परिमेय असमिका एक असमिका है जो \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) के रूप की होती है, जहाँ \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं, और \(>\) के स्थान पर \(<\), \(\ge\) या \(\le\) हो सकता है। ऐसी असमिकाओं को अंतराल विधि से हल किया जाता है: सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ, गुणनखंडों में तोड़ें, संख्या रेखा पर अंश के शून्य और हर के शून्य को चिह्नित करें और चिह्न लगाएँ। नीचे - परिभाषा, पूर्ण एल्गोरिथम, बहिष्कृत बिंदुओं का नियम, मूलों की बहुलता, हल किए गए उदाहरण और एक सत्यापन ट्रेनर।
परिमेय असमिका क्या है?
परिमेय असमिका एक असमिका है जिसके दोनों पक्ष परिमेय व्यंजक के रूप में लिखे जाते हैं, यानी बहुपद और बहुपदों से बनी भिन्न। सब कुछ एक पक्ष में ले जाने के बाद यह हमेशा इस रूप में बदल जाती है
जहाँ \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं, और \(\vee\) के स्थान पर \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) में से कोई एक चिह्न है। दाईं ओर शून्य होना आवश्यक है - यह एक शर्त है जिसके बिना अंतराल विधि काम नहीं करती है।
परिमेय असमिकाएँ दो प्रकार की होती हैं। यदि चर केवल अंश में दिखाई देता है, तो असमिका को पूर्णांक परिमेय कहा जाता है: भाग देने के लिए कुछ नहीं है, और \(x\) के कोई भी मान उपयुक्त हैं। यदि चर हर में है, तो असमिका भिन्नात्मक-परिमेय (इसे भिन्नात्मक असमिका या भिन्न वाली असमिका भी कहा जाता है) है - और तब तुरंत एक बाधा उत्पन्न होती है \(Q(x) \neq 0\)।
असमिका के दोनों पक्षों को हर से गुणा क्यों नहीं किया जा सकता
भिन्न वाली असमिका को हल करते समय सबसे बड़ा प्रलोभन दोनों पक्षों को हर से गुणा करके 'हर से छुटकारा पाना' है। समीकरणों के साथ ऐसा किया जा सकता है, असमिकाओं के साथ नहीं। कारण सरल है: एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय असमिका का चिह्न उलट जाता है, और \(Q(x)\) व्यंजक का चिह्न पहले से अज्ञात होता है - यह \(x\) पर निर्भर करता है।
असमिका \(\frac{5}{x-3} < 1\) को देखें। दोनों पक्षों को \(x - 3\) से गुणा करें, जैसे कि यह एक धनात्मक संख्या हो: \(5 < x - 3\), यानी \(x > 8\) प्राप्त होगा। \(x = 0\) रखकर उत्तर की जाँच करें: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - असमिका सत्य है, इसलिए शून्य भी एक हल है, लेकिन यह \(x > 8\) उत्तर में शामिल नहीं है। उत्तर खो गया है।
सही तरीका है सब कुछ बाईं ओर ले जाना और एक भिन्न में लाना:
अंतिम चरण में हमने दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा किया और चिह्न उलट दिया - यह कानूनी है, क्योंकि \(-1\) हमेशा ऋणात्मक होता है। इसके बाद अंतराल विधि काम करती है, और उत्तर \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) प्राप्त होता है - इसमें खोया हुआ शून्य भी शामिल है।
याद रखने का सबसे आसान तरीका यह है: चर वाले व्यंजक से दोनों पक्षों को गुणा करना मना है, पदों को स्थानांतरित करना हमेशा संभव है। स्थानांतरण से असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
अंतराल विधि: चरण-दर-चरण हल करने की विधि
अंतराल विधि इस गुण पर आधारित है: परिमेय व्यंजक के दो क्रमागत शून्यों के बीच इसका चिह्न स्थिर रहता है। इसका मतलब है कि सभी बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है जहाँ अंश या हर शून्य हो जाता है, उन्हें संख्या रेखा को विभाजित करें और प्रत्येक खंड पर चिह्न निर्धारित करें - एक परीक्षण बिंदु या मूलों की बहुलता से।
