गुणा का पहाड़ा 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणनफल है। इस पृष्ठ पर यह दो रूपों में उपलब्ध है: 10 × 10 वर्ग (पाइथागोरस का पहाड़ा) और 2, 3, 4… 9 तक के कॉलम में — दोनों को प्रिंट करना आसान है। साथ ही, ऐसी तरकीबें हैं जिनसे पहाड़ा का आधा से भी कम सीखना बाकी रह जाता है, 9 के लिए उंगलियों का नियम, भाग से संबंध और एक सप्ताह में गुणा का पहाड़ा सीखने की योजना। आप 'ट्रेनर' टैब पर खुद को परख सकते हैं।
खुद को परखें: 12 उदाहरणों के 10 विकल्प, पड़ोसी उदाहरण के माध्यम से संकेत।
ट्रेनर खोलेंगुणा क्या है
गुणा समान संख्याओं को बार-बार जोड़ने का एक संक्षिप्त तरीका है। \(4 + 4 + 4\) लिखने के बजाय, हम \(4 \times 3\) लिखते हैं: 'चार को तीन बार लें'।
जिन संख्याओं को गुणा किया जाता है उन्हें गुणक कहा जाता है, और परिणाम को गुणनफल कहा जाता है। \(4 \times 3 = 12\) में, 4 और 3 गुणक हैं, और 12 गुणनफल है।
गुणा को बिंदुओं या वर्गों के एक आयत के रूप में दर्शाना सबसे सुविधाजनक है: कितनी पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक में कितने बिंदु हैं। ऐसा आयत तुरंत जोड़, गुणा और यह भी दिखाता है कि गुणकों के क्रम को बदलने से उत्तर क्यों नहीं बदलता है - बस चित्र को घुमाएँ।
गुणा का पहाड़ा: 1 से 10 तक का 5 का पहाड़ा
पूरा गुणा का पहाड़ा 10 × 10 वर्ग में फिट होता है - इसे पाइथागोरस का पहाड़ा कहा जाता है। इसका उपयोग कैसे करें: पहले गुणक को बाएँ कॉलम में, दूसरे को ऊपरी पंक्ति में खोजें, उत्तर उनके प्रतिच्छेदन पर स्थित है। उदाहरण के लिए, पंक्ति 6 और कॉलम 7 42 सेल में मिलते हैं।
पहाड़ा को ध्यान से देखें, और आपको इसमें पैटर्न मिलेंगे। विकर्ण पर वर्ग हैं - संख्याएँ स्वयं से गुणा की गई हैं। पहाड़ा सममित है: विकर्ण के ऊपर की सेल उसके नीचे की सेल के बराबर है। और प्रत्येक पंक्ति समान चरणों के माध्यम से गिनती है: पंक्ति 3, 6, 9, 12… है।
पहाड़ा को प्रिंट करना और मेज के ऊपर लटकाना सुविधाजनक है: वर्ग और दोहराए जाने वाले सेल रंग से हाइलाइट किए गए हैं।
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 के पहाड़े कॉलम में
स्कूल में, पहाड़ा आमतौर पर कॉलम में सीखा जाता है: पहले 2 का पूरा गुणा, फिर 3 का, और इसी तरह। ये वही संख्याएँ हैं जो पाइथागोरस के पहाड़े में हैं, बस प्रत्येक पंक्ति को उदाहरणों के रूप में लिखा गया है। 1 और 10 के कॉलम यहाँ नहीं दिखाए गए हैं: 1 से गुणा करने पर संख्या नहीं बदलती है, और 10 से गुणा करने पर उसके अंत में शून्य लग जाता है।
कॉलम भागों में पहाड़ा सीखने के लिए अच्छे हैं। लेकिन यदि आप केवल क्रम से उत्तर देते हैं, तो शुरुआत से 'गिनती' करने की आदत पड़ जाती है। इसलिए, जब कॉलम सीख लिया जाए, तो उसे बेतरतीब ढंग से जांचना चाहिए।
गुणा का पहाड़ा जल्दी कैसे सीखें: आधा पहले से ही ज्ञात है
पहाड़ा 100 उदाहरणों की तरह दिखता है, लेकिन वास्तव में बहुत कम सीखने की आवश्यकता है।
- क्रमविनिमेय गुण। \(3 \times 8 = 8 \times 3\)। यदि आपने एक सीख लिया है, तो आप दूसरा पहले से ही जानते हैं। 100 सेलों में से 55 अलग रह जाते हैं - लगभग आधा पहाड़ा मुफ्त में।
- 0 और 1 से गुणा। 0 से गुणा की गई कोई भी संख्या 0 देती है। 1 से गुणा की गई संख्या वही रहती है।
