La racine carrée d'un nombre \(a\) est un nombre dont le carré est égal à \(a\), et par racine carrée arithmétique, on entend seulement sa valeur non négative : \(\sqrt{25} = 5\). On ne peut extraire la racine que de nombres non négatifs, mais les propriétés de la racine transforment des expressions complexes en expressions courtes. Sur cette page — définition et domaine de définition, toutes les propriétés de la racine carrée avec formules, tableau des racines carrées de 1 à 20, méthodes d'extraction de la racine et de sortie d'un facteur, exemples résolus, erreurs fréquentes et un entraîneur interactif.
Qu'est-ce qu'une racine carrée d'un nombre
La racine carrée d'un nombre \(a\) est un nombre dont le carré est égal à \(a\). L'extraction de la racine et l'élévation au carré sont des opérations mutuellement inverses : de \(7^2 = 49\), il découle immédiatement que la racine carrée de 49 est 7.
Mais un nombre positif a exactement deux racines carrées, qui ne diffèrent que par le signe : \(5^2 = 25\) et \((-5)^2 = 25\), c'est-à-dire que les racines carrées de 25 sont à la fois \(5\) et \(-5\). Pour que la notation \(\sqrt{25}\) désigne un seul nombre, on a convenu que le signe \(\sqrt{\phantom{a}}\) représente uniquement la racine non négative. C'est elle qu'on appelle arithmétique.
La notation a ses propres noms : le signe \(\sqrt{\phantom{a}}\) est le radical, et le nombre ou l'expression sous celui-ci est l'expression sous le radical.
Racine carrée arithmétique : définition et domaine de définition
La racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif \(a\) est le nombre non négatif dont le carré est égal à \(a\). On la note \(\sqrt{a}\) et on la lit « racine de a ».
La définition contient deux conditions, toutes deux également importantes :
- l'expression sous le radical est non négative : \(a \ge 0\) ;
- la valeur de la racine est non négative : \(\sqrt{a} \ge 0\).
De là, nous obtenons immédiatement : \(\sqrt{25} = 5\), et non \(-5\) ; \(\sqrt{0} = 0\) ; et la notation \(\sqrt{-9}\) n'a pas de sens dans les nombres réels — il n'existe pas de nombre dont le carré soit négatif.
La première condition définit le domaine de définition d'une expression avec une racine. Par exemple, \(\sqrt{x-7}\) a un sens si \(x - 7 \ge 0\), c'est-à-dire si \(x \ge 7\) : toute valeur de \(x\) inférieure fera passer un nombre négatif sous la racine.
De la définition découle aussi l'égalité \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\) : élever la racine au carré redonne le nombre sous le radical. Cela fonctionne même lorsque nous ne pouvons pas calculer la racine elle-même : \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tableau des racines carrées : carrés des nombres de 1 à 20
La racine carrée est extraite exactement lorsque le nombre sous le radical est un carré parfait. C'est pourquoi le tableau des carrés fonctionne aussi comme un tableau des racines carrées : on le lit dans les deux sens — \(14^2 = 196\), donc \(\sqrt{196} = 14\).
Le tableau est utile non seulement pour les nombres entiers :
- nombres décimaux : \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), car \(0{,}8^2 = 0{,}64\) ;
- fractions ordinaires : \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — la racine est extraite séparément du numérateur et du dénominateur ;
- nombres ronds : \(\sqrt{2500} = 50\), car \(2500 = 25 \cdot 100\), et la racine de chaque facteur est connue.
Propriétés de la racine carrée
Les propriétés de la racine carrée permettent de calculer des expressions sans extraire chaque racine séparément, et de simplifier la réponse.
La racine d'un produit est égale au produit des racines : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\). Par exemple, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — le même résultat que \(\sqrt{144}\).
La racine d'un quotient est égale au quotient des racines : \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pour \(a \ge 0\) et \(b > 0\). Par exemple, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). La condition \(b > 0\) est stricte : on ne peut pas diviser par zéro.
La racine du carré est égale au module : \(\sqrt{a^2} = |a|\), et cela est vrai pour tout nombre \(a\). Ici réside la principale subtilité de tout le sujet. Si \(a \ge 0\), rien ne change : \(\sqrt{7^2} = 7\). Mais si \(a\) est négatif, le signe « s'assouplit » : \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), et non \(-6\) — car la racine arithmétique ne peut pas être négative.
Le carré de la racine redonne le nombre sous le radical : \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\).
Mais pour la somme et la différence, il n'y a pas de propriétés similaires : la racine d'une somme n'est pas égale à la somme des racines. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce sujet, explication — ci-dessous.
| Propriété et condition | Exemple |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpour a ≥ 0 et b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpour a ≥ 0 et b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|pour tout a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apour a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpour b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Comment extraire la racine carrée d'un nombre
Une calculatrice n'est pas toujours à portée de main, et les exercices scolaires sont presque toujours choisis de manière à ce que la racine puisse être extraite. L'ordre des actions est le suivant.
- Vérifier dans le tableau des carrés. Si le nombre figure dans le tableau, la réponse est prête : \(\sqrt{289} = 17\).