बहिष्कृत और भरे हुए बिंदु: ODZ और असमिका का चिह्न
एक कोष्ठक में एक त्रुटि एक सही समाधान को एक गलत उत्तर में बदल देती है, इसलिए बिंदुओं के नियम को अलग से सीखना लायक है। केवल दो तर्क काम करते हैं।
पहला - स्वीकार्य मानों का क्षेत्र। हर का शून्य हमेशा बहिष्कृत होता है, असमिका के किसी भी चिह्न के लिए। इस बिंदु पर भिन्न बस मौजूद नहीं है: शून्य से भाग देना मना है, इसलिए संख्या हल नहीं हो सकती, भले ही चिह्न गैर-कठोर हो।
दूसरा - कठोर चिह्न या गैर-कठोर। अंश के शून्य भिन्न को शून्य बनाते हैं। गैर-कठोर चिह्न (\(\le\) या \(\ge\)) के साथ, शून्य के बराबर होना हमें स्वीकार्य है, इसलिए बिंदु भरा जाता है और उत्तर में वर्गाकार कोष्ठक के साथ शामिल किया जाता है। कठोर चिह्न (\(<\) या \(>\)) के साथ, शून्य उपयुक्त नहीं है, और बिंदु बहिष्कृत होता है।
उदाहरण के लिए, असमिका \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) में, बिंदु \(x = 6\) भरा जाता है (अंश का शून्य, गैर-कठोर चिह्न), और बिंदु \(x = -1\) बहिष्कृत होता है (हर का शून्य)। उत्तर: \(x \in (-1; 6]\)।
| कौन सा बिंदु | कैसे चिह्नित करें |
|---|---|
| हर का शून्य, Q(x) = 0 | बहिष्कृत हमेशा, किसी भी चिह्न के लिए - बिंदु ODZ में नहीं है |
| अंश का शून्य, कठोर चिह्न < या > | बहिष्कृत भिन्न शून्य के बराबर है, लेकिन एक कठोर चिह्न की आवश्यकता है |
| अंश का शून्य, गैर-कठोर चिह्न ≤ या ≥ | भरा हुआ शून्य के बराबर होना स्वीकार्य है, बिंदु उत्तर में शामिल है |
मूलों की बहुलता: चिह्न कहाँ बदलता है, और कहाँ नहीं
अंतरालों पर चिह्न जरूरी नहीं कि बस बारी-बारी से बदलें - यह विषय में सबसे आम गलतफहमी है। बारी-बारी से बदलना केवल तभी काम करता है जब सभी कोष्ठक पहली डिग्री में हों। नियम मूल की बहुलता - संबंधित कोष्ठक की घात के सूचकांक - के माध्यम से अधिक सटीक रूप से कहा गया है।
विषम बहुलता के मूल (घात 1, 3, 5) को पार करते समय व्यंजक का चिह्न बदल जाता है। सम बहुलता के मूल (घात 2, 4) को पार करते समय चिह्न नहीं बदलता है: सम घात वाला कोष्ठक गैर-ऋणात्मक होता है और व्यंजक के चिह्न को खराब नहीं करता है। बहुलता की गणना अंश और हर दोनों के लिए समान रूप से की जाती है।
\((x-9)^2(x+3) > 0\) लें। मूल: \(x = 9\) बहुलता 2 और \(x = -3\) बहुलता 1। नौ के दाईं ओर व्यंजक धनात्मक है। \(9\) को पार करें - बहुलता सम है, चिह्न बना रहता है, अंतराल \((-3; 9)\) पर भी प्लस है। \(-3\) को पार करें - बहुलता विषम है, चिह्न माइनस में बदल जाता है। कठोर असमिका का उत्तर: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), बिंदु \(9\) बहिष्कृत है, क्योंकि वहाँ व्यंजक शून्य के बराबर है। और गैर-कठोर \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) का उत्तर अलग है: \(x \in [-3; +\infty)\) - नौ भरा जाता है और दो अंतरालों को एक में 'चिपकाता' है।
| मूल की बहुलता | संक्रमण पर चिह्न |
|---|---|
| विषम: (x − a), (x − a)3 | बदलता है |
| सम: (x − a)2, (x − a)4 | नहीं बदलता है |
संख्या रेखा पर उदाहरण: चिह्न लगाना