- 10 से गुणा। संख्या के अंत में शून्य लगाएँ: \(10 \times 4 = 40\)।
- 2 से गुणा दोगुना करना है, संख्या को स्वयं से जोड़ना है।
- 5 से गुणा 10 से गुणा का आधा है। सभी उत्तर 0 या 5 पर समाप्त होते हैं।
इन नियमों के बाद, 3 से 9 तक के कॉलम में बहुत कम उदाहरण बचते हैं। उनमें से प्रत्येक को उस चीज़ से प्राप्त किया जा सकता है जिसे आप पहले से जानते हैं - नीचे दी गई तरकीबें।
9 का पहाड़ा: उंगलियों पर और अंकों के योग से
9 का कॉलम सबसे 'जादुई' है। इसमें दो विश्वसनीय नियम हैं।
अंकों के योग का नियम। 9 × 2 से 9 × 10 तक के उत्तरों में, अंकों का योग हमेशा 9 होता है: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90। और दहाई का अंक दूसरे गुणक से एक कम होता है। इसलिए, \(9 \times 4\): दहाई 3 है, और इकाई इतनी है कि मिलकर 9 हो जाए, यानी 6। उत्तर - 36।
उंगलियों का नियम। अपने हाथों को अपने सामने रखें, उंगलियों को बाएँ से दाएँ 1 से 10 तक गिनें। 9 को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, उस नंबर वाली उंगली को मोड़ें। मुड़ी हुई उंगली के बाईं ओर की उंगलियाँ दहाई हैं, दाईं ओर की इकाई हैं। नियम 1 से 10 तक के गुणकों के लिए काम करता है।
एक तीसरा तरीका भी है, बिना उंगलियों के: 10 से गुणा करें और उसी संख्या को घटाएँ।
6, 7 और 8 के पहाड़े: वर्ग और पड़ोसी
ये कॉलम सबसे कठिन माने जाते हैं, लेकिन सभी तरकीबों के बाद, केवल कुछ नए उदाहरण बचते हैं: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 और 8 × 8।
वर्ग अन्य की तुलना में याद रखने में आसान होते हैं, क्योंकि वे कम होते हैं और पहाड़ा के विकर्ण पर स्थित होते हैं: 36, 49, 64। वर्ग सीखने के बाद, आप एक कदम में पड़ोसी उत्तर प्राप्त कर सकते हैं: \(7 \times 8\) का मतलब है \(7 \times 7\) और एक और सात: \(49 + 7 = 56\)। इसी तरह \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\)।
दूसरा तरीका - पाँच के माध्यम से: \(6 \times 8\) का मतलब है \(5 \times 8\) और एक और आठ: \(40 + 8 = 48\)।
7 × 8 के लिए एक संख्यात्मक संकेत भी है: \(56 = 7 \times 8\) - अंक 5, 6, 7, 8 लगातार आते हैं।
गुणा और भाग का पहाड़ा
भाग गुणा की विपरीत क्रिया है। इसलिए, एक अलग 'भाग का पहाड़ा' सीखने की आवश्यकता नहीं है: यह पहले से ही गुणा के पहाड़े में छिपा हुआ है।
एक उदाहरण के तीन संख्याओं से चार सही समीकरण बनते हैं: दो गुणा के लिए और दो भाग के लिए। यदि आप जानते हैं कि \(7 \times 8 = 56\), तो आप \(56 \div 8 = 7\) और \(56 \div 7 = 8\) भी जानते हैं।
भाग के लिए पाइथागोरस के पहाड़े का उपयोग कैसे करें: भाजक की पंक्ति में भाज्य खोजें - कॉलम संख्या ही उत्तर होगी।
एक सप्ताह में गुणा का पहाड़ा कैसे सीखें: दिन-प्रतिदिन की योजना
अध्ययन का क्रम महत्वपूर्ण है: पहले सबसे आसान कॉलम और नियम जो एक साथ कई उत्तर देते हैं, और कठिन उदाहरण - अंत में, जब वे कम रह जाते हैं। एक बार में लंबे समय तक अध्ययन करने के बजाय हर दिन थोड़ा-थोड़ा, 10-15 मिनट अध्ययन करना बेहतर है।
प्रत्येक सत्र की शुरुआत कल के पाठ के संक्षिप्त पुनरीक्षण से करें। क्रम से नहीं, बल्कि ज़ोर से और बेतरतीब ढंग से उत्तर दें। गलतियों को अलग से लिखें: यह कल के लिए आपकी व्यक्तिगत सूची है।
