Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division : il suffit de regarder les derniers chiffres ou de faire la somme de tous les chiffres du nombre. Cette page rassemble un tableau des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 et 25, une explication visuelle des critères par 3 et par 9 via la somme des chiffres, des exemples résolus, des erreurs fréquentes et un entraînement interactif pour vous tester immédiatement.
Qu'est-ce qu'un critère de divisibilité
Un critère de divisibilité est une règle qui permet de savoir si un nombre est divisible par un autre nombre, sans effectuer la division elle-même. Il suffit de regarder les derniers chiffres ou de faire la somme de tous les chiffres du nombre.
Les critères de divisibilité sont utiles partout où il faut comprendre rapidement la « structure » d'un nombre :
- pour la simplification des fractions — on voit immédiatement par quoi simplifier le numérateur et le dénominateur ;
- pour la décomposition d'un nombre en facteurs premiers ;
- pour trouver le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple ;
- pour vérifier rapidement une réponse dans des exercices et des problèmes.
Il est important de ne pas confondre deux questions différentes. « 3726 est-il divisible par 9 ? » — c'est le critère de divisibilité qui répond : la somme des chiffres 3 + 7 + 2 + 6 = 18 est divisible par 9, donc oui. Et « combien ça fait ? » — c'est la division elle-même : 3726 : 9 = 414. Le critère donne seulement une réponse « oui » ou « non », mais instantanément et de tête.
Tableau des critères de divisibilité
Il est pratique d'avoir tous les critères de divisibilité scolaires sous les yeux dans un seul tableau. La couleur indique où regarder : le dernier chiffre, la somme des chiffres, la « queue » des deux ou trois derniers chiffres, ou directement les deux critères.
| Par quel nombre | Critère de divisibilité | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 3726 → 6 |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | le dernier chiffre est 0 ou 5 | 1435 → 5 |
| 6 | divisible par 2 et par 3 simultanément | 5124 → 4 et 12 |
| 8 | les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | le dernier chiffre est 0 | 2340 → 0 |
| 11 | les chiffres alternent signes + et - en partant de la droite; la somme est divisible par 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | les deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75 | 1875 → 75 |
Critères de divisibilité par 2, 5 et 10
Le groupe le plus simple : on ne regarde que le dernier chiffre, les autres n'ont pas d'importance.
- les nombres pairs sont divisibles par 2 — ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5 ;
- les nombres divisibles par 10 se terminent par 0.
La longueur du nombre n'a pas d'importance : 987 654 320 est divisible par 2, 5 et 10 car il se termine par zéro. Et 1435 est divisible par 5 (dernier chiffre 5), mais pas par 2 ni par 10 — le nombre est impair.
De là, une conclusion utile : un nombre est divisible par 10 si et seulement s'il est divisible à la fois par 2 et par 5.
Critères de divisibilité par 3 et par 9 : somme des chiffres
Ici, le dernier chiffre ne décide de rien — c'est la somme de tous les chiffres du nombre qui compte :
- un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Si la somme obtenue est grande, on peut appliquer le critère une nouvelle fois : pour le nombre 899 991, la somme des chiffres est 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, et pour 45 la somme est 4 + 5 = 9 — donc le nombre initial est divisible par 9 et par 3.
Les critères sont similaires mais ne se remplacent pas mutuellement. Tout nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3 — car 9 est divisible par 3. L'inverse n'est pas vrai : la somme des chiffres peut être divisible par 3 sans être divisible par 9, et dans ce cas le nombre ne satisfait qu'un seul des deux critères. Les deux cas sont expliqués ci-dessous.
Critères de divisibilité par 4, 8 et 25 : on regarde la « queue » du nombre
Un seul dernier chiffre ne suffit pas ici — il faut une « queue » de plusieurs derniers chiffres :
- un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 ;
- un nombre est divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8 ;
- un nombre est divisible par 25 si ses deux derniers chiffres forment 00, 25, 50 ou 75.