सब कुछ एक साथ असमिका \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) पर इकट्ठा करें। अंश के शून्य: \(x = -7\)। हर के शून्य: \(x = 2\) और \(x = 5\), ये ODZ भी निर्धारित करते हैं। सभी तीन कोष्ठक पहली घात में हैं, इसलिए चिह्न बारी-बारी से बदलेंगे। परीक्षण बिंदु \(x = 10\) सबसे दाहिने अंतराल में \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) देता है - प्लस से शुरू करें और बाईं ओर जाएं, प्रत्येक बिंदु पर चिह्न बदलते हुए।
परिमेय असमिकाओं को हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1. सरल भिन्नात्मक असमिका
हल करें \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)।
चरण 1. दाईं ओर पहले से ही शून्य है, भिन्न पहले से ही एक है - स्थानांतरित करने या लाने के लिए कुछ भी नहीं है।
चरण 2. ODZ। \(x + 5 \neq 0\), यानी \(x \neq -5\)।
चरण 3. शून्य। अंश शून्य होता है जब \(x = 3\), हर - जब \(x = -5\)।
चरण 4. रेखा पर बिंदु। \(x = 3\) भरा जाता है (अंश का शून्य, गैर-कठोर चिह्न), \(x = -5\) बहिष्कृत होता है (हर का शून्य)।
चरण 5. चिह्न। परीक्षण बिंदु \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - दाईं ओर प्लस। दोनों कोष्ठक पहली घात में हैं, इसलिए चिह्न बारी-बारी से बदलेंगे: \((-5; 3)\) पर माइनस, \((-\infty; -5)\) पर प्लस। जाँच करें: \(x = -6\) पर हमें \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) मिलता है - मेल खाता है।
चरण 6. उत्तर। 'प्लस या शून्य' चिह्न चाहिए: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)।
उदाहरण 2. दाईं ओर शून्य नहीं है - स्थानांतरित करें
हल करें \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)।
चरण 1. एक को बाईं ओर ले जाएँ। \(x - 4\) से गुणा करना मना है, इस व्यंजक का चिह्न अज्ञात है:
चरण 2. एक भिन्न में लाएँ।
चरण 3. ODZ। \(x \neq 4\)।
चरण 4. बिंदु। \(x = -5\) - अंश का शून्य, गैर-कठोर चिह्न, भरा जाता है। \(x = 4\) - हर का शून्य, बहिष्कृत होता है।
चरण 5. चिह्न। \(x = 5\) पर भिन्न \(\frac{10}{1} > 0\) के बराबर है। इसका मतलब है कि \((4; +\infty)\) पर प्लस, \((-5; 4)\) पर माइनस, \((-\infty; -5)\) पर प्लस।
चरण 6. उत्तर। \(x \in [-5; 4)\)। सीमा बिंदुओं की जाँच: \(x = -5\) पर भिन्न शून्य के बराबर है - \(\le\) के लिए उपयुक्त है; \(x = 4\) पर भिन्न मौजूद नहीं है - उपयुक्त नहीं है।
उदाहरण 3. सम बहुलता का मूल और एक अलग बिंदु
हल करें \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)।
चरण 1. ODZ। \(x \neq 9\)।
चरण 2. शून्य और बहुलताएँ। \(x = 2\) - बहुलता 2 (सम), \(x = -6\) - बहुलता 1, \(x = 9\) - हर में बहुलता 1।
चरण 3. बिंदु। \(x = 2\) और \(x = -6\) भरे जाते हैं (गैर-कठोर चिह्न पर अंश के शून्य), \(x = 9\) बहिष्कृत होता है।
चरण 4. चिह्न। परीक्षण बिंदु \(x = 10\): अंश धनात्मक है, हर 1 के बराबर है - प्लस। बाईं ओर जाएँ। \(9\) (विषम बहुलता) से गुजरते हुए चिह्न बदलता है: \((2; 9)\) पर माइनस। \(2\) ( सम बहुलता) से गुजरते हुए चिह्न नहीं बदलता है: \((-6; 2)\) पर भी माइनस। \(-6\) (विषम बहुलता) से गुजरते हुए चिह्न बदलता है: \((-\infty; -6)\) पर प्लस।
चरण 5. उत्तर। 'प्लस' वाले अंतराल चुनें और वे सभी बिंदु जहाँ व्यंजक शून्य के बराबर है। बिंदु \(x = 2\) माइनस अंतराल के भीतर स्थित है, लेकिन व्यंजक स्वयं वहाँ शून्य के बराबर है, इसलिए यह उत्तर में अलग से शामिल है:
उत्तर में ऐसा 'अकेला' बिंदु सम बहुलता के मूल और गैर-कठोर चिह्न होने का एक निश्चित संकेत है।
