L'ordre des opérations est l'ensemble des règles qui indiquent quelle partie d'une expression mathématique calculer en premier. Le moyen le plus courant de s'en souvenir est PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplication et Division, Addition et Soustraction. En suivant cet ordre, chaque expression a exactement une seule réponse correcte. Sur cette page, vous trouverez la règle PEMDAS expliquée étape par étape, des exemples corrigés avec parenthèses et exposants, les erreurs les plus fréquentes des élèves et un quiz interactif pour vous entraîner immédiatement.
Ce que signifie PEMDAS : l'ordre des opérations
PEMDAS est un moyen mnémotechnique pour l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. De nombreux élèves s'en souviennent avec la phrase "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Descendez l'échelle de haut en bas :
- P — Parenthèses. Faites tout ce qui se trouve à l'intérieur des symboles de regroupement en premier : ( ), [ ], { }.
- E — Exposants. Ensuite, les puissances et les racines, comme 3² ou √9.
- M et D — Multiplication et Division. Elles partagent la même priorité. Effectuez-les ensemble, en travaillant de gauche à droite.
- A et S — Addition et Soustraction. Elles partagent également la même priorité. Effectuez-les en dernier, toujours de gauche à droite.
L'idée la plus importante, que beaucoup d'élèves oublient, est que le PEMDAS ne se compose pas de six étapes distinctes. La multiplication ne passe pas toujours avant la division, et l'addition ne passe pas toujours avant la soustraction. Chaque paire est au même niveau, et au sein d'un niveau, vous avancez simplement de gauche à droite.
La règle de gauche à droite (M/D et A/S sont équivalentes)
Comme la multiplication et la division sont au même niveau, vous les traitez dans l'ordre où elles apparaissent, en lisant de gauche à droite — et non "toutes les multiplications, puis toutes les divisions". Il en va de même pour l'addition et la soustraction.
Un piège classique est 20 ÷ 4 × 5. Si vous faisiez la multiplication en premier (4 × 5 = 20), vous obtiendriez 20 ÷ 20 = 1 — ce qui est faux. Puisque la division est à gauche, vous la faites en premier : 20 ÷ 4 = 5, puis 5 × 5 = 25. La même logique s'applique à 10 − 6 + 2 : travaillez de gauche à droite pour obtenir 4 + 2 = 6, et non 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS : la même règle, un nom différent
Au Royaume-Uni, en Australie et dans de nombreux autres pays, la même règle est enseignée sous le nom de BODMAS (parfois BIDMAS ou BEDMAS). Les lettres semblent différentes, mais l'ordre est identique — seul le vocabulaire change.
- B — Brackets (Parenthèses) est identique à P — Parentheses.
- O — Orders (Ordres) (ou I — Indices, E — Exponents) désigne les puissances et les racines.
- DM et MD sont la même paire de priorité égale, effectuée de gauche à droite.
- AS est l'addition et la soustraction, effectuées de gauche à droite.
Ainsi, PEMDAS et BODMAS donnent toujours le même résultat. Le tableau ci-dessous les compare lettre par lettre.
| Étape | PEMDAS | BODMAS | Action |
|---|---|---|---|
| 1 | Parenthèses | Brackets | Symboles de regroupement d'abord |
| 2 | Exposants | Ordres / Indices | Puissances et racines |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Priorité égale, gauche → droite |
| 4 | Addition / Soustraction | Addition / Soustraction | Priorité égale, gauche → droite |
Exemples d'ordre des opérations (étape par étape)
Exemple 1. Multiplication avant addition
Expression : 3 + 4 × 2
Étape 1 — Parenthèses / Exposants : aucune ici, passez à la suite.
Étape 2 — Multiplication / Division : 4 × 2 = 8. L'expression est maintenant 3 + 8.
Étape 3 — Addition / Soustraction : 3 + 8 = 11.
Une erreur courante est 14, qui vient du fait d'ajouter 3 + 4 en premier. La multiplication doit se faire avant l'addition.
Exemple 2. Parenthèses, exposants, puis gauche à droite
Expression : (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Étape 1 — Parenthèses : 6 + 2 = 8. Maintenant : 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Étape 2 — Exposants : 3² = 9. Maintenant : 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Étape 3 — Multiplication / Division (gauche à droite) : 8 × 9 = 72, puis 72 ÷ 4 = 18. Maintenant : 18 − 5.
Étape 4 — Addition / Soustraction : 18 − 5 = 13.
