माध्य, माध्यिका, बहुलक और परिसर संख्याओं के एक समूह का वर्णन करने के चार तरीके हैं। इनमें से तीन — माध्य, माध्यिका और बहुलक — केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं: ये बताते हैं कि एक "विशिष्ट" मान कैसा दिखता है। चौथा, परिसर, यह मापता है कि डेटा कितना फैला हुआ है। इस पृष्ठ पर आपको प्रत्येक की स्पष्ट परिभाषा, उन्हें निकालने का सटीक तरीका (सम-संख्या वाली माध्यिका सहित), प्रत्येक का उपयोग कब करना है, हल किए गए उदाहरण, सामान्य गलतियाँ और अभ्यास के लिए एक इंटरैक्टिव क्विज़ मिलेगी।
माध्य, माध्यिका, बहुलक और परिसर क्या हैं?
प्रत्येक माप आपके डेटा के बारे में एक अलग प्रश्न का उत्तर देता है:
- माध्य — औसत। यह सभी मानों को एक संख्या में संतुलित करता है।
- माध्यिका — संख्याओं को क्रम में रखने के बाद बीच का मान।
- बहुलक — वह मान जो सबसे अधिक बार आता है।
- परिसर — फैलाव, सबसे छोटी संख्या से सबसे बड़ी संख्या तक।
नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि प्रत्येक क्या है और इसे सटीक रूप से कैसे निकाला जाए। ध्यान दें कि केवल बहुलक आवृत्ति के बारे में है, और केवल परिसर केंद्रीय मान के बजाय फैलाव का वर्णन करता है।
| माप | यह क्या है | कैसे निकालें |
|---|---|---|
| माध्य | औसत मान | सभी संख्याओं को जोड़ें, फिर कुल संख्या से भाग दें |
| माध्यिका | क्रम में बीच का मान | संख्याओं को क्रमबद्ध करें; बीच वाली चुनें। यदि दो बीच की संख्याएँ हैं, तो उनका औसत निकालें |
| बहुलक | सबसे अधिक बार आने वाला मान | वह मान खोजें जो सबसे अधिक बार आता है। कोई नहीं, एक या कई हो सकते हैं |
| परिसर | डेटा का फैलाव | सबसे बड़ी संख्या में से सबसे छोटी संख्या घटाएं |
माध्य, माध्यिका और बहुलक कैसे निकालें
आइए एक ही डेटा सेट पर चारों की गणना करें ताकि आप देख सकें कि वे कैसे भिन्न हैं। संख्याएँ 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (सात मान) लें।
माध्य। उन्हें जोड़ें: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42। कुल 7 मान हैं, इसलिए माध्य 42 ÷ 7 = 6 है।
माध्यिका। पहले क्रमबद्ध करें: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8। 7 मानों के साथ बीच वाला 4था स्थान है, इसलिए माध्यिका 6 है। (चुनने से पहले हमेशा क्रमबद्ध करें — यह सबसे आम गलती है।)
बहुलक। मान 8 तीन बार आता है, किसी भी अन्य से अधिक, इसलिए बहुलक 8 है।
परिसर। सबसे बड़ा मान 8 है और सबसे छोटा 3 है, इसलिए परिसर 8 − 3 = 5 है।
एक डेटा सेट, चार अलग-अलग उत्तर — इसीलिए हमारे पास चार माप हैं।
प्रत्येक माप का उपयोग कब करें
ये माप एक-दूसरे से प्रतिस्पर्धा नहीं करते — प्रत्येक अलग तरह के प्रश्न के लिए सर्वोत्तम है।
- माध्य दैनिक "औसत" है और तब बहुत अच्छा होता है जब मान काफी समान हों, जैसे औसत टेस्ट स्कोर या दैनिक तापमान। इसकी कमजोरी: एक बहुत बड़ा या बहुत छोटा मान (आउटलायर) इसे बीच से बहुत दूर खींच सकता है।
- माध्यिका बीच का मान है, इसलिए आउटलायर इसे मुश्किल से ही हिला पाते हैं। इसीलिए घर की कीमतें और आय आमतौर पर माध्यिका के रूप में बताई जाती हैं — एक हवेली विशिष्ट मान को विकृत नहीं करेगी।
