घातों के गुण आठ नियम हैं जिनके अनुसार घातों को गुणा, विभाजित, घात में बढ़ाया जाता है और सरल बनाया जाता है। इस पृष्ठ पर सभी सूत्र एक तालिका में एकत्र किए गए हैं: समान आधार वाली घातों का गुणनफल और भागफल, घात की घात, गुणनफल और भागफल की घात, शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक। प्रत्येक गुण को यह समझाते हुए कि यह क्यों काम करता है, चरण-दर-चरण उदाहरण, चिह्नों के साथ सामान्य गलतियों का विश्लेषण और एक इंटरैक्टिव ट्रेनर दिया गया है, जहाँ आप तुरंत स्वयं को परख सकते हैं।
घात क्या है: आधार और घातांक
घात समान गुणनखंडों के गुणन का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड है। \(a^n\) का अर्थ है कि संख्या \(a\) को स्वयं से \(n\) बार गुणा किया जाता है:
यहाँ \(a\) घात का आधार है (जो गुणा किया जा रहा है), और \(n\) घात का घातांक है (कितनी बार गुणा किया जा रहा है)। उदाहरण के लिए, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): आधार 3 है, घातांक 4 है।
दो रिकॉर्ड जिन्हें तुरंत याद रखना चाहिए: \(a^1 = a\) (संख्या की एक 'कॉपी') और \(a^2\) - 'वर्ग', \(a^3\) - 'घन'। नीचे दिए गए सभी नियम आधार और घातांक के साथ काम करते हैं: कुछ गुणों के लिए समान आधार की आवश्यकता होती है, दूसरों के लिए समान घातांक की। इन दो मामलों के बीच अंतर करना सूत्रों को कंठस्थ करने से अधिक महत्वपूर्ण है।
घातों के सभी गुणों की सूत्र तालिका
घातों के आठ मुख्य गुणों को एक तालिका में रखना सुविधाजनक होता है। पहले पांच किसी भी घातांक के लिए काम करते हैं, और अंतिम तीन शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक तक घात की अवधारणा का विस्तार करते हैं।
| गुण | सूत्र |
|---|---|
| गुणनफल समान आधार - घातांक जोड़ें | am · an = am+n |
| भागफल समान आधार - घातांक घटाएं | am : an = am−n |
| घात की घात घातांकों को गुणा करें | (am)n = amn |
| गुणनफल की घात प्रत्येक गुणनखंड को घात में बढ़ाएं | (ab)n = anbn |
| भागफल की घात अंश और हर को घात में बढ़ाएं | (a/b)n = an/bn |
| शून्य घातांक शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या एक देती है | a0 = 1 |
| ऋणात्मक घातांक भिन्न में पलटें | a−n = 1/an |
| भिन्नात्मक घातांक यह n-वीं घात का वर्गमूल है | am/n = ⁿ√(am) |
समान आधार वाली घातों का गुणन और विभाजन
घातों के साथ ये दो सबसे आम संचालन हैं।
गुणन में, घातांक जोड़े जाते हैं, आधार नहीं बदलता है:
ऐसा क्यों है: पहले गुणनखंड में \(m\) समान संख्याएँ हैं, दूसरे में - \(n\), कुल मिलाकर \(m+n\) हैं। उदाहरण के लिए, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\)।
विभाजन में, घातांक घटाए जाते हैं (भाजक के घातांक को भाज्य के घातांक से घटाया जाता है):
उदाहरण के लिए, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\)।
महत्वपूर्ण: घातों के योग और घटाव में, घातांक नहीं जोड़े जाते हैं। \(2^3 + 2^4\) को किसी भी तरह से एक घात में नहीं बदला जा सकता है: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), जबकि \(2^7 = 128\)। गुण केवल गुणन और विभाजन के लिए काम करते हैं।
गुणन में आधार भी नहीं बदलता है। \(2^3 \cdot 2^4\) का मतलब \(2^7\) है, न कि \(4^7\): हम घातांकों को जोड़ते हैं, और आधार को वैसे ही लिखते हैं जैसे वह है।
घात की घात, गुणनफल की घात और भागफल की घात
घात की घात - घातांकों को गुणा किया जाता है:
उदाहरण के लिए, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\)।
गुणनफल की घात - प्रत्येक गुणनखंड को घात में बढ़ाया जाता है:
उदाहरण के लिए, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)।
भागफल की घात - अंश और हर दोनों को घात में बढ़ाया जाता है:
उदाहरण के लिए, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)।
अंतिम दो सूत्र अक्सर दाएं से बाएं उपयोग किए जाते हैं - तब वे भिन्न आधारों लेकिन समान घातांक वाली घातों को गुणा करने की अनुमति देते हैं: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\)।
और यदि आधार और घातांक दोनों भिन्न हैं, तो व्यंजक को आमतौर पर एक समान आधार पर लाया जाता है: यह देखा जाता है कि संख्याएँ एक ही संख्या की घात हैं। उदाहरण के लिए, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), और गुणनफल \(4^3 \cdot 8^2\) \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\) में बदल जाता है।
