द्विघाती सूत्र \(ax^2 + bx + c = 0\) (जहाँ \(a \neq 0\)) के रूप वाले किसी भी द्विघात समीकरण को हल करता है। इसके मूल \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) द्वारा दिए जाते हैं। इस पृष्ठ पर आप देखेंगे कि प्रत्येक भाग का क्या अर्थ है, सूत्र का चरण-दर-चरण उपयोग कैसे करें, विविक्तकर (discriminant) आपको कैसे बताता है कि कितने हल अपेक्षित हैं, और पूरी तरह से हल किए गए उदाहरण — साथ ही एक इंटरैक्टिव ट्रेनर ताकि आप तुरंत अभ्यास कर सकें।
द्विघाती सूत्र क्या है
एक द्विघात समीकरण कोई भी ऐसा समीकरण है जिसे आप मानक रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) में लिख सकते हैं, जहाँ \(a\), \(b\), और \(c\) संख्याएँ हैं और \(a \neq 0\) है। संख्याओं \(a\), \(b\), और \(c\) को गुणांक (coefficients) कहा जाता है: \(a\), \(x^2\) का गुणांक है, \(b\), \(x\) का गुणांक है, और \(c\) अचर पद है।
द्विघाती सूत्र इन तीन गुणांकों से सीधे हल (मूल) देता है — गुणनखंड करने की आवश्यकता नहीं है। यह हर द्विघात समीकरण के लिए काम करता है, यहाँ तक कि उनके लिए भी जो आसानी से गुणनखंडित नहीं होते।
यह कहाँ से आता है (व्युत्पत्ति): यह सूत्र सामान्य समीकरण पर पूर्ण वर्ग बनाकर (completing the square) प्राप्त होता है। \(ax^2 + bx + c = 0\) को \(a\) से विभाजित करें, अचर पद को दूसरी तरफ ले जाएं, पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों तरफ \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) जोड़ें, और वर्गमूल लें। परिणाम नीचे दिया गया एकल सूत्र है, जो किसी भी \(a\), \(b\), \(c\) के लिए मान्य है।
विविक्तकर: कितने मूल
वर्गमूल के नीचे वाले भाग, \(b^2 - 4ac\), को विविक्तकर (discriminant, जिसे अक्सर \(D\) लिखा जाता है) कहते हैं। आपको यह जानने के लिए कि किसी समीकरण के कितने हल हैं, पूरे सूत्र को हल करने की आवश्यकता नहीं है — विविक्तकर का चिह्न आपको तुरंत बता देता है।
चूंकि आप किसी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं ले सकते, इसलिए \(D\) का चिह्न हर द्विघात समीकरण को तीन मामलों में विभाजित करता है: दो मूल, एक दोहराया गया मूल, या कोई वास्तविक मूल नहीं। ग्राफ पर, यह वह जगह है जहाँ परवलय \(y = ax^2 + bx + c\) x-अक्ष से मिलता है — दो बार, एक बार (शीर्ष पर), या बिल्कुल नहीं।
| विविक्तकर D = b² − 4ac | वास्तविक मूल | परिणाम |
|---|---|---|
| D > 0 | दो अलग वास्तविक मूल | परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है। दोनों चिह्नों का उपयोग करें: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | एक वास्तविक मूल (दोहराया गया) | परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर स्पर्श करता है। ± गायब हो जाता है: x = −b / 2a. |
| D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं | परवलय कभी x-अक्ष को नहीं छूता। ऋणात्मक संख्या का कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता। |
द्विघाती सूत्र का उपयोग कैसे करें: चरण
द्विघाती सूत्र हमेशा एक ही तरह से काम करता है। इन पाँच चरणों का क्रम में पालन करें और यह आपको कभी निराश नहीं करेगा — सबसे कठिन हिस्सा केवल गुणांकों को (उनके चिह्नों के साथ) सही ढंग से पढ़ना है।
द्विघाती सूत्र के उदाहरण (चरण-दर-चरण)
उदाहरण 1. दो वास्तविक मूल (D > 0)
हल करें \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)।
चरण 1–2. यह पहले से ही मानक रूप में है, इसलिए गुणांक पढ़ें: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)।
चरण 3. विविक्तकर: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)।
चरण 4. \(D = 25 > 0\), इसलिए दो अलग वास्तविक मूल हैं।
चरण 5. प्रतिस्थापित करें: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)।
प्लस चिह्न का उपयोग करते हुए: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)। माइनस चिह्न का उपयोग करते हुए: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)।
मूल: \(x = 3\) और \(x = \tfrac{1}{2}\)।
उदाहरण 2. एक दोहराया गया मूल (D = 0)
हल करें \(x^2 - 6x + 9 = 0\)।
चरण 1–2. पहले से ही मानक रूप में: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)।
चरण 3. विविक्तकर: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)।
चरण 4. \(D = 0\), इसलिए ठीक एक वास्तविक मूल (दोहराया गया मूल) है। \(\pm\) पद गायब हो जाता है क्योंकि \(\sqrt{0} = 0\)।
चरण 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)।