उदाहरण 4. भिन्न को सरल बनाना: ODZ के साथ एक जाल
हल करें \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)।
चरण 1. गुणनखंड करें। अंश एक पूर्ण वर्ग है: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). हर के लिए विविक्तकर की गणना करें: \(D = 81 + 40 = 121\), मूल \(x_1 = \frac{1}{5}\) और \(x_2 = -2\), इसलिए \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)।
चरण 2. ODZ - किसी भी सरलीकरण से पहले। \(5x - 1 \neq 0\) और \(x + 2 \neq 0\), यानी \(x \neq \frac{1}{5}\) और \(x \neq -2\)।
चरण 3. सरल करें। \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), लेकिन केवल \(x \neq \frac{1}{5}\) के लिए - सरलीकरण बहिष्कृत बिंदु को वापस नहीं लाता है।
चरण 4. \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) हल करें। शून्य: \(\frac{1}{5}\) और \(-2\)। \(x = 1\) पर भिन्न \(\frac{4}{3} > 0\) है। इसका मतलब है कि \((\frac{1}{5}; +\infty)\) पर प्लस, \((-2; \frac{1}{5})\) पर माइनस, \((-\infty; -2)\) पर प्लस।
चरण 5. ODZ वापस लाएँ। अंतराल \((-2; \frac{1}{5}]\) चिह्न के अनुसार उपयुक्त होगा, लेकिन बिंदु \(\frac{1}{5}\) बहिष्कृत है: मूल असमिका में हर \(5x^2+9x-2\) बिंदु \(x = \frac{1}{5}\) पर शून्य हो जाता है, वहाँ भिन्न मौजूद नहीं है।
उत्तर: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - दोनों कोष्ठक गोल हैं।
उदाहरण 5. अंश में द्विघात बहुपद
हल करें \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)।
चरण 1. अंश का गुणनखंड करें। वीटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग 7 है, गुणनफल 10 है, जिसका अर्थ है \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)। असमिका \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) का रूप लेती है।
चरण 2. ODZ। \(x \neq -4\)।
चरण 3. बिंदु। सभी तीन बिंदु बहिष्कृत हैं: \(-4\) - हर का शून्य, \(2\) और \(5\) - कठोर चिह्न पर अंश के शून्य।
चरण 4. चिह्न। परीक्षण बिंदु \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)। सभी कोष्ठक पहली घात में हैं, इसलिए चिह्न बारी-बारी से बदलेंगे: \((5; +\infty)\) पर प्लस, \((2; 5)\) पर माइनस, \((-4; 2)\) पर प्लस, \((-\infty; -4)\) पर माइनस।
चरण 5. उत्तर। कठोर माइनस चाहिए: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)। प्रतिस्थापन द्वारा नियंत्रण: \(x = -5\) पर हमें \(\frac{70}{-1} < 0\) मिलता है, \(x = 3\) पर \(\frac{-2}{7} < 0\) - दोनों अंतराल उपयुक्त हैं।
परिमेय असमिकाओं को हल करते समय सामान्य त्रुटियाँ
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दोनों पक्षों को हर से गुणा करते हैं: $\frac{3}{x-8} > 1$ से $3 > x - 8$ बनाते हैं और $x < 11$ लिखते हैं।
व्यंजक \(x - 8\) का चिह्न पहले से अज्ञात है, और ऋणात्मक से गुणा करने पर असमिका उलट जाती है। जाँच: \(x = 0\) पर \(\frac{3}{-8} < 1\) मिलता है - शून्य उत्तर \(x < 11\) में आने के बावजूद हल नहीं है। सही: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), यानी \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), जिससे \(x \in (8; 11)\)।
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हर के शून्य को भरते हैं, क्योंकि चिह्न गैर-कठोर है: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ के लिए वे सात के पास वर्गाकार कोष्ठक के साथ उत्तर लिखते हैं।