शून्य और ऋणात्मक घातांक वाली घात
शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या शून्य घात में एक के बराबर होती है:
यह कोई मनगढ़ंत बात नहीं है, बल्कि विभाजन नियम का परिणाम है: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), लेकिन वही भागफल \(216 : 216 = 1\) के बराबर है। इसका मतलब है कि \(6^0 = 1\)। व्यंजक \(0^0\) अपरिभाषित है।
ऋणात्मक घातांक का अर्थ है एक, जिसे घात से विभाजित किया गया है:
उदाहरण के लिए, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), और \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\)।
एक सुविधाजनक परिणाम: ऋणात्मक घात वाली भिन्न पलट जाती है, और घातांक धनात्मक हो जाता है:
घातांक में माइनस संख्या को ऋणात्मक नहीं बनाता है। \(2^{-3}\) का अर्थ एक धनात्मक भिन्न \(\frac{1}{8}\) है, न कि \(-8\)। घातांक का चिह्न 'पलटने' के लिए जिम्मेदार है, न कि परिणाम के चिह्न के लिए।
मुख्य बात: तालिका में सभी आठ गुण शून्य और ऋणात्मक घातांक के लिए भी काम करते रहते हैं - उदाहरण के लिए, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\)।
भिन्नात्मक घातांक वाली घात और वर्गमूल
भिन्नात्मक घातांक वर्गमूल को लिखने का एक और तरीका है:
भिन्न का हर वर्गमूल की घात दिखाता है, और अंश - अंडररूट व्यंजक की घात। उदाहरण: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\)।
सीमा: सम हर \(n\) के लिए, आधार गैर-ऋणात्मक होना चाहिए (\(a \geqslant 0\)) - स्कूल पाठ्यक्रम में ऋणात्मक संख्या का सम घात का वर्गमूल निकालना शामिल नहीं है।
इसकी आवश्यकता क्यों है: भिन्नात्मक घातांकों के साथ वही गुण काम करते हैं, इसलिए वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करके गुणा और विभाजित करना सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\)।
ऋणात्मक संख्या की घात: चिह्न कहाँ खो जाता है
यदि आधार ऋणात्मक है, तो परिणाम का चिह्न घातांक की समता पर निर्भर करता है:
- सम घातांक - परिणाम धनात्मक होता है: \((-3)^2 = 9\);
- विषम घातांक - परिणाम ऋणात्मक होता है: \((-3)^3 = -27\)।
विशेष रूप से कोष्ठक के साथ और बिना कोष्ठक के रिकॉर्ड के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है: \((-3)^2 = 9\), लेकिन \(-3^2 = -9\)। दूसरे मामले में, केवल तीन को वर्ग में बढ़ाया जाता है, और माइनस आगे रहता है। यह नियंत्रण परीक्षाओं में चिह्न का सबसे आम नुकसान है।
अलग से, माइनस एक की घातों को याद रखना उपयोगी है: \((-1)^{100} = 1\), और \((-1)^{101} = -1\) - सम घातांक +1 देता है, विषम -1 देता है।
घातों वाले व्यंजकों में संचालन का क्रम
जब किसी व्यंजक में घातें और सामान्य संचालन दोनों हों, तो क्रम इस प्रकार होता है: पहले कोष्ठक, फिर घातें और वर्गमूल, फिर गुणन और विभाजन, और अंत में योग और घटाव।
उदाहरण के लिए, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): पहले वर्ग में बढ़ाया जाता है, और फिर गुणा और जोड़ा जाता है।
उदाहरण: घातों के गुणों को कैसे लागू करें
उदाहरण 1. एक व्यंजक में गुणन और विभाजन
कार्य। \(x^7 \cdot x^4 : x^9\) को सरल बनाएं।
चरण 1। गुणन: आधार समान हैं, घातांक जोड़ें - \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\)।
चरण 2। विभाजन: घातांक घटाएं - \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\)।
उत्तर। \(x^2\) (जब \(x \neq 0\))।
उदाहरण 2. गुणांक के साथ गुणनफल की घात
कार्य। \((3a^4)^3\) को घात में बढ़ाएं।
चरण 1। प्रत्येक गुणनखंड को घात में बढ़ाया जाता है: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\)।
चरण 2। अलग-अलग गणना करें: \(3^3 = 27\), और घात की घात में घातांकों को गुणा किया जाता है - \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\)।
उत्तर। \(27a^{12}\)। यहाँ एक सामान्य गलती तीन को घन में बढ़ाना भूल जाना और \(3a^{12}\) लिखना है।
उदाहरण 3. गुणन में ऋणात्मक घातांक
कार्य। \(8^{-2} \cdot 8^{5}\) की गणना करें।
चरण 1। आधार समान हैं - सामान्य नियम के अनुसार घातांकों को जोड़ें, माइनस बस योग में भाग लेता है: \(8^{-2+5} = 8^{3}\)।
चरण 2। \(8^3 = 512\)।