- Séparer le facteur rond. Pour les nombres avec des zéros, il est pratique de séparer \(100\), \(10\,000\), etc. : \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Décomposer en facteurs premiers. C'est une méthode universelle : \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), on divise les exposants par deux et on obtient \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Transformer un nombre décimal en fraction ordinaire. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Cela permet également d'éviter la perte de rang.
- S'il n'y a pas de carré parfait, la racine est irrationnelle. On la laisse alors dans la réponse sous forme symbolique (on écrit : \(\sqrt{30}\)), ou on l'estime entre deux carrés consécutifs.
La vérification prend une seconde : on élève le nombre obtenu au carré et on regarde si le nombre sous le radical est retrouvé. \(24^2 = 576\) — c'est correct.
Sortir un facteur de sous le signe radical
On laisse rarement une racine « brute » — on en sort tout ce qui peut l'être. La propriété \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) pour \(b \ge 0\) est utilisée : on cherche le plus grand diviseur carré du nombre sous le radical.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) ;
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) ;
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
L'opération inverse est faire rentrer un facteur sous la racine : \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) pour \(a \ge 0\). Par exemple, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Avec un facteur négatif, il faut être prudent : le moins ne rentre pas sous la racine et reste à l'extérieur. La notation correcte est \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), et non \(\sqrt{12}\).
Pourquoi est-ce utile : après avoir sorti un facteur, les racines avec la même expression sous le radical deviennent des termes semblables, et on peut les additionner. Faire rentrer un facteur sous la racine est le moyen le plus rapide de comparer deux expressions avec des racines.
Quelle est la racine carrée qui ne s'extrait pas
Si le nombre sous le radical n'est pas un carré parfait, la racine est un nombre irrationnel : sa représentation décimale est infinie et non périodique. Par exemple, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), et la valeur exacte n'est écrite qu'avec le symbole \(\sqrt{2}\). On n'écrit une réponse arrondie que si la consigne le demande.
On peut estimer une telle racine sans calculatrice : trouver deux carrés parfaits consécutifs entre lesquels se trouve le nombre sous le radical. La règle de comparaison s'applique : pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\), de \(a < b\) découle \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — un nombre sous le radical plus grand correspond à une racine plus grande.
Exemples de calculs avec des racines carrées
Exemple 1. Valeur d'une expression avec des racines
Calculer \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Étape 1. \(\sqrt{121} = 11\), car \(11^2 = 121\).
Étape 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), car \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Étape 3. On extrait la racine de la fraction par le numérateur et le dénominateur : \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Étape 4. On additionne : \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Réponse : 11.
Exemple 2. Racine d'un produit
Calculer \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Étape 1. Ces racines ne s'extraient pas séparément, donc on les combine en une seule : \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Étape 2. On calcule le produit sous la racine : \(8 \cdot 18 = 144\).
Étape 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Autre méthode — sortir les facteurs à l'avance : \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) et \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), alors \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Les réponses coïncident.
Réponse : 12.
Exemple 3. Extraction de la racine par décomposition en facteurs
Calculer \(\sqrt{576}\) et \(\sqrt{6400}\).
Étape 1. Le nombre 576 ne figure pas dans le tableau des carrés, donc on le décompose en facteurs premiers : \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Étape 2. On divise les exposants par deux : \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Étape 3. Vérification. \(24^2 = 576\) — c'est correct.
Étape 4. Pour le nombre 6400, il est plus pratique de séparer le facteur rond : \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Vérification : \(80^2 = 6400\).
Réponse : \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Exemple 4. Sortie d'un facteur et réduction des termes semblables
Simplifier \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Étape 1. On sort les facteurs de sous chaque racine : \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), donc \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Étape 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Étape 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Étape 4. On ne peut additionner que les racines avec la même expression sous le radical : \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), et le terme avec \(\sqrt{3}\) reste séparé.
Réponse : \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Exemple 5. Racine du carré d'une variable
Simplifier \(\sqrt{(x-4)^2}\) pour \(x < 4\).
Étape 1. Selon la propriété de la racine du carré, \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — on écrit immédiatement le module, et non \(x - 4\).
Étape 2. On lève le module selon la condition. Si \(x < 4\), alors la différence \(x - 4\) est négative, et le module d'un nombre négatif est le nombre opposé : \(|x-4| = 4 - x\).
Étape 3. Vérification. Prenons \(x = 1\) : à gauche \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), à droite \(4 - 1 = 3\) — ça correspond.
Réponse : \(4 - x\). À titre de comparaison, pour \(x \ge 4\), la réponse serait \(x - 4\).
Exemple 6. Comparaison d'expressions avec des racines
Comparer \(3\sqrt{5}\) et \(5\sqrt{2}\).
Étape 1. Les deux nombres sont positifs, donc on fait rentrer le facteur sous la racine : \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Étape 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Étape 3. On compare les nombres sous le radical : \(45 < 50\), et un nombre sous le radical plus grand correspond à une racine plus grande.
Réponse : \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Erreurs fréquentes lors du travail avec la racine carrée
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On écrit $\sqrt{a^2} = a$, en oubliant le module.