हर का शून्य हमेशा, किसी भी चिह्न के लिए बहिष्कृत होता है: उस बिंदु पर भिन्न बस मौजूद नहीं है। सही उत्तर: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - एक के पास कोष्ठक वर्गाकार है, सात के पास गोल है।
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भिन्न को सरल बनाते हैं और ODZ खो देते हैं: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ से $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ प्राप्त करते हैं और उत्तर में बिंदु $x = -3$ को शामिल करते हैं।
ODZ को सरलीकरण से पहले, मूल हर के अनुसार लिखा जाता है: \(x \neq -3\) और \(x \neq 5\)। सरल भिन्न \(\frac{x+3}{x-5}\) अंतराल \([-3; 5)\) पर गैर-धनात्मक है - \(x = 0\) पर यह \(-0{,}6\) के बराबर है, जो \(\le\) चिह्न के लिए आवश्यक है। लेकिन बिंदु \(-3\) ODZ के कारण बहिष्कृत है, इसलिए उत्तर \((-3; 5)\) है, न कि \([-3; 5)\)।
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मानते हैं कि अंतरालों पर चिह्न हमेशा बारी-बारी से बदलते हैं, और $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ के लिए वे एक के दाईं ओर माइनस लगाते हैं।
बारी-बारी से बदलना केवल तभी सही होता है जब कोष्ठक पहली घात में हों। मूल \(x = 1\) की बहुलता 2 है, इसलिए इसके पार चिह्न नहीं बदलता है। व्यंजक \((-4; +\infty)\) पर पूरी तरह से धनात्मक है, सिवाय स्वयं एक के, जहाँ यह शून्य के बराबर है। उत्तर: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)।
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एक पद को स्थानांतरित करते समय असमिका का चिह्न बदलते हैं: $\frac{x}{x-2} \le 3$ से $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ बनाते हैं।
एक पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने से असमिका का चिह्न नहीं बदलता है - केवल उस पद का चिह्न बदलता है। चिह्न केवल दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलट जाता है। सही: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), आगे \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), यानी \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)।
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केवल अंश के शून्य को रेखा पर चिह्नित करते हैं, और हर की जाँच 'बाद में' करते हैं: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ के लिए वे एक बिंदु $-11$ लगाते हैं।
रेखा पर सभी शून्य एक साथ चिह्नित किए जाते हैं - अंश और हर दोनों के, अन्यथा अंतराल गलत हो जाएंगे। यहाँ \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), इसलिए तीन बिंदु हैं: \(-11\), \(-4\) और \(4\), न कि एक। सभी बहिष्कृत हैं (कठोर चिह्न), उत्तर: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)।
प्रश्न और उत्तर
परिमेय असमिका क्या है?
यह एक असमिका है जिसके दोनों पक्ष परिमेय व्यंजक (बहुपद और बहुपदों से बनी भिन्न) हैं। सब कुछ बाईं ओर ले जाने के बाद यह \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) के रूप में बदल जाती है, जहाँ \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं, और \(>\) के स्थान पर \(<\), \(\le\) या \(\ge\) हो सकता है।
परिमेय असमिकाएँ कैसे हल करें?