उत्तर। \(512\)। ध्यान दें: \(8^{-2}\) को भिन्न में खोलना आवश्यक नहीं था - घातों के गुण सीधे ऋणात्मक घातांकों के साथ काम करते हैं।
उदाहरण 4. ऋणात्मक घात में भिन्न
कार्य। \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\) की गणना करें।
चरण 1। ऋणात्मक घातांक भिन्न को पलट देता है: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\)।
चरण 2। अंश और हर को वर्ग में बढ़ाएं: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\)।
उत्तर। \(\frac{25}{4} = 6{,}25\)।
उदाहरण 5. भिन्नात्मक घातांक
कार्य। \(81^{\frac{3}{4}}\) की गणना करें।
चरण 1। घातांक का हर वर्गमूल की घात है: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\)।
चरण 2। \(\sqrt[4]{81} = 3\), क्योंकि \(3^4 = 81\)।
चरण 3। अब घन में बढ़ाना बाकी है: \(3^3 = 27\)।
उत्तर। \(27\)। पहले वर्गमूल की गणना करना सुविधाजनक है - संख्याएँ \(81^3\) की गणना करने से छोटी होती हैं।
उदाहरण 6. संयुक्त व्यंजक
कार्य। \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\) की गणना करें।
चरण 1। अंश में घात की घात: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\)।
चरण 2। समान आधार वाली घातों का विभाजन: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\)।
चरण 3। \(3^2 = 9\)।
उत्तर। \(9\)। सामान्य नियम: पहले कोष्ठकों और घात की घात को समेटें, फिर गुणन और विभाजन के साथ काम करें।
घातों के साथ संचालन में सामान्य गलतियाँ
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घातों के **योग** में घातांकों को जोड़ते हैं: लिखते हैं $2^2 + 2^2 = 2^4$।
घातांक केवल गुणन में जोड़े जाते हैं। यहाँ योग है \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), जबकि \(2^4 = 16\) - समानता गलत है। घातों के योग को किसी भी तरह से एक घात में नहीं बदला जा सकता है, इसे केवल कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\)।
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आधारों को भी गुणा करते हैं: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$।
घातों के गुणन में आधार वही रहता है, केवल घातांक बदलता है: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)।
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मान लेते हैं कि $(a+b)^n = a^n + b^n$, योग को गुणनफल से भ्रमित करते हुए।
घात को केवल गुणनफल में 'वितरित' किया जा सकता है: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) - सही है। लेकिन \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), जबकि \(2^2 + 3^2 = 13\)। योग के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों की आवश्यकता होती है, न कि घातों के गुणों की।
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मान लेते हैं कि $a^0 = 0$।
इसके विपरीत: शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या शून्य घात में एक के बराबर होती है - \(9^0 = 1\)। शून्य केवल शून्य के बराबर आधार देता है (\(0^n = 0\) जब \(n > 0\)), और व्यंजक \(0^0\) अपरिभाषित है।
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घातांकों को उल्टे क्रम में घटाते हैं: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$।
भाजक के घातांक को भाज्य के घातांक से घटाते हैं, न कि इसके विपरीत: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\)। यहाँ क्रम सामान्य घटाव की तरह ही महत्वपूर्ण है।
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मान लेते हैं कि ऋणात्मक घातांक संख्या को ऋणात्मक बनाता है: $2^{-2} = -4$।
ऋणात्मक घातांक का अर्थ भिन्न है, न कि माइनस: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)। परिणाम धनात्मक रहता है।
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ऋणात्मक आधार का चिह्न खो देते हैं: लिखते हैं $(-4)^2 = -16$।
सम घातांक पर माइनस 'चला जाता है': \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)। और कोष्ठकों के बिना रिकॉर्ड का अर्थ अलग है: \(-4^2 = -(4^2) = -16\)। कोष्ठक सब कुछ तय करते हैं।
घातों के गुणों के बारे में प्रश्न और उत्तर
गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं या गुणा की जाती हैं?
