दशमलव संख्या वह है जिसमें पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु (दशमलव) द्वारा अलग किया जाता है: 3.25 या 0.7। दशमलव संख्याओं के साथ सभी संक्रियाएँ — जोड़, घटाव, गुणा और भाग — लगभग प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही की जाती हैं; मुख्य बात दशमलव बिंदु का ध्यान रखना है। इस पृष्ठ पर, हमने कॉलम वाले उदाहरणों के साथ सभी नियम, दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए एक गाइड, सामान्य गलतियों का विश्लेषण और स्व-परीक्षण के लिए एक इंटरैक्टिव ट्रेनर एकत्र किया है।
दशमलव के स्थान
दशमलव बिंदु के बाद प्रत्येक अंक का अपना नाम और मान होता है:
- पहला स्थान — दशांश (0.1);
- दूसरा — शतांश (0.01);
- तीसरा — सहस्त्रांश (0.001) और इसी तरह।
महत्वपूर्ण गुण: यदि आप भिन्नात्मक भाग के दाईं ओर शून्य जोड़ते हैं, तो संख्या नहीं बदलती: 5.7 = 5.70 = 5.700। हम इस गुण का लगातार उपयोग करेंगे — यह हमें जोड़, घटाव और तुलना करते समय दशमलव के बाद अंकों की संख्या को समान करने की अनुमति देता है।
दशमलव संक्रियाएँ: संक्षिप्त गाइड
प्रत्येक संक्रिया का दशमलव बिंदु के बारे में अपना मुख्य नियम होता है। नीचे दिए गए चार कार्ड इस विषय का सार हैं, और आगे प्रत्येक संक्रिया को उदाहरणों के साथ विस्तार से समझाया गया है।
दशमलव संख्याओं का कॉलम में जोड़ और घटाव
जोड़ और घटाव एक ही नियम का पालन करते हैं:
- संख्याओं को कॉलम में इस तरह लिखें कि दशमलव बिंदु बिल्कुल एक-दूसरे के नीचे हो — तब समान स्थान एक-दूसरे के नीचे आ जाएंगे: दशांश के नीचे दशांश, शतांश के नीचे शतांश।
- यदि दशमलव के बाद अंकों की संख्या अलग-अलग है, तो उन्हें शून्य लगाकर बराबर करें।
- दशमलव की चिंता किए बिना, प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें या घटाएं।
- उत्तर में, मूल संख्याओं के दशमलव बिंदु के ठीक नीचे दशमलव लगाएं।
एक पूर्णांक को भी दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है: 6 = 6.00 — यह 6 − 2.35 जैसे उदाहरणों में मदद करता है।
दशमलव संख्याओं के गुणा का नियम
गुणा एकमात्र संक्रिया है जहाँ दशमलव बिंदुओं को संरेखित करने की आवश्यकता नहीं है। दशमलव संख्याओं के गुणा का नियम दो चरणों में होता है:
- संख्याओं को दशमलव की चिंता किए बिना गुणा करें — जैसे सामान्य प्राकृतिक संख्याएँ।
- परिणाम में, दाईं ओर से उतने अंक गिनकर दशमलव लगाएं जितने दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद कुल अंक हैं।
यदि गुणनफल में अंक कम हैं, तो बाईं ओर शून्य जोड़ें: 12 × 3 = 36, लेकिन 0.12 × 0.3 के लिए हमें तीन अंक अलग करने हैं, इसलिए उत्तर 0.036 है।
त्वरित स्व-परीक्षण: एक से छोटी संख्या से गुणा करने पर परिणाम पहले गुणक से छोटा होना चाहिए। यदि यह बड़ा है, तो दशमलव गलत जगह पर है।
दशमलव संख्याओं का भाग
यहाँ दो स्थितियाँ हैं।
प्राकृतिक संख्या से भाग। सामान्य रूप से भाग करें, और भागफल में दशमलव तब लगाएं जब भाज्य का पूर्णांक भाग समाप्त हो जाए: 8.46 : 2 = 4.23।
दशमलव संख्या से भाग। पहले भाजक से दशमलव हटाएं: दशमलव को भाज्य और भाजक दोनों में दाईं ओर समान संख्या में खिसकाएं — यानी दोनों संख्याओं को 10, 100 या 1000 से गुणा करें। इससे भागफल नहीं बदलता है, और भाग पहली स्थिति की तरह सरल हो जाता है।
