Une progression arithmétique est une suite où chaque terme est égal au précédent augmenté d'un nombre fixe \(d\) (la raison de la progression). N'importe quel terme se calcule avec la formule \(a_n = a_1 + (n-1)d\), et la somme des \(n\) premiers termes avec la formule \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Cette page détaille la définition, la raison, les deux formules de somme, la propriété caractéristique, comment vérifier si un nombre appartient à la suite, la différence avec la progression géométrique, des exercices types du brevet et un simulateur interactif pour t'entraîner.
Qu'est-ce qu'une progression arithmétique
Une progression arithmétique est une suite numérique où chaque terme est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent. Ce nombre est appelé raison de la progression et est noté par la lettre \(d\).
Définition par une seule formule : la suite \(a_1, a_2, a_3, \dots\) est appelée progression arithmétique si, pour tout indice \(n\), l'égalité suivante est vérifiée :
Prenons la suite 3, 7, 11, 15, 19, … Le premier terme est \(a_1 = 3\) et la raison \(d = 4\) : chaque nombre suivant est supérieur au précédent de 4. Le terme suivant est donc 23, et avant le 3 (si l'on remonte) se trouverait -1.
La progression est entièrement définie par deux nombres : le premier terme \(a_1\) et la raison \(d\). Avec ces deux éléments, on peut trouver n'importe quel terme, calculer la somme des \(n\) premiers termes et vérifier si un nombre donné appartient à la suite. On note la progression \((a_n)\) et ses termes \(a_1, a_2, a_3\), etc., où l'indice inférieur désigne toujours le rang, et non la valeur.
Raison d'une progression arithmétique : comment trouver d
La raison est toujours égale au terme suivant moins le terme précédent :
L'ordre de la soustraction est important : si l'on inverse, le signe de la raison sera opposé. Pour la suite 20, 17, 14, 11, 8, la raison est \(17 - 20 = -3\), et non \(+3\).
Le signe de \(d\) détermine le comportement de la progression :
- \(d > 0\) — la progression est croissante, les termes augmentent ;
- \(d < 0\) — la progression est décroissante, les termes diminuent ;
- \(d = 0\) — tous les termes sont identiques, par exemple 6, 6, 6, 6, … C'est aussi une progression arithmétique, simplement constante.
Si deux termes de rangs différents sont connus, la raison se calcule par la formule :
Exemple. Soient \(a_4 = 30\) et \(a_{10} = 6\). Alors \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), et le premier terme est \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Vérifions le début de la progression : 42, 38, 34, 30 — le quatrième terme est bien 30.
La raison n'est pas obligée d'être entière : pour la suite 1; 1,5; 2; 2,5, la raison est 0,5, ce qui constitue une progression arithmétique tout à fait valide.
Formule du n-ième terme d'une progression arithmétique
La formule principale du chapitre permet de trouver n'importe quel terme sans avoir à écrire tous les précédents :
D'où vient le \(n - 1\) ? Pour aller du premier terme au \(n\)-ième, on ajoute la raison non pas \(n\) fois, mais une fois de moins : pour le deuxième terme, un pas, pour le troisième, deux pas, pour le vingtième, dix-neuf pas.
Exemple. Pour la progression 3, 7, 11, 15, 19, … on a \(a_1 = 3\) et \(d = 4\), donc :
Cette forme simplifiée est très pratique : on voit immédiatement que \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), et \(a_{100} = 399\). Elle indique aussi la raison : pour toute progression arithmétique, la formule du \(n\)-ième terme est linéaire, de la forme \(a_n = dn + c\), et le coefficient devant \(n\) est la raison.
Parfois, le premier terme est inconnu, mais un autre est donné. La même logique s'applique : \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Propriété caractéristique d'une progression arithmétique
Tout terme d'une progression, à l'exception du premier, est égal à la moyenne arithmétique de ses voisins :
C'est précisément pour cette raison que la progression est appelée arithmétique. Cette égalité fonctionne aussi dans l'autre sens : si dans une suite chaque terme moyen est égal à la demi-somme de ses voisins, alors la suite est une progression arithmétique. Cette propriété est utilisée dans les exercices pour démontrer que trois nombres forment une progression.
Exemple. Les nombres 7, \(x\), 23 sont trois termes consécutifs d'une progression. Alors \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Vérification : 7, 15, 23 — les raisons sont 8 et 8, tout concorde.
Une forme d'écriture pratique de cette propriété : \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), c'est-à-dire que le double du terme moyen est égal à la somme des termes extrêmes. Sous cette forme, la propriété est plus simple à appliquer lorsque les termes sont donnés par des expressions littérales.