Exemple 3. Le piège de gauche à droite
Expression : 20 ÷ 4 × 5
Il n'y a ni parenthèses ni exposants, donc nous passons directement à la multiplication et à la division. Elles ont la même priorité, donc nous lisons de gauche à droite.
Étape 1 : 20 ÷ 4 = 5 (la division est la plus à gauche). Maintenant : 5 × 5.
Étape 2 : 5 × 5 = 25.
Si vous aviez multiplié en premier (4 × 5 = 20), vous auriez obtenu 20 ÷ 20 = 1 — une erreur classique. L'ordre des lettres M-puis-D ne signifie pas que la multiplication l'emporte ; c'est la lecture de gauche à droite qui compte.
Erreurs courantes avec PEMDAS
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Penser que la multiplication passe toujours avant la division (ou l'addition avant la soustraction) à cause de l'ordre des lettres M-D et A-S.
La multiplication et la division sont égales, tout comme l'addition et la soustraction. Au sein de chaque paire, travaillez de gauche à droite. Dans 20 ÷ 4 × 5, vous divisez d'abord car c'est à gauche, ce qui donne 25 — et non 1.
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Ignorer la règle de gauche à droite pour la soustraction, donc 10 − 6 + 2 est lu comme 10 − 8 = 2.
Allez de gauche à droite : 10 − 6 = 4, puis 4 + 2 = 6. L'addition ne "saute pas la ligne" devant la soustraction qui est à sa gauche.
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Sauter les parenthèses ou les traiter en dernier parce qu'elles apparaissent au milieu de l'expression.
Les symboles de regroupement sont toujours prioritaires, peu importe où ils se trouvent. Dans 2 × (3 + 4), vous calculez 3 + 4 = 7 avant de multiplier, ce qui donne 14 — et non 2 × 3 + 4 = 10.
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Mal interpréter la portée d'un exposant, en traitant −3² et (−3)² comme la même chose.
Un exposant s'applique uniquement au nombre situé directement en dessous. −3² signifie −(3²) = −9, tandis que (−3)² signifie (−3)(−3) = 9. Utilisez des parenthèses lorsque vous voulez inclure le signe.
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Traiter les parenthèses imbriquées de l'extérieur vers l'intérieur.
Commencez par le regroupement le plus interne et travaillez vers l'extérieur. Dans 2 × [3 + (4 − 1)], faites 4 − 1 = 3 d'abord, puis 3 + 3 = 6, puis 2 × 6 = 12.
Questions fréquemment posées
Que signifie PEMDAS ?
PEMDAS signifie Parenthèses, Exposants, Multiplication et Division, Addition et Soustraction. C'est l'ordre dans lequel vous évaluez une expression mathématique. De nombreux élèves s'en souviennent avec la phrase "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Quelle est la différence entre PEMDAS et BODMAS ?
Il n'y a aucune différence mathématique — seulement dans les noms. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Soustraction) est enseigné au Royaume-Uni et dans de nombreux autres pays, tandis que PEMDAS est utilisé aux États-Unis. Les crochets (Brackets) sont identiques aux parenthèses, et les Ordres (ou Indices) sont identiques aux exposants. Les deux donnent le même résultat pour chaque expression.
La multiplication passe-t-elle toujours avant la division dans PEMDAS ?
Non. La multiplication et la division ont une priorité égale. Vous effectuez celle qui apparaît en premier lors de la lecture de gauche à droite. Par exemple, dans 20 ÷ 4 × 5, vous divisez d'abord car c'est à gauche, puis vous multipliez, ce qui donne 25.
Pourquoi avons-nous besoin d'un ordre des opérations ?
Sans un ordre convenu, la même expression pourrait donner des réponses différentes selon les personnes. Par exemple, 3 + 4 × 2 donnerait 11 si vous multipliez en premier ou 14 si vous ajoutez en premier. PEMDAS garantit que chaque expression a un seul résultat correct.
Comment gérer les exposants et les signes négatifs ensemble ?
Un exposant s'applique uniquement à la valeur située directement en dessous. Donc −3² est égal à −(3 × 3) = −9, car l'exposant se lie au 3 avant que le signe négatif ne soit appliqué. Si vous voulez inclure le négatif, écrivez (−3)², ce qui est égal à 9. Les parenthèses contrôlent ce que couvre l'exposant.
Que faire avec des parenthèses ou des crochets imbriqués ?
Travaillez du groupe le plus interne vers l'extérieur. Dans 2 × [3 + (4 − 1)], faites d'abord 4 − 1 = 3, puis 3 + 3 = 6, puis 2 × 6 = 12. Chaque couche de regroupement est résolue avant celle qui l'entoure.
