 16\), न कि \(-16\), इसलिए वास्तविक संख्याओं में \(\sqrt{-16}\) का कोई मतलब नहीं है। लेकिन व्यंजक \(-\sqrt{16} = -4\) पूरी तरह से सही है - माइनस मूल के सामने है, न कि उसके नीचे।
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मूल के नीचे एक ऋणात्मक गुणक डालते हैं: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$।
नियम \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) केवल \(a \ge 0\) के लिए काम करता है। माइनस बाहर रहता है: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)। चिह्न से जांचें: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), और \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - विपरीत संख्याएँ हैं।
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दशमलव भिन्न के लिए एक अंक खो देते हैं: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$।
वर्ग करके वापस जांचें: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), मेल नहीं खाता। सही है \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), क्योंकि \(0{,}2^2 = 0{,}04\)। एक विश्वसनीय तरीका साधारण भिन्न में बदलना है: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)।
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मान लेते हैं कि मूल हमेशा संख्या से छोटा होता है।
यह केवल एक से बड़ी संख्याओं के लिए सत्य है। 0 से 1 के अंतराल पर सब कुछ विपरीत है: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), और \(0{,}5\) \(0{,}25\) से बड़ा है। और 0 और 1 के लिए मूल संख्या के बराबर होता है।
प्रश्न और उत्तर
सरल शब्दों में अंकगणितीय वर्गमूल क्या है?
यह एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे वर्ग करने पर रेडिकैंड प्राप्त होता है। इसे \(\sqrt{a}\) से दर्शाया जाता है, जहाँ रेडिकैंड गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(a \ge 0\)। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{64} = 8\), क्योंकि \(8 \ge 0\) और \(8^2 = 64\)।
वर्गमूल अंकगणितीय वर्गमूल से कैसे भिन्न होता है?
एक धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं - चिह्न में विपरीत। अंकगणितीय केवल गैर-ऋणात्मक को कहा जाता है, और \(\sqrt{\phantom{a}}\) प्रतीक इसे दर्शाता है। इसलिए \(\sqrt{25} = 5\), हालांकि समीकरण \(x^2 = 25\) के दो मूल हैं: 5 और \(-5\)।
कैलकुलेटर के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?
पहले संख्या को वर्गों की तालिका से जांचें। यदि यह वहां नहीं है - तो इसे गुणकों में विघटित करें और पूर्ण वर्गों को अलग करें: \(784 = 16 \cdot 49\), इसलिए \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\)। उत्तर को हमेशा विपरीत क्रिया से जांचें: \(28^2 = 784\)।
क्या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालना संभव है?
वास्तविक संख्याओं में - नहीं: किसी भी संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{-9}\) व्यंजक का कोई मतलब नहीं है। इसी शर्त से डोमेन ज्ञात किया जाता है: उदाहरण के लिए, \(\sqrt{x-7}\) केवल \(x \ge 7\) पर मौजूद है।
किसी संख्या के वर्ग का मूल क्या होता है?
उस संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर: \(\sqrt{a^2} = |a|\)। गैर-ऋणात्मक \(a\) के लिए यह संख्या स्वयं होगी, ऋणात्मक के लिए - इसके विपरीत: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\)।
मूल चिह्न से गुणक कैसे निकालें?
रेडिकैंड का सबसे बड़ा वर्ग गुणक ज्ञात करें और गुण \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) लागू करें। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)। विपरीत क्रिया - मूल के नीचे गुणक डालना: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)।
2 का वर्गमूल क्या है?
\(\sqrt{2}\) संख्या अपरिमेय है: इसका दशमलव निरूपण अनंत और अनावर्ती है, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\)। भिन्न के रूप में कोई सटीक मान मौजूद नहीं है, इसलिए उत्तरों में इसे प्रतीक \(\sqrt{2}\) के रूप में छोड़ दिया जाता है, और केवल तभी गोल किया जाता है जब शर्त इसकी मांग करती है।
मूल वाले दो संख्याओं की तुलना कैसे करें, उन्हें गणना किए बिना?
गुणकों को मूल के नीचे डालें और रेडिकैंड की तुलना करें: बड़े रेडिकैंड के अनुरूप एक बड़ा मूल होता है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{17}\) और 4: चूंकि \(4 = \sqrt{16}\) और \(17 > 16\), इसलिए \(\sqrt{17} > 4\)।
वर्गमूल किस कक्षा में पढ़ाए जाते हैं?
8वीं कक्षा में बीजगणित के पाठों में: पहले अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा और इसके गुण, फिर मूल वाले व्यंजकों का रूपांतरण और \(x^2 = a\) रूप के समीकरणों का हल। आगे, मूल विविक्तकर के सूत्र में और OGE और ЕГЭ के कार्यों में मिलते हैं।