Somme des premiers termes d'une progression arithmétique
La somme \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) se calcule avec l'une des deux formules :
L'idée de la première formule est celle que, selon la légende, le jeune Gauss a trouvée en additionnant les nombres de 1 à 100. Si l'on additionne le premier terme avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, et ainsi de suite, toutes les paires donnent la même somme. D'où \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
La deuxième formule est dérivée de la première en remplaçant \(a_n\) par \(a_1 + (n-1)d\) — elle est utile lorsque le dernier terme n'est pas donné et qu'on ne veut pas le calculer séparément.
Exemple. Calculons la somme des vingt premiers termes de la progression 3, 7, 11, 15, 19, …
Avec la première formule : \(a_{20} = 79\), donc \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Avec la deuxième : \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Les résultats concordent — c'est la meilleure façon de vérifier ses calculs.
Comment savoir si un nombre appartient à une progression arithmétique
La question « est-ce qu'un nombre est un terme de la progression » se résout par une équation. Un nombre appartient à la progression si et seulement si son rang \(n\) est un entier naturel : 1, 2, 3, etc. Un rang fractionnaire ou non positif signifie que ce nombre n'est pas un terme de la suite.
Exemple 1. Le nombre 99 appartient-il à la progression 3, 7, 11, 15, 19, … ? La formule du \(n\)-ième terme est \(a_n = 4n - 1\), donc on résout \(4n - 1 = 99\), d'où \(4n = 100\) et \(n = 25\). Le rang est un entier naturel — donc 99 appartient à la progression, c'est son vingt-cinquième terme.
Exemple 2. Et le nombre 2026 ? De \(4n - 1 = 2026\), on obtient \(4n = 2027\) et \(n = 506{,}75\). Le rang n'est pas entier, donc 2026 n'est pas un terme de cette progression.
Astuce utile pour une estimation rapide : pour une progression avec la formule \(a_n = 4n - 1\), tous les termes divisés par 4 donnent un reste de 3. Le nombre 2026 donne un reste de 2, donc il « rate » la progression.
Exercices types du brevet sur les progressions arithmétiques
Au brevet de mathématiques, les progressions apparaissent chaque année, et presque tous les exercices se résument à quatre types de problèmes.
Trouver un terme par son rang. \(a_1\) et \(d\) sont donnés (ou les premiers termes) — on utilise \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Trouver le rang par la valeur. Un nombre est donné — on l'égale à la formule du \(n\)-ième terme et on résout l'équation pour \(n\).
Trouver la somme. On calcule \(S_n\) avec l'une des deux formules ; si \(a_n\) manque, on le calcule d'abord.
Trouver le nombre de termes. La formule du \(n\)-ième terme donne une conséquence pratique : \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Il y a aussi les problèmes textuels, où la progression est cachée dans une histoire. Par exemple : le premier jour, un ouvrier a fabriqué 12 pièces, et chaque jour suivant, 3 pièces de plus que la veille ; combien de pièces fabriquera-t-il en 15 jours ? Ici \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). On calcule le dernier terme : \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Alors \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) pièces.
Le conseil principal pour ces exercices : notez d'abord sur une ligne ce qui est donné (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) et ce qu'il faut trouver. La moitié des erreurs à l'examen ne viennent pas des formules, mais du fait de confondre le rang avec la valeur du terme.
Progression arithmétique et géométrique : quelle est la différence
Les deux progressions sont des règles permettant d'obtenir le terme suivant à partir du précédent. La différence réside dans l'opération : dans une progression arithmétique, on ajoute le même nombre \(d\) ; dans une progression géométrique, on multiplie par le même nombre \(q\), appelé la raison de la progression.
D'où des comportements différents. La progression arithmétique croît uniformément, « marche par marche » : 3, 7, 11, 15 — chaque pas ajoute 4. La progression géométrique croît de façon exponentielle : 3, 6, 12, 24 — chaque pas double le nombre, et après dix pas, le terme sera supérieur à 1500.
Il est facile de vérifier le type de suite : calculez les différences entre termes consécutifs et leurs rapports. Des différences identiques indiquent une progression arithmétique, des rapports identiques indiquent une progression géométrique. Si rien ne correspond, c'est simplement une suite : par exemple, 1, 4, 9, 16 — ce sont les carrés des entiers, ce n'est pas une progression (les différences 3, 5, 7 sont différentes, les rapports aussi).