छह चरणों वाली अंतराल विधि से: सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ ताकि दाईं ओर शून्य बचे; एक भिन्न में लाएँ और अंश और हर का गुणनखंड करें; ODZ लिखें (\(Q(x) \neq 0\)); संख्या रेखा पर अंश और हर के शून्य चिह्नित करें; परीक्षण बिंदु और मूलों की बहुलता के आधार पर अंतरालों पर चिह्न लगाएँ; वांछित चिह्न वाले अंतराल उत्तर के रूप में लिखें।
भिन्नात्मक-परिमेय असमिका पूर्णांक परिमेय असमिका से कैसे भिन्न होती है?
पूर्णांक परिमेय में चर केवल अंश में होता है, उदाहरण के लिए \((x-1)(x+4) > 0\), और ODZ - सभी वास्तविक संख्याएँ। भिन्नात्मक-परिमेय में चर हर में होता है, उदाहरण के लिए \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), और एक बाधा \(x \neq -4\) उत्पन्न होती है। एल्गोरिथम एक ही है - केवल बहिष्कृत बिंदु बदलते हैं।
भिन्न वाली असमिकाएँ कैसे हल करें?
किसी भी परिमेय असमिका की तरह: पहले सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ और एक भिन्न में लाएँ, न कि हर से छुटकारा पाने की कोशिश करें। उदाहरण के लिए, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) को \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\) में बदल दिया जाता है, यानी \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)। अंश स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए भिन्न केवल ऋणात्मक हर के लिए गैर-ऋणात्मक होती है: \(x + 2 < 0\)। उत्तर: \(x \in (-\infty; -2)\)।
असमिका के दोनों पक्षों को हर से गुणा क्यों नहीं किया जा सकता?
क्योंकि हर का चिह्न \(x\) पर निर्भर करता है: धनात्मक व्यंजक से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बना रहता है, और ऋणात्मक से गुणा करने पर - उलट जाता है। पहले से यह अज्ञात है कि आपके सामने कौन सा मामला है, इसलिए कुछ हल खो जाते हैं, और कुछ अतिरिक्त जोड़े जाते हैं। पदों को स्थानांतरित करना हमेशा संभव है - स्थानांतरण से असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
असमिका में ODZ कैसे ज्ञात करें?
परिमेय असमिका के लिए ODZ - यह \(x\) के सभी मान हैं जिनके लिए हर शून्य नहीं होता है। हर को शून्य के बराबर करें, समीकरण हल करें और पाए गए संख्याओं को बाहर करें। ODZ को मूल हर के अनुसार, भिन्न को सरल बनाने से पहले लिखना आवश्यक है - अन्यथा बहिष्कृत बिंदु खो जाएंगे।
कौन से बिंदु बहिष्कृत होते हैं, और कौन से भरे जाते हैं?
हर के शून्य हमेशा, असमिका के किसी भी चिह्न के लिए बहिष्कृत होते हैं। अंश के शून्य गैर-कठोर चिह्न (\(\le\) या \(\ge\)) पर भरे जाते हैं और कठोर (\(<\) या \(>\)) पर बहिष्कृत होते हैं। उत्तर के लेखन में, बहिष्कृत बिंदु के लिए एक गोल कोष्ठक होता है, भरे हुए के लिए - एक वर्गाकार कोष्ठक।
मूल की बहुलता क्या है और यह अंतराल विधि में क्यों आवश्यक है?
बहुलता वह घात है जिसमें कोष्ठक गुणनखंडन में आता है। विषम बहुलता के मूल को पार करते समय व्यंजक का चिह्न बदल जाता है, सम बहुलता के मूल को पार करते समय - बना रहता है। यही कारण है कि चिह्न हमेशा बारी-बारी से नहीं बदलते हैं: \((x-9)^2(x+3)\) में बिंदु \(9\) पर चिह्न वही रहता है।
परिमेय असमिकाएँ किस कक्षा में पढ़ाई जाती हैं?
9वीं कक्षा में बीजगणित के पाठों में, द्विघात असमिकाओं और बहुपदों के गुणनखंडन के बाद। अंतराल विधि का उपयोग आगे घातीय, लघुगणकीय और अपरिमेय असमिकाओं के लिए, साथ ही OGE और प्रोफाइल ЕГЭ के कार्यों में किया जाता है।
