संक्षिप्त गुणन के सूत्र

संक्षिप्त गुणन के सूत्र - ये ऐसी सर्वसमिकाएँ हैं जो तब प्राप्त होती हैं जब बहुपदों को एक बार सावधानी से गुणा किया जाता है और परिणाम को याद रखा जाता है। फिर आपको हर बार कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं होती है: बस 'टेम्पलेट' को पहचानें और अपने नंबर या अक्षर डालें।

बीजगणित कक्षा 7 के स्कूल पाठ्यक्रम में, FSU दो दिशाओं में काम करते हैं:

• बाएं से दाएं - कोष्ठक को जल्दी से खोलने और व्यंजक को वर्ग या घन तक बढ़ाने के लिए;
• दाएं से बाएं - बहुपद को गुणनखंडों में तोड़ने के लिए (यह भिन्नों को छोटा करने और समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है)।

कुल मिलाकर सात सूत्रों को याद किया जाता है। नीचे एक स्मृति तालिका है, और फिर प्रत्येक सूत्र को अलग-अलग समझाया गया है।

संक्षिप्त गुणन के सभी सात सूत्रों को एक तालिका में रखना सुविधाजनक है। अक्षर \(a\) और \(b\) यहाँ कोई भी व्यंजक हो सकते हैं: एक संख्या, एक चर, या \(2x\) जैसा एक पूर्ण एकपदी।

योग का वर्ग तब प्राप्त होता है जब \((a+b)\) को स्वयं से गुणा किया जाता है:

शब्दों में: योग का वर्ग पहले व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है, पहले और दूसरे के दोगुने गुणनफल के, और दूसरे के वर्ग के बराबर। ठीक इसी तरह अंतर का वर्ग भी प्राप्त होता है - मध्य पद का चिह्न माइनस हो जाता है:

मुख्य बात यह है कि मध्य पद \(2ab\) को न खोएं: यही कारण है कि \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)। योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के चिह्नों में केवल \(2ab\) के सामने का चिह्न भिन्न होता है, जबकि अंतिम पद \(a^2\) और \(b^2\) हमेशा प्लस चिह्न के साथ होते हैं।

उदाहरण। \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)

योग के वर्ग का एक स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है: यह \((a+b)\) भुजा वाले बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है।

यदि एक ही व्यंजकों के योग और अंतर को गुणा किया जाए, तो मध्य पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं:

यह वर्गों के अंतर का सूत्र प्राप्त होता है: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)। यह गुणनखंडों में तोड़ने के लिए सबसे उपयोगी FSU है: जैसे ही आप दो वर्गों का अंतर देखते हैं - तुरंत इसे गुणनफल में तोड़ दें।

उदाहरण (कोष्ठक खोलें)। \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)

उदाहरण (गुणनखंडों में तोड़ें)। \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)

महत्वपूर्ण: वर्गों का योग \(a^2 + b^2\) इस सूत्र से गुणनखंडों में नहीं टूटता है - केवल अंतर काम करता है।

योग का घन और अंतर का घन में पहले से ही चार पद होते हैं:

अंतर के घन में चिह्न बारी-बारी से आते हैं: \(+\,-\,+\,-\)। और फिर से एक सामान्य जाल: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) - आप बस डिग्री को 'वितरित' नहीं कर सकते, मध्य पद \(3a^2b\) और \(3ab^2\) को खोना नहीं चाहिए।

उदाहरण। \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)

अलग से घनों का योग और अंतर हैं - वे, इसके विपरीत, व्यंजक को गुणनखंडों में तोड़ते हैं:

दूसरे गुणनखंड को योग या अंतर का अपूर्ण वर्ग कहा जाता है। इसके मध्य पद का चिह्न हमेशा पहले कोष्ठक के चिह्न के विपरीत होता है: घनों के योग के लिए - \(-ab\), घनों के अंतर के लिए - \(+ab\)।

उदाहरण। \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)