Le théorème de Viète établit un lien entre les racines d'une équation quadratique et ses coefficients : pour l'équation réduite \(x^2 + px + q = 0\), la somme des racines est égale à \(-p\), et le produit est égal à \(q\). Cela permet de trouver les racines mentalement, par tâtonnement, sans utiliser le discriminant. Cette page présente les formules exactes pour l'équation réduite et la forme générale, le théorème de Viète réciproque, l'algorithme de recherche des racines, des exemples résolus et un outil interactif.
Qu'est-ce que le théorème de Viète
Le théorème de Viète est une règle qui établit un lien entre les racines d'une équation quadratique et ses coefficients. Il s'énonce comme suit : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l'équation quadratique réduite \(x^2 + px + q = 0\), alors
En mots : la somme des racines est égale au deuxième coefficient avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme constant. Le signe moins dans la somme est le point le plus important de tout le sujet : il faut écrire \(-p\), et non \(p\).
Pour une équation de forme générale \(ax^2 + bx + c = 0\) (où \(a \neq 0\)), les formules s'obtiennent en divisant par \(a\) :
Le théorème ne fonctionne que lorsqu'il existe des racines réelles, c'est-à-dire lorsque \(D \ge 0\). Si le discriminant est négatif, il n'y a rien à chercher : il n'existe pas de nombres réels avec une telle somme et un tel produit.
Équation réduite et forme générale : quand diviser par a
Une équation quadratique est dite réduite lorsque le coefficient de \(x^2\) est égal à un : \(x^2 + px + q = 0\). C'est pour elle que le théorème de Viète s'énonce le plus simplement, c'est pourquoi on commence toujours la recherche des racines par la réduction de l'équation.
Si \(a \neq 1\), on divise d'abord l'équation terme à terme par \(a\). Par exemple, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\), après division par 3, devient \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), c'est-à-dire \(p = -\frac{10}{3}\) et \(q = 1\). On en déduit \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) et \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
On peut aussi écrire cette idée directement pour la forme générale, sans réduire l'équation : \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). L'erreur la plus fréquente est d'appliquer les formules « courtes » \(-p\) et \(q\) à une équation non réduite et d'obtenir une somme de 10 au lieu de \(\frac{10}{3}\).
Théorème de Viète réciproque
Le théorème de Viète a un réciproque, et c'est lui qui permet de résoudre les équations par tâtonnement. Il s'énonce ainsi : si les nombres \(m\) et \(n\) sont tels que
alors \(m\) et \(n\) sont les racines de l'équation \(x^2 + px + q = 0\).
La différence est fondamentale. Le théorème direct va des racines aux coefficients : les racines sont déjà connues, nous obtenons les relations entre elles. Le théorème réciproque va des coefficients aux racines : nous avons deviné une paire de nombres avec la somme et le produit requis, et nous avons tout à fait le droit de les appeler les racines, sans avoir besoin de prouver quoi que ce soit d'autre.
De là découle également une règle utile : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines, alors le polynôme se décompose en facteurs \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Par exemple, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Recherche des racines par le théorème de Viète : algorithme
La recherche des racines est l'application pratique principale du théorème. Elle est plus rapide que le discriminant lorsque les racines sont entières et se déroule en cinq étapes.
Signes des racines selon les coefficients p et q
Avant même de chercher les racines, on peut déterminer leurs signes en observant ceux de \(p\) et \(q\). Cela réduit considérablement le nombre de possibilités : on sait immédiatement s'il faut chercher une paire de nombres tous deux positifs, tous deux négatifs, ou de signes opposés.
| p et q | Racines | Exemple |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | toutes deux > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | toutes deux < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | signes opposés | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 et −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Théorème de Viète ou discriminant : lequel choisir
La formule des racines via le discriminant \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) fonctionne toujours, mais nécessite des calculs. Le théorème de Viète est instantané, mais seulement si les racines sont faciles à deviner – généralement de petits nombres entiers.
Règle pratique :
- l'équation est réduite, et \(q\) se décompose en une paire de petits facteurs → essaie le tâtonnement selon Viète, la réponse est obtenue mentalement ;
- les coefficients sont grands ou fractionnaires, les racines ne se devinent pas en 10-15 secondes → calcule le discriminant ;
- seul le nombre de racines ou les signes des racines sont nécessaires, pas les racines elles-mêmes → \(D\) et le tableau des signes ci-dessus suffisent.