मूल: \(x = 3\) (यह द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग \((x-3)^2 = 0\) है)।
उदाहरण 3. कोई वास्तविक मूल नहीं (D < 0)
हल करें \(x^2 + 2x + 5 = 0\)।
चरण 1–2. मानक रूप: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)।
चरण 3. विविक्तकर: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)।
चरण 4. \(D = -16 < 0\)। चूँकि आप ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं ले सकते, इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है — इसका परवलय कभी x-अक्ष को नहीं काटता।
चरण 5. वास्तविक हलों के लिए आगे कोई कार्य आवश्यक नहीं है। (यदि आप सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) से परिचित हैं, तो मूल \(x = -1 \pm 2i\) हैं, लेकिन वास्तविक उत्तर के लिए हम यहाँ रुक जाते हैं।)
द्विघाती सूत्र के साथ सामान्य गलतियाँ
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b का चिह्न गलत लेना, विशेषकर जब b ऋणात्मक हो।
सूत्र −b से शुरू होता है। यदि b = −7 है, तो −b = +7 होगा — दो ऋणात्मक चिह्न कट जाते हैं। सरलीकरण से पहले प्रतिस्थापन को पूरी तरह लिखें, जैसे −(−7)।
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± को भूल जाना और केवल एक मूल बताना।
जब D > 0 होता है, तो ± दो उत्तर देता है: एक + के साथ और एक − के साथ। हमेशा दोनों (−b + √D)/(2a) और (−b − √D)/(2a) की गणना करें, जब तक कि D = 0 न हो।
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अंश (numerator) के केवल एक हिस्से को 2a से विभाजित करना।
पूरा अंश, −b ± √D, 2a से विभाजित होता है — न कि केवल √D वाला हिस्सा। इसे एक भिन्न के रूप में रखें: (−b ± √D) / (2a)।
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जब a या c ऋणात्मक हो तो विविक्तकर की गलत गणना करना।
D = b² − 4ac में, जब a·c ऋणात्मक होता है तो 4ac को घटाने पर वास्तव में जुड़ जाता है। 3x² − 2x − 1 के लिए, −4·3·(−1) = +12, इसलिए D = 4 + 12 = 16, न कि 4 − 12।
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समीकरण को मानक रूप में लिखने से पहले सूत्र लागू करना।
हर पद को एक तरफ ले जाएं ताकि समीकरण पहले ax² + bx + c = 0 के रूप में पढ़े। उदाहरण के लिए, x² = 5x − 6 को a, b, c पढ़ने से पहले x² − 5x + 6 = 0 बनना चाहिए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
द्विघाती सूत्र क्या है?
द्विघाती सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) है। यह किसी भी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0) के हल सीधे गुणांकों a, b, और c से देता है।
आप द्विघाती सूत्र का चरण-दर-चरण उपयोग कैसे करते हैं?
समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखें, चिह्नों के साथ a, b, और c की पहचान करें, विविक्तकर D = b² − 4ac की गणना करें, कितने मूल हैं यह देखने के लिए इसके चिह्न की जाँच करें, फिर x = (−b ± √D) / (2a) में प्रतिस्थापित करें और प्लस और माइनस दोनों संस्करणों को सरल करें।
विविक्तकर क्या है और यह क्यों मायने रखता है?
विविक्तकर D = b² − 4ac है, जो वर्गमूल के नीचे का व्यंजक है। इसका चिह्न आपको गणना पूरी किए बिना वास्तविक मूलों की संख्या बताता है: D > 0 दो वास्तविक मूल देता है, D = 0 एक दोहराया गया मूल देता है, और D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं देता।
मुझे गुणनखंडन के बजाय द्विघाती सूत्र का उपयोग कब करना चाहिए?
जब द्विघात समीकरण छोटी पूर्ण संख्याओं के साथ गुणनखंडित हो जाता है, तो गुणनखंडन त्वरित होता है। द्विघाती सूत्र हर द्विघात समीकरण के लिए काम करता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो आसानी से गुणनखंडित नहीं होते या जिनके मूल अपरिमेय या गैर-पूर्णांक हैं, इसलिए जब गुणनखंडन स्पष्ट न हो तो यह विश्वसनीय विकल्प है।
द्विघाती सूत्र कहाँ से आता है?
यह सामान्य समीकरण ax² + bx + c = 0 पर पूर्ण वर्ग बनाकर व्युत्पन्न किया गया है: a से विभाजित करें, (b/2a)² जोड़कर पूर्ण वर्ग बनाएं, बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में फिर से लिखें, और दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। परिणाम द्विघाती सूत्र है।
क्या द्विघाती सूत्र कोई उत्तर नहीं दे सकता?
यदि विविक्तकर ऋणात्मक (D < 0) है, तो कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि आप ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं ले सकते। समीकरण के अभी भी दो सम्मिश्र मूल होते हैं, लेकिन कोई वास्तविक मूल नहीं होते — ग्राफ पर परवलय कभी x-अक्ष को नहीं छूता।