10, 100, 1000 से गुणा और भाग
दशमलव संख्याओं के साथ सबसे तेज़ संक्रियाएँ 10, 100 या 1000 से गुणा और भाग हैं। कॉलम की आवश्यकता नहीं है: बस दशमलव को उतने ही स्थानों तक खिसकाएं जितने 10, 100 या 1000 में शून्य हैं। यदि अंक कम पड़ें, तो शून्य जोड़ें।
दशमलव संख्याओं की तुलना
दशमलव संख्याओं की तुलना स्थान के अनुसार की जाती है:
- पहले पूर्णांक भाग: जिस संख्या का पूर्णांक भाग बड़ा है, वह बड़ी है।
- यदि पूर्णांक भाग बराबर हैं — तो दशांश, फिर शतांश, फिर सहस्त्रांश की तुलना करें, जब तक कि अंतर न मिल जाए।
- भ्रम से बचने के लिए, शून्य लगाकर अंकों की संख्या बराबर करें: 5.7 और 5.68 की तुलना 5.70 और 5.68 के रूप में करना आसान है — सत्तर शतांश, अड़सठ शतांश से बड़े हैं, इसलिए 5.7 > 5.68।
लिखावट की लंबाई कुछ नहीं बताती: 0.5, 0.4999 से बड़ा है, भले ही इसमें अंक कम हों।
दशमलव संख्याओं के साथ संक्रियाएँ: समाधान के साथ उदाहरण
उदाहरण 1. जोड़: 5.3 + 2.47
चरण 1. दशमलव के बाद अंकों को बराबर करें: 5.3 = 5.30।
चरण 2. कॉलम में लिखें, दशमलव के नीचे दशमलव।
चरण 3. प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें: 530 + 247 = 777।
चरण 4. योग के दशमलव के नीचे दशमलव लगाएं: 7.77।
उदाहरण 2. पूर्णांक से घटाव: 6 − 2.35
चरण 1. 6 को दशमलव के रूप में लिखें: 6 = 6.00।
चरण 2. कॉलम में लिखें: 6.00 − 2.35।
चरण 3. उच्च स्थानों से उधार लेकर घटाएं: 3.65।
जाँच। 3.65 + 2.35 = 6 — सही है।
उदाहरण 3. गुणा: 2.5 × 0.04
चरण 1. दशमलव की चिंता किए बिना गुणा करें: 25 × 4 = 100।
चरण 2. दशमलव के बाद के अंक गिनें: 2.5 में एक और 0.04 में दो — कुल तीन।
चरण 3. दाईं ओर से तीन अंक अलग करें: 0.100।
चरण 4. भिन्नात्मक भाग के अंत में शून्य हटाएं: 0.1।
क्रम की जाँच। 0.04 एक से छोटा है, इसलिए उत्तर 2.5 से छोटा होना चाहिए — सही है।
उदाहरण 4. दशमलव संख्या से भाग: 1.44 : 1.2
चरण 1. भाजक को पूर्णांक बनाएं: दोनों संख्याओं में दशमलव को एक स्थान दाईं ओर खिसकाएं — हमें 14.4 : 12 मिलता है।
चरण 2. पूर्णांक भाग को भाग करें: 14 : 12 = 1, शेष 2।
चरण 3. पूर्णांक भाग समाप्त हो गया — भागफल में दशमलव लगाएं और 4 नीचे लाएं: 24 : 12 = 2।
उत्तर: 1.2। जाँच: 1.2 × 1.2 = 1.44।
दशमलव संख्याओं के साथ संक्रियाओं में सामान्य गलतियाँ
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जोड़ और घटाव करते समय संख्याओं को दाईं ओर से संरेखित करना, जैसे पूर्णांकों के साथ: 3.25 + 4.8 को बिना दशमलव का ध्यान रखे कॉलम में लिखना और 3.73 प्राप्त करना।
दशमलव के अनुसार संरेखित करें, अंतिम अंक के अनुसार नहीं: 4.8 = 4.80, और तब 3.25 + 4.80 = 8.05। दशांश के नीचे दशांश और शतांश के नीचे शतांश होने चाहिए।
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गुणा करते समय दशमलव को संरेखित करने की कोशिश करना या गुणनफल में दशमलव को गुणकों के 'नीचे' लगाना।
गुणा में दशमलव को बिल्कुल भी संरेखित नहीं किया जाता है। पूर्णांकों की तरह गुणा करें और दाईं ओर से उतने अंक अलग करें जितने दोनों गुणकों में दशमलव के बाद कुल अंक हैं।