Il est également utile de combiner les méthodes : calcule le discriminant et trouve les racines, puis vérifie la réponse avec Viète. La somme doit donner \(-p\), le produit \(q\). Une telle vérification prend quelques secondes et permet de repérer presque toute erreur arithmétique.
Exemples de résolution par le théorème de Viète
Exemple 1. Recherche des racines : les deux racines sont positives
Résoudre \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Étape 1. L'équation est réduite : \(p = -9\), \(q = 20\).
Étape 2. On vérifie le discriminant : \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – il y a deux racines.
Étape 3. On écrit les relations : \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Étape 4. On teste les décompositions de 20 : \(1\cdot 20\) (somme 21), \(2\cdot 10\) (somme 12), \(4\cdot 5\) (somme 9) – la dernière paire convient. Les deux facteurs sont positifs car \(q > 0\) et \(p < 0\).
Étape 5. Vérification par substitution. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Exemple 2. Racines de signes opposés
Résoudre \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Étape 1. L'équation est réduite : \(p = 3\), \(q = -28\).
Étape 2. Comme \(q < 0\), les racines sont de signes opposés et le discriminant est forcément positif : \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Étape 3. Relations : \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Étape 4. Décompositions de 28 : \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Il faut une différence de 3 – la paire 4 et 7 convient. Comme la somme est négative, on prend le nombre de module le plus grand avec un signe moins : 4 et \(-7\).
Étape 5. Vérification. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Exemple 3. Équation de forme générale (a ≠ 1)
Résoudre \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Étape 1. Le coefficient \(a = 3\), donc on ne peut pas appliquer directement les formules « courtes » \(-p\) et \(q\). On utilise la forme générale : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Étape 2. Le produit est égal à 1 – cela signifie que les racines sont réciproques : si l'une vaut \(t\), l'autre vaut \(\tfrac{1}{t}\). La somme \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) suggère \(t = 3\), car \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Étape 3. Vérification par substitution. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Réponse : \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Exemple 4. Construire une équation à partir de ses racines
Exercice. Construire une équation quadratique réduite dont les racines sont \(-4\) et \(6\).
Étape 1. On calcule la somme et le produit : \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Étape 2. Selon le théorème de Viète réciproque, les coefficients sont \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) et \(q = x_1 x_2 = -24\). C'est ici que se cache le principal piège : \(p\) est la somme avec le signe opposé.
Étape 3. On écrit l'équation : \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Étape 4. Vérification par substitution. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Réponse : \(x^2 - 2x - 24 = 0\). La décomposition \((x + 4)(x - 6) = 0\) donne le même résultat.
Exemple 5. Vérifier la réponse de quelqu'un d'autre avec le théorème de Viète
Exercice. Un élève a résolu l'équation \(x^2 + 5x + 6 = 0\) et a écrit la réponse : \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Vérifier s'il s'est trompé.
Étape 1. Selon Viète, on doit avoir \(x_1 + x_2 = -p = -5\) et \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Étape 2. Pour la réponse proposée, le produit est correct (\(2\cdot 3 = 6\)), mais la somme ne l'est pas : \(2 + 3 = 5 \neq -5\). La réponse est donc incorrecte : un signe a été oublié.
Étape 3. On cherche la bonne paire : il faut des nombres dont le produit est 6 et la somme est \(-5\) – ce sont \(-2\) et \(-3\) (tous deux négatifs car \(q > 0\) et \(p > 0\)).
Étape 4. Vérification par substitution. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Réponse : les bonnes racines sont \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Erreurs fréquentes lors de l'utilisation du théorème de Viète
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Oublier le signe moins dans la somme : écrire $x_1 + x_2 = p$ au lieu de $x_1 + x_2 = -p$.
Le signe moins ne concerne que la somme, le produit conserve son signe : \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Vérifie avec l'équation simple \(x^2 - 5x + 6 = 0\) : ici \(p = -5\), la somme des racines est égale à 5, et les racines sont bien 2 et 3.
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Appliquer les formules $-p$ et $q$ à une équation non réduite : pour $2x^2 - 9x + 4 = 0$, dire « somme 9, produit 4 ».
Tant que \(a \neq 1\), ce sont les formules de la forme générale qui s'appliquent : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Les racines ici sont 4 et \(\tfrac{1}{2}\), pas 4 et 1. Ou alors, il faut d'abord diviser toute l'équation par \(a\).
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Chercher les racines par tâtonnement sans avoir vérifié le discriminant : pour $x^2 + x + 1 = 0$, essayer de trouver une paire de nombres dont la somme est $-1$ et le produit 1.