Dans le programme scolaire, les deux thèmes sont étudiés en 3ème, donc les formules sont faciles à confondre. Gardez ce repère : dans l'arithmétique, on ajoute la raison \(d\), dans la géométrique, on multiplie par la raison \(q\). Tout le reste n'est qu'une conséquence.
Exemples de résolution d'exercices sur la progression arithmétique
Exemple 1. Trouver le premier terme et la raison à partir de deux termes
Données. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Trouver \(a_1\), \(d\) et \(a_{20}\).
Étape 1. Du troisième au septième terme, il y a exactement \(7 - 3 = 4\) pas, à chaque pas on ajoute \(d\). Donc \(a_7 = a_3 + 4d\), soit \(30 = 14 + 4d\), d'où \(4d = 16\) et \(d = 4\).
Étape 2. On revient en arrière jusqu'au premier terme : \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Étape 3. On écrit la formule du \(n\)-ième terme : \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Étape 4. On calcule le terme demandé : \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Vérification. Écrivons le début de la progression : 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Le troisième terme est 14, le septième 30 — ça concorde.
Réponse : \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Exemple 2. Somme des 30 premiers termes (les deux formules)
Données. Progression \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Trouver \(S_{30}\).
Étape 1. On détermine les paramètres : \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Étape 2. On trouve le trentième terme : \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Étape 3. On calcule avec la première formule : \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Étape 4. Vérification avec la deuxième formule. D'abord le numérateur : \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Ensuite comme à l'étape 3 : \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Les deux méthodes donnent 1155 — l'arithmétique est correcte.
Réponse : \(S_{30} = 1155\).
Exemple 3. Somme de tous les nombres à deux chiffres multiples de 7
Exercice. Trouver la somme de tous les nombres à deux chiffres divisibles par 7.
Étape 1. Ces nombres forment eux-mêmes une progression arithmétique de raison 7. Le plus petit multiple de 7 à deux chiffres est 14, le plus grand est 98 (le suivant, 105, a trois chiffres). On obtient \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Étape 2. On calcule le nombre de termes : \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Étape 3. On calcule la somme : \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Étape 4. Vérification avec la deuxième formule. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Réponse : 728.
Exemple 4. Vérifier si un nombre appartient à la progression
Exercice. Le nombre 145 est-il un terme de la progression \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\) ? Et le nombre 142 ?
Étape 1. Paramètres de la progression : \(a_1 = 7\), \(d = 5\), donc \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Étape 2. Vérifions 145 : l'équation \(5n + 2 = 145\) donne \(5n = 143\) et \(n = 28{,}6\). Le rang est fractionnaire, donc 145 n'est pas un terme de la progression.
Étape 3. Vérifions 142 : \(5n + 2 = 142\), d'où \(5n = 140\) et \(n = 28\). Le rang est un entier naturel — le nombre appartient à la suite.
Étape 4. Vérification par substitution. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Correct.
Réponse : 145 n'appartient pas à la progression ; 142 appartient et est son 28-ième terme.
Exemple 5. Propriété caractéristique avec des termes littéraux
Exercice. Pour quelle valeur de \(x\) les nombres \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) sont-ils trois termes consécutifs d'une progression arithmétique ?
Étape 1. Selon la propriété caractéristique, le double du terme moyen est égal à la somme des extrêmes :
Étape 2. On développe : \(4x + 2 = 5x - 4\).
Étape 3. On résout : \(2 + 4 = 5x - 4x\), soit \(x = 6\).
Étape 4. Vérification. On remplace \(x = 6\) : premier terme \(6 - 3 = 3\), deuxième \(2\cdot 6 + 1 = 13\), troisième \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Différences : \(13 - 3 = 10\) et \(23 - 13 = 10\) — identiques.
Réponse : \(x = 6\), progression 3, 13, 23 avec une raison de 10.
Exemple 6. Combien de termes négatifs dans la progression
Exercice. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) ?
Étape 1. Paramètres : \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formule du \(n\)-ième terme : \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Étape 2. On écrit la condition « le terme est négatif » : \(3n - 24 < 0\), d'où \(3n < 24\) et \(n < 8\).
Étape 3. Les rangs sont des entiers naturels, donc \(n = 1, 2, \dots, 7\) conviennent — soit sept termes.
Étape 4. Vérification de la limite. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — négatif. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — zéro n'est pas un nombre négatif, donc on ne compte pas le huitième terme. \(a_9 = 3\) — positif.
Réponse : sept termes négatifs.
Erreurs fréquentes dans les exercices sur la progression arithmétique
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Écrire $a_n = a_1 + nd$ au lieu de $a_n = a_1 + (n-1)d$ dans la formule du n-ième terme.
