Une proportion est une égalité de deux rapports, par exemple \(2:3 = 8:12\). Pour résoudre des proportions, un seul outil est nécessaire : la propriété fondamentale de la proportion : le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens. À l'école, on l'appelle la règle du « produit en croix ». Ci-dessous : qu'est-ce qu'un rapport et une proportion, comment trouver le terme inconnu, en quoi la proportionnalité directe diffère de l'inverse, analyse de problèmes sur les recettes, les échelles et les prix, introduction aux pourcentages et un simulateur de 10 problèmes.
Qu'est-ce qu'un rapport et une proportion
Un rapport de deux nombres est leur quotient. Le rapport \(2:3\) (lu « deux à trois ») indique combien de fois un nombre est plus grand que l'autre ou quelle fraction l'un représente par rapport à l'autre. On peut l'écrire de deux manières : \(2:3\) ou la fraction \(\frac{2}{3}\) — c'est la même chose.
Une proportion est une égalité de deux rapports :
Il y a quatre nombres dans une proportion, et ils ont des noms. Les nombres aux extrémités de l'écriture sont les termes extrêmes, les nombres au milieu sont les termes moyens. Une proportion est correcte lorsque les deux rapports sont égaux au même nombre.
Propriété fondamentale de la proportion : règle du produit en croix
Propriété fondamentale de la proportion : le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.
Pourquoi est-ce ainsi ? Multiplions les deux côtés de l'égalité \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) par \(b \cdot d\). Le \(b\) se simplifiera à gauche, le \(d\) à droite, et il restera exactement \(a \cdot d = c \cdot b\). Aucune magie, juste une propriété des égalités.
C'est précisément ce que les écoliers appellent « résoudre des proportions par produit en croix » : on multiplie les nombres en diagonale, en croix. La propriété fonctionne aussi dans l'autre sens : si pour quatre nombres (aucun n'étant zéro) on a \(a \cdot d = b \cdot c\), alors on peut former une proportion correcte avec eux.
Cela donne immédiatement deux compétences : vérifier si une proportion est correcte, et trouver le nombre inconnu dedans.
Comment trouver le terme inconnu d'une proportion
La propriété fondamentale donne deux règles simples :
- terme extrême inconnu = produit des moyens : terme extrême connu ;
- terme moyen inconnu = produit des extrêmes : terme moyen connu.
Il n'est pas nécessaire de les mémoriser par cœur. Une seule méthode universelle suffit : multiplier en croix, obtenir une égalité de la forme « nombre \(\cdot\, x\) = nombre » et diviser. Analysons cela étape par étape avec la proportion \(x : 7 = 12 : 21\).
La dernière étape, la vérification, prend cinq secondes et permet de repérer presque toute erreur arithmétique, il ne faut donc pas la négliger.
Proportionnalité directe et inverse
On dit que deux grandeurs sont directement proportionnelles si, lorsque l'une est multipliée par un certain nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. On achète deux fois plus de cahiers, on paie deux fois plus cher. Le rapport de ces grandeurs reste constant.
Les grandeurs sont inversement proportionnelles si, lorsque l'une est multipliée par un certain nombre, l'autre est divisée par ce même nombre. Deux fois plus d'ouvriers, deux fois moins de jours pour le même travail. Le produit de ces grandeurs reste constant.
La principale différence apparaît au moment d'écrire la proportion. Pour une dépendance directe, elle s'écrit telle quelle : \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Pour une dépendance inverse, le second rapport est inversé : \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Pourquoi ? Pour une dépendance inverse, le produit est constant : \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Divisons les deux côtés par \(a_2 \cdot b_1\) — et on obtient précisément \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Donc, « inverser » n'est pas un sortilège à mémoriser, mais une conséquence du fait que c'est le produit qui reste constant, et non le rapport.
| Critère | Directe | Inverse |
|---|---|---|
| Relation | plus → plus | plus → moins |
| Constant | rapport a : b | produit a × b |
| Écriture | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Exemple | 3 stylos — 90 ₽, 5 stylos — 150 ₽ | 4 peintres — 9 jours, 6 peintres — 6 jours |
Comment établir une proportion pour un problème : recette, échelle, prix
Les problèmes textuels « de proportion » se résolvent selon un scénario unique :
- Écrire la condition en deux colonnes de manière à ce que les grandeurs identiques soient l'une sous l'autre (portions sous portions, grammes sous grammes).
- Désigner l'inconnue par \(x\).
- Déterminer le type de dépendance : augmenter mentalement la première grandeur et observer si la seconde augmente ou diminue.
- Établir la proportion — pour une dépendance inverse, inverser le second rapport.
- Résoudre par produit en croix et vérifier si la réponse est raisonnable.
Illustrons avec une recette. Pour 4 portions de crêpes, il faut 300 g de farine — combien de farine pour 6 portions ? Plus de portions, donc plus de farine : dépendance directe, la proportion s'établit « telle quelle » :
Pour 6 portions, il faut 450 g de farine. La réponse est raisonnable : on a 1,5 fois plus de portions, et il faut 1,5 fois plus de farine.