इस पृष्ठ के 'ट्रेनर' टैब पर खुद को परखना सुविधाजनक है: आप अलग-अलग कॉलम चुन सकते हैं - उदाहरण के लिए, केवल 6, 7 और 8 - और विशेष रूप से उन्हें प्रशिक्षित कर सकते हैं।
उदाहरणों का विश्लेषण: यदि भूल गए तो उत्तर कैसे खोजें
उदाहरण 1. 6 × 9 भूल गए - कैसे याद करें
तरीका 1 - दस के माध्यम से। \(10 \times 6 = 60\), एक छह घटाएँ: \(60 - 6 = 54\)।
तरीका 2 - पाँच के माध्यम से। \(5 \times 9 = 45\), एक और नौ जोड़ें: \(45 + 9 = 54\)।
अंकों के योग से जाँच: \(5 + 4 = 9\) - 9 के कॉलम से उत्तर सही लगता है।
उत्तर: \(6 \times 9 = 54\)।
उदाहरण 2. 4 × 8 को दोगुना करके
चरण 1। 4 से गुणा करने का मतलब है दो बार दोगुना करना।
चरण 2। \(8 + 8 = 16\)।
चरण 3। \(16 + 16 = 32\)।
उत्तर: \(4 \times 8 = 32\)। वही संख्या सेल \(8 \times 4\) में भी है।
उदाहरण 3. तालिका के माध्यम से भाग: 72 ÷ 9
चरण 1। गुणा के लिए एक प्रश्न पूछें: 72 प्राप्त करने के लिए 9 को किस संख्या से गुणा करना होगा?
चरण 2। 9 के कॉलम को याद करें: संख्या 72 में, दहाई का अंक 7 है, इसलिए दूसरा गुणक एक अधिक है - 8।
चरण 3। जाँच करें: \(9 \times 8 = 72\)।
उत्तर: \(72 \div 9 = 8\)।
उदाहरण 4. समस्या: पेंसिल के डिब्बे
समस्या। एक डिब्बे में 6 पेंसिल हैं। 4 डिब्बों में कितनी पेंसिल हैं?
चरण 1। समान संख्या को कई बार लेना - यह गुणा है: \(6 \times 4\)।
चरण 2। दो बार दोगुना करें: \(6 \to 12 \to 24\)।
उत्तर: 24 पेंसिल।
गुणा के पहाड़े में सामान्य गलतियाँ
-
7 × 8 और 6 × 8 को भ्रमित करते हैं: कहते हैं '7 × 8 = 48'।
48 का मतलब है 6 × 8। 7 × 8 का उत्तर एक आठ अधिक है: 48 + 8 = 56। संकेत: 56 = 7 × 8 में अंक 5, 6, 7, 8 लगातार आते हैं।
-
6 × 7, 6 × 8 और 7 × 8 के उत्तरों को मिलाते हैं - 42, 48 और 56 संख्याएँ 'तैरती' रहती हैं।
वर्गों पर भरोसा करें: 6 × 6 = 36, इसलिए 6 × 7 = 36 + 6 = 42। 7 × 7 = 49, इसलिए 7 × 8 = 49 + 7 = 56। और 6 × 8 = 40 + 8 = 48 पाँच के माध्यम से। तीन संख्याओं में से प्रत्येक को अपने छोटे तरीके से प्राप्त किया जाता है।
-
0 से गुणा करते समय संख्या स्वयं लिख देते हैं: 5 × 0 = 5।
यदि आप शून्य को पाँच बार लेते हैं, तो शून्य मिलेगा। 0 से गुणा की गई कोई भी संख्या 0 होती है। संख्या स्वयं से केवल 1 से गुणा करने पर ही रहती है।
-
1 से गुणा करते समय एक जोड़ देते हैं: 8 × 1 = 9।
1 से गुणा करने का मतलब है संख्या को एक बार लेना, इसलिए 8 × 1 = 8। एक जोड़ना जोड़ है, गुणा नहीं।
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गुणा करने के बजाय जोड़ देते हैं: 4 × 4 = 8।
4 + 4 = 8, और 4 × 4 का मतलब है चार चौके: 4 + 4 + 4 + 4 = 16। भ्रम 2 × 2 = 2 + 2 = 4 से आता है - यह एकमात्र मामला है जहां जोड़ और गुणा समान होते हैं।
-
कॉलम केवल क्रम से जानते हैं और हर बार शुरुआत से फिर से गिनते हैं: '7, 14, 21, 28…'।
यह गिनती है, पहाड़ा याद करना नहीं। जब कॉलम सीख लिया जाए, तो उसे बेतरतीब ढंग से प्रशिक्षित करें जब तक कि उत्तर तुरंत न आने लगे। 'ट्रेनर' टैब पर उदाहरण ठीक इसी तरह दिए गए हैं।
प्रश्न और उत्तर
गुणा का पहाड़ा जल्दी कैसे सीखें?