Du premier terme au n-ième, on fait un pas de moins que le rang. Pour la progression \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\), le dixième terme est \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), et non 45. Vérification rapide : remplace \(n = 1\) — tu dois obtenir exactement \(a_1\).
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Calculer la raison à l'envers : $d = a_1 - a_2$, ce qui donne un signe opposé.
La raison est le terme suivant moins le précédent : \(d = a_2 - a_1\). Pour la progression \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\), la bonne raison est \(d = 34 - 40 = -6\). Le signe moins n'est pas une erreur, c'est le signe d'une progression décroissante.
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Oublier de diviser par 2 ou de multiplier par $n$ dans la formule de la somme : écrire $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
On additionne des paires « premier avec dernier », il y en a exactement \(\dfrac{n}{2}\), donc diviser par 2 est obligatoire. Pour la progression \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\), on a \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) et \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), et non 670.
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Obtenir $n = 0$ ou un $n$ négatif lors de la vérification d'appartenance et répondre quand même « appartient ».
Le rang d'un terme est un entier naturel, le comptage commence à 1. Par exemple, pour la progression \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\), l'équation \(10 + 4(n-1) = 6\) donne \(n = 0\), donc 6 n'appartient pas à la progression : ce nombre se trouverait avant le premier terme.
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Confondre les valeurs : remplacer la valeur du terme là où il faut le rang, et vice-versa.
\(a_n\) est la valeur, \(n\) est le rang. Si l'exercice demande « quel est le rang du terme égal à 142 », la réponse est 28, pas 142. Habitude utile : noter avant de résoudre « données : \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), trouver : \(n\) ».
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Croire que la progression doit être croissante et composée d'entiers.
La raison peut être négative (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), fractionnaire (1; 1,5; 2; 2,5) ou même nulle (8, 8, 8, …). Ces trois cas sont des progressions arithmétiques valides, et toutes les formules fonctionnent sans changement.
Questions et réponses
Qu'est-ce qu'une progression arithmétique en termes simples ?
C'est une suite de nombres où chaque nombre suivant est obtenu en ajoutant le même nombre \(d\) — la raison de la progression. Par exemple, 3, 7, 11, 15, 19, … est une progression avec un premier terme de 3 et une raison de 4.
Quelle est la formule du n-ième terme d'une progression arithmétique ?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme, \(d\) la raison, \(n\) le rang. Si un autre terme que le premier est connu, on utilise la forme générale \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Comment trouver la raison d'une progression arithmétique ?
Soustrait le terme précédent à n'importe quel terme : \(d = a_n - a_{n-1}\). Si deux termes de rangs différents sont donnés, utilise \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Par exemple, si \(a_5 = 23\) et \(a_9 = 43\), on obtient \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), et le premier terme est \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Comment trouver le premier terme d'une progression arithmétique ?
À partir de la formule du \(n\)-ième terme : \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Par exemple, si \(a_{12} = 60\) et \(d = 4\), alors \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Vérification : \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Comment trouver la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique ?
Avec la formule \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) si le dernier terme est connu, ou avec \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) si seuls le premier terme et la raison sont connus. Les deux donnent le même résultat, donc la deuxième est utile pour vérifier la première.
Comment trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique ?
À partir de la formule du \(n\)-ième terme : \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Par exemple, dans la progression \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\), la raison est 5, donc \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) termes.
Quelle est la différence entre une progression arithmétique et géométrique ?
Dans une arithmétique, on ajoute la raison \(d\), dans une géométrique, on multiplie par la raison \(q\). Formules du \(n\)-ième terme : \(a_n = a_1 + (n-1)d\) contre \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Pour déterminer le type, calcule les différences entre termes consécutifs et leurs rapports : différences identiques = arithmétique, rapports identiques = géométrique.
La raison peut-elle être négative ou égale à zéro ?
Oui. Si \(d < 0\), la progression décroît (ex: 20, 17, 14, 11), si \(d = 0\), tous les termes sont identiques (6, 6, 6, …) — c'est une progression constante. La raison peut aussi être fractionnaire : 1; 1,5; 2; 2,5 — c'est aussi une progression arithmétique.
En quelle classe étudie-t-on les progressions arithmétiques ?
En 3ème, en cours de mathématiques, avec les progressions géométriques et les suites numériques. Les exercices sur les progressions font partie du brevet : il est généralement demandé de trouver un terme par son rang, un rang par sa valeur, le nombre de termes ou la somme des \(n\) premiers termes.
