संक्षिप्त गुणन सूत्र

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Author: Homiwork

संक्षिप्त गुणन सूत्र (ФСУ) तैयार बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ हैं, जो आपको लंबे समय तक गुणा किए बिना कोष्ठक खोलने और व्यंजकों को गुणनखंडित करने की अनुमति देती हैं। इस पेज पर सात सूत्रों की पूरी तालिका है: योग और अंतर का वर्ग, वर्गों का अंतर, योग और अंतर का घन, घनों का योग और अंतर। हम प्रत्येक सूत्र को उसकी व्युत्पत्ति और उदाहरणों के साथ समझाते हैं, और अंत में एक इंटरैक्टिव अभ्यास है जहाँ आप तुरंत ФСУ का अभ्यास कर सकते हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र क्या हैं

संक्षिप्त गुणन सूत्र वे सर्वसमिकाएँ हैं जो तब प्राप्त होती हैं जब आप बहुपदों को एक बार सावधानीपूर्वक गुणा करते हैं और परिणाम याद रखते हैं। इसके बाद, आपको हर बार कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं होती है: बस 'टेम्पलेट' को पहचानें और अपनी संख्याओं या अक्षरों को प्रतिस्थापित करें।

कक्षा 7 के बीजगणित पाठ्यक्रम में, ФСУ दो दिशाओं में काम करते हैं:

बाएँ से दाएँ — कोष्ठक को जल्दी से खोलने और किसी व्यंजक का वर्ग या घन करने के लिए;
दाएँ से बाएँ — बहुपद को गुणनखंडित करने के लिए (यह भिन्नों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है)।

कुल मिलाकर सात सूत्र याद किए जाते हैं। नीचे एक तालिका-स्मृति पत्र है, और उसके बाद प्रत्येक सूत्र का अलग से विवरण दिया गया है।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों की तालिका

सभी सात संक्षिप्त गुणन सूत्रों को एक तालिका में सामने रखना सुविधाजनक है। यहाँ अक्षर $a$ और $b$ कोई भी व्यंजक हो सकते हैं: एक संख्या, एक चर या $2x$ जैसा पूरा एकपदी।

सूत्र	लेखन
योग का वर्ग	(a + b)² = a² + 2ab + b²
अंतर का वर्ग	(a − b)² = a² − 2ab + b²
वर्गों का अंतर	a² − b² = (a − b)(a + b)
योग का घन	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
अंतर का घन	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
घनों का योग	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
घनों का अंतर	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

योग का वर्ग और अंतर का वर्ग

योग का वर्ग तब प्राप्त होता है जब $(a+b)$ को स्वयं से गुणा किया जाता है:

\[(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

शब्दों में: योग का वर्ग पहले व्यंजक के वर्ग प्लस पहले और दूसरे के गुणनफल का दोगुना प्लस दूसरे के वर्ग के बराबर होता है। ठीक उसी तरह अंतर का वर्ग निकाला जाता है — मध्य पद का चिह्न माइनस हो जाता है:

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

सबसे महत्वपूर्ण बात — मध्य पद $2ab$ को न भूलें: इसी के कारण $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ होता है। योग के वर्ग और अंतर के वर्ग में केवल $2ab$ के सामने का चिह्न अलग होता है, और अंतिम पद $a^2$ और $b^2$ हमेशा प्लस चिह्न के साथ होते हैं।

उदाहरण। $(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.$

योग के वर्ग का एक स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है: यह $(a+b)$ भुजा वाले एक बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है।

(a + b)² = a² + 2ab + b² — (a + b) भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल दो वर्गों (a² और b²) और दो समान आयतों ab से मिलकर बनता है।

वर्गों का अंतर

यदि आप समान व्यंजकों के योग और अंतर को गुणा करते हैं, तो मध्य पद एक-दूसरे को काट देते हैं:

\[(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.\]

परिणाम वर्गों के अंतर का सूत्र है: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$। यह गुणनखंड करने के लिए सबसे उपयोगी ФСУ है: जैसे ही आप दो वर्गों का अंतर देखते हैं — तुरंत इसे गुणनफल में बदल दें।

उदाहरण (कोष्ठक खोलना)। $(x-7)(x+7) = x^2 - 49.$

उदाहरण (गुणनखंड करना)। $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).$

महत्वपूर्ण: वर्गों का योग $a^2 + b^2$ इस सूत्र द्वारा गुणनखंडित नहीं होता है — केवल अंतर काम करता है।

योग का घन, अंतर का घन, घनों का योग और अंतर

योग के घन और अंतर के घन में पहले से ही चार पद होते हैं:

\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]

अंतर के घन में चिह्न बारी-बारी से आते हैं: $+\,-\,+\,-$। और फिर से एक आम जाल: $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ — आप बस घात को 'बांट' नहीं सकते, मध्य पदों $3a^2b$ और $3ab^2$ को नहीं छोड़ा जा सकता।

उदाहरण। $(x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

घनों का योग और अंतर अलग हैं — वे, इसके विपरीत, व्यंजक को गुणनखंडित करते हैं:

\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).\]

दूसरे गुणनखंड को योग या अंतर का अपूर्ण वर्ग कहा जाता है। इसके मध्य पद का चिह्न हमेशा पहले कोष्ठक के चिह्न के विपरीत होता है: घनों के योग के लिए — $-ab$, घनों के अंतर के लिए — $+ab$।

उदाहरण। $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).$

संक्षिप्त गुणन सूत्रों के अनुप्रयोग के उदाहरण

उदाहरण 1. कोष्ठक खोलें: योग का वर्ग

कार्य। $(2x+5)^2$ का वर्ग करें।

चरण 1. योग के वर्ग का सूत्र पहचानें: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, जहाँ $a = 2x$, $b = 5$ है।

चरण 2. प्रत्येक पद की गणना करें:

$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$;
$2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x$;
$b^2 = 5^2 = 25$.