Les problèmes d'échelle (la distance sur la carte est au rapport de la distance réelle comme 1 au facteur d'échelle) et de prix (la quantité d'un article est au rapport de la quantité comme le coût au coût) se résolvent de la même manière. Analyses complètes dans les exemples ci-dessous.
Pourcentages via une proportion
Un pourcentage est un centième d'un nombre, donc tout problème simple de pourcentage se transforme en proportion :
Quelque chose manque parmi ces quatre nombres — c'est ce que l'on cherche par produit en croix.
Trouver la partie. Combien font 15% de 240 ? On établit \(x : 240 = 15 : 100\), donc \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) et \(x = 36\).
Trouver le tout. Le nombre 21 représente 35% d'un certain nombre. On établit \(21 : x = 35 : 100\), donc \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) et \(x = 60\).
Trouver le pourcentage. Quel pourcentage représente 18 par rapport à 45 ? On établit \(18 : 45 = p : 100\), donc \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) et \(p = 40\), c'est-à-dire 40%.
Une méthode — trois types de problèmes différents, rien de plus à mémoriser. La question « de combien de pour cent la grandeur a-t-elle augmenté ou diminué » est à part : on calcule d'abord la variation, puis on la divise par la valeur initiale — c'est déjà la formule de variation en pourcentage, et non une simple proportion.
Exemples de résolution de proportions avec explication étape par étape
Exemple 1. Terme moyen inconnu
Problème. Trouvez le terme inconnu de la proportion \(15 : x = 45 : 24\).
Étape 1. On identifie les termes. Les extrêmes sont 15 et 24, les moyens sont \(x\) et 45.
Étape 2. On applique la propriété fondamentale : \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), soit \(360 = 45x\).
Étape 3. On divise : \(x = 360 : 45 = 8\).
Vérification. \(15 : 8 = 1{,}875\) et \(45 : 24 = 1{,}875\) — les rapports sont égaux.
Réponse : \(x = 8\).
Exemple 2. Proportionnalité directe : prix et quantité
Problème. Six cahiers coûtent 210 ₽. Combien coûtent 10 cahiers identiques ?
Étape 1. Plus de cahiers — plus de coût, donc la dépendance est directe.
Étape 2. On écrit la condition de manière à ce que les grandeurs identiques soient côte à côte, et on établit la proportion « telle quelle » :
Étape 3. Produit en croix : \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), donc \(x = 2100 : 6 = 350\).
Vérification. Un cahier coûte \(210 : 6 = 35\) ₽, et dix coûtent \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Ça correspond.
Réponse : 350 ₽.
Exemple 3. Proportionnalité inverse : ouvriers et jours
Problème. Huit ouvriers réalisent une commande en 15 jours. En combien de jours 12 ouvriers réaliseront-ils la même commande, s'ils travaillent à la même vitesse ?
Étape 1. Plus d'ouvriers — moins de jours nécessaires. La dépendance est inverse.
Étape 2. On établit la proportion en inversant le second rapport :
Ici, \(x\) représente les jours pour 12 ouvriers, et 15 les jours pour 8 ouvriers : ils ont échangé leurs places car la dépendance est inverse.
Étape 3. Produit en croix : \(8 \cdot 15 = 12x\), soit \(120 = 12x\) et \(x = 10\).
Vérification. Le produit est constant : \(8 \cdot 15 = 120\) et \(12 \cdot 10 = 120\). Ça correspond, et la réponse est raisonnable — moins de jours.
Réponse : 10 jours.
Exemple 4. Échelle de carte
Problème. L'échelle de la carte est de \(1 : 200\,000\). La distance entre deux villages sur la carte est de 7 cm. Quelle est la distance entre eux sur le terrain ?
Étape 1. L'échelle \(1 : 200\,000\) signifie : 1 cm sur la carte correspond à 200 000 cm sur le terrain. C'est un rapport prêt à l'emploi.
Étape 2. On établit la proportion :
Étape 3. Produit en croix : \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), soit \(x = 1\,400\,000\) cm.
Étape 4. On convertit en unités pratiques : un kilomètre contient 100 000 cm, donc \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Réponse : 14 km.
Exemple 5. Pourcentages via une proportion
Problème. Dans une classe de 25 élèves, 60% d'entre eux sont partis en excursion. Combien d'élèves sont partis en excursion ?
Étape 1. Le tout représente les 25 élèves, ce qui correspond à 100%. La partie recherchée est \(x\) élèves, ce qui correspond à 60%.
Étape 2. On établit la proportion « partie : tout = pourcentage : 100 » :
Étape 3. Produit en croix : \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), donc \(x = 15\).
Vérification. 15 élèves sur 25 représentent \(15 : 25 = 0{,}6\), soit exactement 60%.
Réponse : 15 élèves.
Erreurs fréquentes lors de la résolution de proportions
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Multiplier les nombres « dans le sens de la longueur » et non en croix : dans la proportion 5 : 2 = 20 : 8, on calcule 5 · 2 et 20 · 8.