L'égalité correcte est \(\sqrt{a^2} = |a|\). Pour un nombre négatif, c'est essentiel : \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), et non \(-13\). La racine arithmétique ne peut pas être négative, donc le signe sous la racine « se redresse ».
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On pense que la racine d'une somme est égale à la somme des racines : $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Il n'y a pas de telle propriété. On effectue d'abord l'opération sous la racine : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), et non 7. Il n'y a de propriétés que pour le produit et le quotient : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) et \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
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On répond que $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — la racine arithmétique est toujours unique et non négative. Deux valeurs apparaissent dans un autre exercice : l'équation \(x^2 = 49\) a pour racines \(x = 7\) et \(x = -7\). Il ne faut pas confondre la notation de la racine avec la résolution d'une équation.
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On écrit $\sqrt{-16} = -4$, en raisonnant « moins par moins ».
Un nombre négatif ne peut pas se trouver sous la racine : \((-4)^2 = 16\), et non \(-16\), donc \(\sqrt{-16}\) n'a pas de sens dans les nombres réels. Par contre, l'expression \(-\sqrt{16} = -4\) est tout à fait correcte — le moins est devant la racine, pas sous elle.
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On fait rentrer un facteur négatif sous la racine : $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
La règle \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) ne fonctionne que pour \(a \ge 0\). Le moins reste à l'extérieur : \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Vérification par le signe : \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), et \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — ce sont des nombres opposés.
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On perd un rang avec un nombre décimal : $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Vérifiez par l'élévation au carré inverse : \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), ça ne correspond pas. Correctement, \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), car \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Une méthode fiable — passer à la fraction ordinaire : \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
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On est sûr que la racine est toujours inférieure au nombre lui-même.
C'est vrai seulement pour les nombres supérieurs à un. Sur l'intervalle de 0 à 1, c'est le contraire : \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), et \(0{,}5\) est supérieur à \(0{,}25\). Pour 0 et 1, la racine est égale au nombre lui-même.
Questions et réponses
Qu'est-ce qu'une racine carrée arithmétique en termes simples ?
C'est un nombre non négatif qui, lorsqu'il est élevé au carré, donne le nombre sous le radical. On note \(\sqrt{a}\), et l'expression sous le radical doit être non négative : \(a \ge 0\). Par exemple, \(\sqrt{64} = 8\), car \(8 \ge 0\) et \(8^2 = 64\).
Quelle est la différence entre une racine carrée et une racine carrée arithmétique ?
Un nombre positif a deux racines carrées — opposées par le signe. On appelle arithmétique seulement la racine non négative, et c'est elle que désigne le signe \(\sqrt{\phantom{a}}\). Par conséquent, \(\sqrt{25} = 5\), bien que l'équation \(x^2 = 25\) ait deux racines : 5 et \(-5\).
Comment extraire la racine carrée d'un nombre sans calculatrice ?
Vérifiez d'abord le nombre dans le tableau des carrés. S'il n'y est pas — décomposez-le en facteurs et dégagez les carrés parfaits : \(784 = 16 \cdot 49\), donc \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Vérifiez toujours la réponse par l'opération inverse : \(28^2 = 784\).
Peut-on extraire la racine carrée d'un nombre négatif ?
Dans les nombres réels — non : le carré de tout nombre est non négatif, donc l'expression \(\sqrt{-9}\) n'a pas de sens. C'est de cette condition que l'on déduit le domaine de définition : par exemple, \(\sqrt{x-7}\) n'existe que pour \(x \ge 7\).
Quelle est la valeur de la racine carrée du carré d'un nombre ?
Le module de ce nombre : \(\sqrt{a^2} = |a|\). Si \(a\) est non négatif, on obtient le nombre lui-même, si \(a\) est négatif — le nombre opposé : \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Comment sortir un facteur de sous le signe radical ?
Trouvez le plus grand diviseur carré du nombre sous le radical et appliquez la propriété \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Par exemple, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). L'opération inverse est de faire rentrer le facteur sous la racine : \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Quelle est la valeur de la racine carrée de 2 ?
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel : sa représentation décimale est infinie et non périodique, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Il n'existe pas de valeur exacte sous forme de fraction, donc dans les réponses on le laisse tel quel avec le symbole \(\sqrt{2}\), et on n'arrondit que si la consigne l'exige.
Comment comparer deux nombres avec des racines sans les calculer ?
Faites rentrer les facteurs sous la racine et comparez les nombres sous le radical : un nombre sous le radical plus grand correspond à une racine plus grande. Par exemple, \(\sqrt{17}\) et 4 : comme \(4 = \sqrt{16}\) et \(17 > 16\), alors \(\sqrt{17} > 4\).
En quelle classe étudie-t-on les racines carrées ?
En 8ème année dans les cours d'algèbre : d'abord la définition de la racine carrée arithmétique et ses propriétés, puis les transformations d'expressions avec des racines et la résolution d'équations de type \(x^2 = a\). Ensuite, les racines apparaissent dans la formule du discriminant et dans les exercices de l'examen d'État (ОГЭ) et de l'examen national (ЕГЭ).