उत्तर। $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.$

उदाहरण 2. वर्गों के अंतर के सूत्र में समेटें

कार्य। गुणनफल $(3x-4)(3x+4)$ ज्ञात करें।

चरण 1. हमारे सामने समान व्यंजकों के अंतर और योग का गुणनफल है — यह वर्गों का अंतर $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ है, जहाँ $a = 3x$, $b = 4$ है।

चरण 2. प्रत्येक व्यंजक का वर्ग करें: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $b^2 = 4^2 = 16$.

उत्तर। $(3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.$

उदाहरण 3. गुणनखंड करें

कार्य। $x^2 - 36$ और $x^3 + 27$ को गुणनखंडित करें।

वर्गों का अंतर। $x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).$

घनों का योग। ध्यान दें कि $27 = 3^3$, जिसका अर्थ है $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$। सूत्र $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ लागू करें जहाँ $a = x$, $b = 3$ है:

\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\]

अपूर्ण वर्ग में $-3x$ चिह्न पर ध्यान दें — घनों के योग में मध्य पद माइनस चिह्न के साथ होता है।

उदाहरण 4. योग का घन

कार्य। कोष्ठक $(x+2)^3$ खोलें।

चरण 1. योग के घन का सूत्र: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, जहाँ $a = x$, $b = 2$ है।

चरण 2. क्रम से पदों की गणना करें:

$a^3 = x^3$;
$3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2$;
$3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x$;
$b^3 = 2^3 = 8$.

उत्तर। $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.$

ФСУ के साथ काम करते समय सामान्य गलतियाँ

दोगुने गुणनफल को भूल जाना: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ लिखना।

योग और अंतर के वर्ग में हमेशा एक मध्य पद $2ab$ होता है: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$। जांचना आसान है — $(a+b)(a+b)$ को कॉलम में खोलें, और मध्य पद अपने आप आ जाएगा।
अंतर के वर्ग और वर्गों के अंतर में चिह्नों को भ्रमित करना।

अंतर के वर्ग में माइनस केवल मध्य पद के साथ होता है: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (अंतिम पद प्लस के साथ)। और वर्गों के अंतर में माइनस — स्वयं वर्गों के बीच होता है: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$। ये अलग-अलग सूत्र हैं।
घन की घात को 'बांटना': $(a+b)^3 = a^3 + b^3$।

ऐसा नहीं किया जा सकता। योग के घन में चार पद होते हैं: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$। सूत्र $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ — कुछ और है (घनों का योग), यह गुणनखंड करने के बारे में है।
घनों के योग/अंतर के अपूर्ण वर्ग में दोगुना गुणनफल $2ab$ लगाना।

अपूर्ण वर्ग $a^2 \pm ab + b^2$ है, $ab$ के सामने दो के बिना। चिह्न पहले कोष्ठक के चिह्न के विपरीत होता है: घनों का योग $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$, घनों का अंतर $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$।
वर्गों के योग $a^2 + b^2$ को गुणनखंडित करने का प्रयास करना।

केवल वर्गों का अंतर $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ गुणनखंडित होता है। स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गों का योग $a^2 + b^2$ गुणनखंडित नहीं होता है।

प्रश्न और उत्तर

कुल कितने संक्षिप्त गुणन सूत्र हैं?

सात: योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, वर्गों का अंतर, योग का घन, अंतर का घन, घनों का योग और घनों का अंतर। वे सभी ऊपर दी गई तालिका में एकत्र किए गए हैं।

योग का वर्ग किसके बराबर है?

पहले व्यंजक के वर्ग प्लस पहले और दूसरे के गुणनफल का दोगुना प्लस दूसरे के वर्ग के बराबर: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$। अंतर के वर्ग में मध्य पद माइनस चिह्न के साथ होता है: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$।

वर्गों के अंतर को गुणनखंडित कैसे करें?

सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ के अनुसार। उदाहरण के लिए, $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$। यह देखना पर्याप्त है कि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, और उनके बीच माइनस है।

क्यों $(a+b)^2$ $a^2 + b^2$ के बराबर नहीं है?

क्योंकि $(a+b)(a+b)$ को गुणा करने पर दो और समान पद $ab$ दिखाई देते हैं, जो मध्य पद $2ab$ देते हैं। इसे छोड़ा नहीं जा सकता: सही $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ है।

योग का घन और घनों के योग में क्या अंतर है?

योग का घन $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ — कोष्ठक खोलना है। घनों का योग $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ — इसके विपरीत, व्यंजक को गुणनखंडित करना है। ये अलग-अलग सूत्र हैं, उन्हें भ्रमित न करें।

संक्षिप्त गुणन सूत्र किस कक्षा में पढ़ाए जाते हैं?

आमतौर पर कक्षा 7 में बीजगणित के पाठों में: पहले योग और अंतर का वर्ग, वर्गों का अंतर, फिर घनों के लिए सूत्र। उनका उपयोग बाद में व्यंजकों को सरल बनाने, भिन्नों को कम करने और समीकरणों को हल करने में सक्रिय रूप से किया जाता है।

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