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं, और आधार स्वयं नहीं बदलता है: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)। उदाहरण के लिए, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\)। घातांकों को दूसरी स्थिति में गुणा किया जाता है - जब घात को घात में बढ़ाया जाता है: \((a^m)^n = a^{mn}\)।
विभाजन में घातें जोड़ी जाती हैं या घटाई जाती हैं?
घटाई जाती हैं: भाजक के घातांक को भाज्य के घातांक से घटाया जाता है, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) जब \(a \neq 0\)। उदाहरण के लिए, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\)।
शून्य घात में संख्या किसके बराबर होती है?
एक के बराबर, यदि आधार शून्य नहीं है: \(a^0 = 1\)। यह विभाजन नियम से अनुसरण करता है - \(a^n : a^n\) का भागफल \(a^0\) और एक दोनों के बराबर होता है। व्यंजक \(0^0\) स्कूल पाठ्यक्रम में अपरिभाषित है।
घात से ऋणात्मक घातांक से कैसे छुटकारा पाएं?
व्यंजक को भिन्न में पलटें: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)। उदाहरण के लिए, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\)। यदि आधार स्वयं एक भिन्न है, तो यह बस पलट जाती है, और घातांक धनात्मक हो जाता है।
घात का आधार और घातांक क्या हैं?
\(a^n\) के रिकॉर्ड में, संख्या \(a\) घात का आधार है, यानी वह गुणनखंड जो दोहराया जाता है; \(n\) घात का घातांक है, यह बताता है कि ऐसे कितने गुणनखंड हैं। \(5^4\) के रिकॉर्ड में, आधार 5 है, घातांक 4 है, और स्वयं मान 625 है।
क्या विभिन्न आधारों वाली घातों को गुणा किया जा सकता है?
एक घात में समेटा जा सकता है यदि घातांक समान हों: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\)। उदाहरण के लिए, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\)। यदि आधार और घातांक दोनों भिन्न हैं, तो व्यंजक को पहले एक सामान्य आधार पर लाया जाता है (जब यह संभव हो), अन्यथा इसे वैसे ही छोड़ दिया जाता है।
कुल कितने घातों के गुण हैं?
मुख्य आठ हैं: समान आधार वाली घातों का गुणनफल और भागफल, घात की घात, गुणनफल की घात, भागफल की घात, शून्य घातांक, ऋणात्मक घातांक और भिन्नात्मक घातांक। विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में उन्हें अलग-अलग तरीके से समूहीकृत किया जाता है, इसलिए 'पांच गुण' या 'दस गुण' जैसे वाक्यांश सामने आते हैं, लेकिन सामग्री एक ही है - पूरी सूची ऊपर तालिका में है।
घात का भिन्नात्मक घातांक क्या दर्शाता है?
वर्गमूल। भिन्न का हर वर्गमूल की घात है, अंश - अंडररूट व्यंजक की घात: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)। उदाहरण के लिए, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)। सम हर के लिए, आधार गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
घातों के गुण किस कक्षा में पढ़ाए जाते हैं?
प्राकृतिक घातांक वाली घात और उसके मुख्य गुण 7वीं कक्षा की बीजगणित में पढ़ाए जाते हैं, ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात 8वीं कक्षा में, और परिमेय (भिन्नात्मक) घातांक वाली घात और वर्गमूल 9वीं-11वीं कक्षाओं में। ये गुण OGE और ЕГЭ में व्यंजकों को बदलने के लिए भी आवश्यक हैं।