La propriété fondamentale relie les termes extrêmes aux termes moyens, c'est-à-dire les nombres en diagonale : 5 · 8 = 40 et 2 · 20 = 40. Les produits sont égaux — la proportion est correcte. Or, 5 · 2 et 20 · 8 ne sont pas égaux et ne signifient rien.
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Dans un problème de dépendance inverse, on établit une proportion « directe ». Six pompes remplissent une piscine en 10 heures ; l'écriture 6 : 15 = 10 : x donne 25 heures pour 15 pompes.
Plus de pompes — moins de temps devrait être nécessaire, mais on obtient plus de temps : la proportion n'est donc pas établie correctement. Il faut inverser le second rapport : 6 : 15 = x : 10, alors 15x = 60 et x = 4 heures. Vérifiez toujours la réponse par le bon sens.
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Après le « produit en croix », on divise dans le mauvais sens : de l'égalité 8x = 96, on obtient x = 8 : 96.
Pour trouver x, on divise le produit par le coefficient qui est à côté de x : x = 96 : 8 = 12. Une bonne habitude est de substituer le nombre trouvé : 8 · 12 = 96, tout est correct.
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Ne pas harmoniser les unités de mesure. Dans un problème d'échelle 1 : 50 000 avec 3 cm sur la carte, on donne la réponse « 1,5 » sans unité ou on l'appelle mètres.
On calcule d'abord dans les unités où l'échelle est donnée : 3 · 50 000 = 150 000 cm. Et seulement ensuite on convertit : 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Les unités dans la réponse sont aussi importantes que le nombre lui-même.
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Confondre rapport et proportion : à la demande d'établir une proportion, on écrit un seul rapport « 12 : 4 ».
Un rapport est un quotient de deux nombres, par exemple 12 : 4. Une proportion est une égalité de deux rapports, elle contient obligatoirement quatre nombres et un signe d'égalité : 12 : 4 = 30 : 10 (on vérifie : 12 · 10 = 120 et 4 · 30 = 120).
Questions et réponses
Quelle est la différence entre un rapport et une proportion ?
Un rapport est le quotient de deux nombres, par exemple 12 : 4. Une proportion est une égalité de deux rapports, elle contient quatre nombres : 12 : 4 = 30 : 10. Le rapport répond à la question « combien de fois », tandis que la proportion affirme que deux comparaisons de ce type donnent le même résultat.
Que sont les termes extrêmes et moyens d'une proportion ?
Dans l'écriture a : b = c : d, les termes extrêmes sont ceux qui sont aux extrémités, c'est-à-dire a et d. Les termes moyens sont ceux qui sont au milieu, c'est-à-dire b et c. Si la proportion est écrite sous forme de fractions, les termes extrêmes sont le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la seconde, et les termes moyens sont le dénominateur de la première et le numérateur de la seconde.
Comment vérifier si une proportion est correcte ?
Multiplier en croix et comparer les produits. Par exemple, pour 9 : 12 = 15 : 20, on calcule 9 · 20 = 180 et 12 · 15 = 180 — les nombres correspondent, donc la proportion est correcte. Si les produits sont différents, la proportion est incorrecte.
Peut-on échanger les termes d'une proportion ?
Oui, si l'on respecte les règles. Dans une proportion correcte, on peut échanger les termes extrêmes, on peut échanger les termes moyens, ou on peut inverser les deux côtés en même temps — la proportion restera correcte. De 4 : 6 = 10 : 15, on obtient 4 : 10 = 6 : 15 ou 6 : 4 = 15 : 10 — le produit en diagonale est toujours égal à 60. Mais on ne peut pas simplement échanger une seule valeur.
Que signifie « résoudre une proportion par produit en croix » ?
C'est le nom familier de la propriété fondamentale de la proportion. On multiplie les nombres en diagonale, en croix : l'extrême par l'extrême et le moyen par le moyen. Cela donne une équation avec une inconnue qui se résout par une division. Il n'existe pas de « méthode de la croix » distincte de la propriété fondamentale.
Comment comprendre si la dépendance dans un problème est directe ou inverse ?
Augmentez mentalement la première grandeur d'un facteur 2 et observez la seconde. Si elle augmente aussi d'un facteur 2, la dépendance est directe, la proportion s'établit « telle quelle ». Si elle diminue d'un facteur 2, la dépendance est inverse, il faut inverser le second rapport. Autre indice : pour une dépendance directe, le rapport des grandeurs est constant, pour une dépendance inverse, c'est leur produit.
Comment résoudre des problèmes de pourcentages via une proportion ?
Établissez la proportion « partie : tout = pourcentage : 100 » et trouvez l'inconnue par produit en croix. Par exemple, 12% de 350 : on obtient x : 350 = 12 : 100, donc 100x = 4200 et x = 42. On utilise la même méthode pour trouver le tout à partir de la partie connue, et le pourcentage lui-même.