- बहुलक एकमात्र माप है जो उन चीजों के लिए काम करता है जिनका आप औसत नहीं निकाल सकते, जैसे बेचे गए जूते का सबसे सामान्य आकार या कक्षा में पसंदीदा रंग। डेटा सेट में एक बहुलक, कई बहुलक या कोई बहुलक नहीं हो सकता है।
- परिसर किसी विशिष्ट मान का वर्णन नहीं करता है — यह आपको बताता है कि डेटा कितना फैला हुआ है। छोटे परिसर का मतलब है कि मान एक-दूसरे के करीब हैं; बड़े परिसर का मतलब है कि वे बहुत दूर हैं।
हल किए गए उदाहरण: चरण-दर-चरण
उदाहरण 1. एक डेटा सेट पर चारों माप
डेटा सेट: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
चरण 1 — संख्याओं को क्रमबद्ध करें। 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
चरण 2 — माध्य। उन्हें जोड़ें: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39। कुल 7 मान हैं, इसलिए माध्य 39 ÷ 7 ≈ 5.57 है।
चरण 3 — माध्यिका। 7 मानों के साथ बीच वाला क्रमबद्ध सूची में 4था है: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10। माध्यिका 6 है।
चरण 4 — बहुलक। मान 3 तीन बार आता है, किसी भी अन्य से अधिक, इसलिए बहुलक 3 है।
चरण 5 — परिसर। सबसे बड़ा माइनस सबसे छोटा: 10 − 3 = 7.
उत्तर: माध्य ≈ 5.57, माध्यिका = 6, बहुलक = 3, परिसर = 7.
उदाहरण 2. मानों की सम संख्या के साथ माध्यिका
डेटा सेट: 12, 5, 8, 20 (चार मान — एक सम संख्या)।
चरण 1 — क्रमबद्ध करें। 5, 8, 12, 20.
चरण 2 — दो बीच के मान खोजें। सम संख्या के साथ कोई एक बीच की संख्या नहीं होती। यहाँ दो बीच के मान 8 और 12 हैं।
चरण 3 — उनका औसत निकालें। (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10। माध्यिका 10 है — भले ही 10 मूल संख्याओं में से एक नहीं है। सम-संख्या वाली माध्यिका के लिए यह सामान्य है।
उदाहरण 3. बिना बहुलक वाला डेटा सेट
डेटा सेट: 2, 5, 9, 11, 14.
प्रत्येक मान ठीक एक बार आता है, इसलिए कोई मान दोहराया नहीं गया है। इस डेटा सेट का कोई बहुलक नहीं है — यह एक वैध उत्तर है, कोई त्रुटि नहीं।
इसके विपरीत, डेटा सेट 4, 4, 7, 7, 9 में दो बहुलक (4 और 7) हैं क्योंकि दोनों सबसे अधिक बार आते हैं। दो बहुलक वाले सेट को बाइमोडल कहा जाता है।
बचने के लिए सामान्य गलतियाँ
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पहले संख्याओं को क्रमबद्ध किए बिना माध्यिका खोजना।
माध्यिका क्रम में संख्याओं का बीच का मान है। बीच का मान चुनने से पहले हमेशा सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करें। 7, 2, 9 में माध्यिका 7 है (क्रमबद्ध: 2, 7, 9), न कि 9।
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मानों की सम संख्या के लिए, दो बीच की संख्याओं में से केवल एक को चुनना।
सम संख्या के साथ कोई एक बीच का मान नहीं होता। दो बीच के मान लें और उनका औसत निकालें। 5, 8, 12, 20 के लिए माध्यिका (8 + 12) ÷ 2 = 10 है, न कि 8 या 12।
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यह मान लेना कि हर डेटा सेट में ठीक एक बहुलक होना चाहिए।