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यदि गुणनफल में अंक अलग करने के लिए कम हैं, तो शून्य खो देना: 0.12 × 0.3 = 0.36, जबकि सही 0.036 है।
12 × 3 = 36 — यह केवल दो अंक हैं, और हमें तीन अलग करने हैं। बाईं ओर आवश्यक शून्य जोड़ें: 0.036।
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दशमलव संख्या से भाग करते समय केवल भाजक में दशमलव खिसकाना: 4.2 : 0.7 को 4.2 : 7 में बदलना और 0.6 प्राप्त करना।
दशमलव को दोनों संख्याओं में समान स्थानों तक खिसकाया जाता है: 4.2 : 0.7 = 42 : 7 = 6। अन्यथा भागफल 10 गुना कम हो जाएगा।
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अंकों की संख्या के आधार पर तुलना करना: यह सोचना कि 5.68, 5.7 से बड़ा है क्योंकि लिखावट लंबी है।
शून्य लगाकर अंकों को बराबर करें और स्थान के अनुसार तुलना करें: 5.70 और 5.68 — दशांश में 7 > 6, इसलिए 5.7 > 5.68।
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10, 100, 1000 से गुणा और भाग करते समय दशमलव को गलत दिशा में खिसकाना।
गुणा संख्या को बढ़ाता है — दशमलव दाईं ओर जाता है: 3.74 × 10 = 37.4। भाग घटाता है — बाईं ओर: 3.74 : 10 = 0.374। स्थानों की संख्या शून्य की संख्या के बराबर होती है।
प्रश्न और उत्तर
कक्षा 5 में दशमलव संख्याओं के साथ कौन सी संक्रियाएँ पढ़ाई जाती हैं?
कक्षा 5 में दशमलव संख्याओं के साथ चारों संक्रियाएँ — जोड़, घटाव, गुणा और भाग, साथ ही उनकी तुलना और पूर्णांकन पढ़ाया जाता है। आमतौर पर पहले कॉलम में जोड़ और घटाव, फिर प्राकृतिक संख्या से गुणा और भाग, और अंत में दशमलव संख्या से भाग पढ़ाया जाता है।
क्या दाईं ओर शून्य जोड़ने से दशमलव संख्या बदल जाती है?
नहीं: 5.7 = 5.70 = 5.700 — यह एक ही संख्या है। शून्य जोड़ने का उपयोग जोड़, घटाव और तुलना करते समय दशमलव के बाद अंकों की संख्या को बराबर करने के लिए किया जाता है। लेकिन अंकों के बीच में शून्य डालना या संख्या के बीच से शून्य हटाना मना है — इससे संख्या बदल जाएगी।
दशमलव संख्या को पूर्णांकित कैसे करें?
वह स्थान ढूंढें जहाँ तक पूर्णांकित करना है, और उसके बाद वाले अंक को देखें: यदि वह 5 से कम है — तो पूर्णांकित होने वाला अंक नहीं बदलता (3.748 ≈ 3.7), यदि 5 या अधिक है — तो एक बढ़ जाता है (2.85 ≈ 2.9)। दाईं ओर के सभी अंक हटा दिए जाते हैं।
साधारण भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?
अंश को हर से भाग दें: 3/4 = 3 : 4 = 0.75। हर साधारण भिन्न का अंत दशमलव नहीं होता: उदाहरण के लिए, 1/3 = 0.333… — एक अनंत आवर्ती दशमलव। अंत दशमलव तब मिलता है जब हर के गुणनखंड केवल 2 और 5 हों।
दशमलव संख्याओं वाले व्यंजकों में संक्रियाओं का क्रम क्या है?
क्रम वही है जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए है: पहले कोष्ठक, फिर बाएं से दाएं गुणा और भाग, फिर बाएं से दाएं जोड़ और घटाव। संख्याओं का दशमलव रूप संक्रियाओं के क्रम को प्रभावित नहीं करता है।
क्या छोटी दशमलव संख्या को बड़ी से भाग दिया जा सकता है?
हाँ। यदि भाज्य भाजक से छोटा है, तो भागफल बस एक से कम आएगा: 0.3 : 0.6 = 3 : 6 = 0.5। इस मामले में भागफल के पूर्णांक भाग में 0 लिखा जाता है और दशमलव के बाद भाग जारी रखा जाता है।