Assure-toi d'abord que les racines existent : \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), il n'y a pas de racines réelles, donc le tâtonnement est impossible. Le théorème de Viète ne s'applique que lorsque \(D \ge 0\).
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Choisir une paire de facteurs uniquement d'après le produit, sans vérifier la somme : pour $x^2 - 8x + 12 = 0$, prendre 3 et 4 car leur produit est 12.
Il faut vérifier les deux relations simultanément. Pour \(x^2 - 8x + 12 = 0\), le produit 12 est donné par les paires (1; 12), (2; 6), (3; 4), mais la somme 8 n'est donnée que par la paire 2 et 6. Vérification : \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) et \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
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En construisant une équation à partir des racines, prendre $p$ égal à la somme : pour les racines 2 et 5, écrire $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Le coefficient \(p\) est égal à la somme avec le signe opposé : \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), donc \(x^2 - 7x + 10 = 0\). La substitution confirme : \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
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Penser que le théorème de Viète ne s'applique qu'aux racines entières et ne pas l'utiliser pour vérifier une réponse.
Les relations \(x_1 + x_2 = -p\) et \(x_1 x_2 = q\) sont valables pour toutes les racines réelles – entières, fractionnaires ou irrationnelles. Le tâtonnement mental est pratique pour les entiers, mais pour les autres cas, le théorème reste un moyen rapide de vérifier une réponse trouvée par le discriminant.
Questions et réponses
Comment énoncer le théorème de Viète en termes simples ?
Si une équation quadratique réduite \(x^2 + px + q = 0\) a des racines, alors leur somme est égale au deuxième coefficient avec le signe opposé, et leur produit est égal au terme constant : \(x_1 + x_2 = -p\) et \(x_1 x_2 = q\).
Quelles sont la somme et le produit des racines de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ ?
Pour une équation de forme générale, la somme des racines est égale à \(-\dfrac{b}{a}\), et le produit à \(\dfrac{c}{a}\). Ces formules sont obtenues à partir du cas réduit en divisant toute l'équation par \(a\).
Quelle est la différence entre le théorème de Viète direct et réciproque ?
Le théorème direct va des racines aux coefficients : connaissant les racines, nous obtenons la somme \(-p\) et le produit \(q\). Le théorème réciproque va dans l'autre sens : si une paire de nombres donne la somme et le produit requis, alors ces nombres sont les racines de l'équation. C'est le théorème réciproque qui permet de résoudre les équations par tâtonnement.
Comment trouver les racines par le théorème de Viète ?
Réduis l'équation à la forme \(x^2 + px + q = 0\), assure-toi que \(D \ge 0\), écris \(x_1 + x_2 = -p\) et \(x_1 x_2 = q\), teste les décompositions du nombre \(q\) en paires de facteurs et choisis la paire dont la somme est égale à \(-p\). Par exemple, pour \(x^2 + 6x + 8 = 0\), il faut des nombres dont le produit est 8 et la somme est \(-6\) – ce sont \(-2\) et \(-4\).
Le théorème de Viète fonctionne-t-il si le coefficient de $x^2$ n'est pas égal à un ?
Oui, mais sous la forme générale : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Les formules courtes \(-p\) et \(q\) ne sont valables que pour une équation réduite, donc si \(a \neq 1\), il faut d'abord diviser l'équation par \(a\).
Que faire si les racines ne peuvent pas être trouvées par le théorème de Viète ?
Cela signifie que les racines ne sont pas entières ou qu'elles n'existent pas du tout. Calcule le discriminant : si \(D < 0\), il n'y a pas de racines réelles ; si \(D \ge 0\), trouve les racines par la formule \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) et vérifie ensuite la réponse avec le théorème de Viète.
Comment déterminer les signes des racines sans résoudre l'équation ?
D'après les signes de \(p\) et \(q\) lorsque \(D \ge 0\) : si \(q > 0\) et \(p < 0\), les deux racines sont positives ; si \(q > 0\) et \(p > 0\), les deux racines sont négatives ; si \(q < 0\), les racines sont de signes opposés ; si \(q = 0\), l'une des racines est zéro.
En quelle classe étudie-t-on le théorème de Viète ?
En 8ème année (collège), lors des cours d'algèbre, juste après les équations quadratiques et le discriminant. Il est ensuite utilisé pour la factorisation des trinômes carrés \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), pour l'étude des racines avec paramètre et dans les exercices des examens nationaux (type OGE et EGE en Russie).