डेटा सेट में कोई बहुलक नहीं हो सकता (यदि कुछ भी दोहराया नहीं जाता है) या कई बहुलक हो सकते हैं (यदि दो या अधिक मान सबसे अधिक बार आते हैं)। दोनों सही उत्तर हैं — एक ही बहुलक के लिए मजबूर न करें।
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माध्य और माध्यिका को भ्रमित करना, और उन्हें एक ही चीज मानना।
माध्य औसत है (जोड़ें और भाग दें); माध्यिका क्रम में बीच का मान है। वे अक्सर अलग होते हैं, खासकर जब कोई आउटलायर होता है। 2, 3, 4, 100 के लिए माध्य 27.25 है लेकिन माध्यिका केवल 3.5 है।
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परिसर को बहुलक के साथ मिलाना या घटाना भूल जाना।
परिसर फैलाव का एक माप है: सबसे बड़ा मान माइनस सबसे छोटा मान। यह फैलाव का वर्णन करने वाली एक एकल संख्या है, न कि सबसे अधिक बार आने वाला मान। 4, 9, 15 के लिए परिसर 15 − 4 = 11 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
माध्य, माध्यिका, बहुलक और परिसर क्या हैं?
माध्य औसत है (सभी मानों को जोड़ें और कुल संख्या से भाग दें)। माध्यिका संख्याओं को क्रमबद्ध करने के बाद बीच का मान है। बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। परिसर सबसे बड़ा मान माइनस सबसे छोटा मान है। माध्य, माध्यिका और बहुलक एक विशिष्ट मान का वर्णन करते हैं; परिसर वर्णन करता है कि डेटा कितना फैला हुआ है।
आप डेटा सेट का माध्य कैसे निकालते हैं?
कुल प्राप्त करने के लिए सभी संख्याओं को जोड़ें, फिर कुल को संख्याओं की संख्या से भाग दें। उदाहरण के लिए, 4, 6, 8, 2 का माध्य (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5 है।
जब मानों की संख्या सम हो तो माध्यिका कैसे निकालें?
संख्याओं को क्रमबद्ध करें, फिर बीच के दो मान लें और उनका औसत निकालें (उन्हें जोड़ें और 2 से भाग दें)। 5, 8, 12, 20 के लिए दो बीच के मान 8 और 12 हैं, इसलिए माध्यिका (8 + 12) ÷ 2 = 10 है। परिणाम ऐसी संख्या हो सकती है जो मूल सेट में नहीं है।
माध्य और माध्यिका के बीच क्या अंतर है?
माध्य सभी मानों का औसत है, इसलिए हर संख्या इसे प्रभावित करती है। माध्यिका केवल क्रम में बीच का मान है, इसलिए यह बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं (आउटलायर) से मुश्किल से ही प्रभावित होती है। जब डेटा सेट में आउटलायर होते हैं, तो माध्यिका अक्सर माध्य की तुलना में अधिक विशिष्ट मान देती है।
क्या डेटा सेट में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं, या कोई बहुलक नहीं?
हाँ। यदि कोई मान दोहराया नहीं जाता है, तो डेटा सेट में कोई बहुलक नहीं होता है। यदि दो या अधिक मान सबसे अधिक बार आने के लिए टाई करते हैं, तो सेट में कई बहुलक होते हैं — दो बहुलक को बाइमोडल कहा जाता है। कोई बहुलक न होना या कई बहुलक होना पूरी तरह से वैध है।
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप क्या हैं?
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप वे एकल संख्याएँ हैं जो डेटा सेट के केंद्र या विशिष्ट मान का वर्णन करती हैं। तीन मुख्य हैं माध्य, माध्यिका और बहुलक। परिसर केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है — यह इसके बजाय फैलाव को मापता है।