100 उदाहरणों को एक साथ न सीखें। पहले क्रमविनिमेय गुण और सरल नियम (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) - इनके बाद पहाड़ा का आधा से भी कम रह जाता है। फिर ×4 और ×9 के लिए तरकीबें, फिर ×6, ×7, ×8 के लिए वर्ग और पड़ोसी। प्रतिदिन 10-15 मिनट अध्ययन करें और बेतरतीब ढंग से खुद को परखें - इस तरह पहाड़ा लगभग एक सप्ताह में याद हो जाता है।
वास्तव में गुणा के पहाड़े में कितने उदाहरण सीखने होते हैं?
पाइथागोरस के पहाड़े में 100 सेल हैं, लेकिन क्रमविनिमेय गुण के कारण केवल 55 विभिन्न उदाहरण हैं। यदि आप 0, 1, 2, 5 और 10 से गुणा करना छोड़ देते हैं, जो नियमों से हल हो जाते हैं, और 9 का कॉलम उंगलियों के नियम के साथ, तो 15 उदाहरण बचते हैं। और सबसे कठिन, जिनके लिए तरकीब की आवश्यकता होती है, वे लगभग एक दर्जन हैं, मुख्य रूप से 6, 7 और 8 के कॉलम में।
पाइथागोरस का पहाड़ा और कॉलम में गुणा का पहाड़ा में क्या अंतर है?
संख्याएँ समान हैं। पाइथागोरस का पहाड़ा 10 × 10 का वर्ग है, जहाँ उत्तर पंक्ति और कॉलम के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है; इसमें पैटर्न और समरूपता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। कॉलम वही पंक्तियाँ हैं, जिन्हें '7 × 3 = 21' उदाहरणों के रूप में लिखा गया है; उन्हें भागों में सीखना सुविधाजनक है।
गुणा का पहाड़ा कैसे प्रिंट करें?
इस पृष्ठ को खोलें और ब्राउज़र में प्रिंट चुनें (कंप्यूटर पर - Ctrl+P या ⌘+P)। प्रिंट में पाइथागोरस का पहाड़ा और कॉलम में पहाड़ा दोनों शामिल होंगे; आप प्रिंट विंडो में पृष्ठ संख्याएँ निर्दिष्ट करके अवांछित पृष्ठों को प्रिंट न करने का विकल्प चुन सकते हैं।
गुणा का पहाड़ा किस कक्षा में सिखाया जाता है?
आमतौर पर दूसरी-तीसरी कक्षा में: पहले समान संख्याओं के जोड़ के रूप में गुणा से परिचय कराया जाता है, फिर कॉलम में पहाड़ा सीखा जाता है और तुरंत इसे भाग से जोड़ा जाता है। सटीक क्रम स्कूल कार्यक्रम पर निर्भर करता है।
गुणा का पहाड़ा क्यों याद करना चाहिए, जब कैलकुलेटर है?
लगभग सभी आगे की गणित गुणा के पहाड़े पर आधारित है: भाग, भिन्न, सरलीकरण, कॉलम में गुणा, समीकरण। यदि आप हर बार गिनती करते हैं, तो ध्यान समस्या के बजाय अंकगणित पर चला जाता है।
बच्चे के साथ गुणा का पहाड़ा बिना आँसू के कैसे सीखें?
हर दिन छोटे सत्र, एक लंबा नहीं। जो हो रहा है उससे शुरू करें और दिखाएं कि बच्चा पहले से ही कई उत्तर जानता है। गति और सही उत्तरों के लिए प्रशंसा करें, और कठिन उदाहरणों को अधिक बार दोहराएं। गति के लिए खेल और बेतरतीब ढंग से कार्ड अच्छी तरह काम करते हैं।
कैसे जांचें कि गुणा का पहाड़ा सीखा गया है?
पहाड़ा सीखा जाता है यदि बेतरतीब ढंग से किसी भी उदाहरण का उत्तर तुरंत, बिना गिनती के आता है, और आप उसी गति से भाग के विपरीत उदाहरणों का उत्तर देते हैं। आप 'ट्रेनर' टैब पर खुद को परख सकते हैं - वहां आप देख सकते हैं कि किन कॉलम में गलतियाँ हैं।