Pourquoi la queue suffit : 100 est divisible par 4 et par 25, et 1000 est divisible par 8. Par conséquent, tout ce qui se trouve à gauche est déjà divisible par le nombre requis et n'affecte pas le résultat.
De là découle une conséquence importante : la parité ne suffit pas pour 4 et 8. Un nombre peut être pair, mais si sa queue de deux ou trois chiffres n'est pas divisible, alors le nombre entier ne l'est pas non plus. L'analyse des queues est dans l'encadré ci-dessous.
Critère de divisibilité par 6
Le nombre six n'a pas de règle distincte : 6 = 2 · 3, et les facteurs sont premiers entre eux. Par conséquent, le critère est composé — un nombre est divisible par 6 s'il est divisible simultanément par 2 et par 3.
Vérifions 5124 : le dernier chiffre est 4 — le nombre est pair, donc divisible par 2 ; la somme des chiffres 5 + 1 + 2 + 4 = 12 est divisible par 3. Les deux conditions sont remplies → 5124 : 6 = 854.
La seule parité ne suffit pas : 1000 est pair, mais la somme de ses chiffres est 1 et n'est pas divisible par 3, donc le nombre n'est pas divisible par 6. La moitié inverse ne fonctionne pas non plus : pour 4521, la somme des chiffres 12 est divisible par 3, mais le nombre lui-même est impair — il n'est donc pas divisible par 6 non plus.
De la même manière, on construit d'autres critères composés : pour 12 — divisible par 3 et par 4, pour 15 — par 3 et par 5, pour 18 — par 2 et par 9, pour 45 — par 5 et par 9.
Critère de divisibilité par 11
Le critère de divisibilité par 11 utilise la somme alternée des chiffres. On additionne les chiffres en partant du dernier, en changeant alternativement le signe : plus, moins, plus, moins. Si le résultat est divisible par 11 (y compris s'il est égal à zéro), alors le nombre entier est divisible par 11.
Ce même critère est souvent formulé différemment : la différence entre la somme des chiffres situés aux positions impaires et la somme des chiffres aux positions paires doit être divisible par 11. C'est la même règle.
Exemples de critères de divisibilité
Exemple 1. Par quels nombres 7254 est-il divisible ?
Exercice. Déterminer par quels nombres parmi 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 le nombre 7254 est divisible.
Étape 1. Par 2. Le dernier chiffre est 4 — pair. Il est divisible : 7254 : 2 = 3627.
Étape 2. Par 5 et par 10. Le nombre se termine par 4, et non par 0 ou 5. Il n'est divisible ni par 5, ni par 10.
Étape 3. Par 3 et par 9. Somme des chiffres : 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Elle est divisible par 3 et par 9. Donc, 7254 : 3 = 2418 et 7254 : 9 = 806.
Étape 4. Par 6. Le nombre est divisible par 2 et par 3 — donc il est divisible par 6 : 7254 : 6 = 1209.
Étape 5. Par 4. Les deux derniers chiffres forment 54, et 54 n'est pas divisible par 4. Il n'est pas divisible.
Réponse. 7254 est divisible par 2, 3, 6 et 9.
Exemple 2. 4715 est-il divisible par 3 et par 9 ?
Exercice. Vérifier la divisibilité du nombre 4715 par 3 et par 9.
Étape 1. On additionne les chiffres : 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Étape 2. Par 3. 17 n'est pas divisible par 3 (les multiples les plus proches sont 15 et 18). Donc, 4715 n'est pas divisible par 3.
Étape 3. Par 9. 17 n'est pas divisible par 9 non plus. Donc, 4715 n'est pas divisible par 9.
Ce que le nombre peut faire quand même. Le dernier chiffre est 5 → le nombre est divisible par 5 : 4715 : 5 = 943. Il n'est pas divisible par 2 ni par 10 — il est impair.
Réponse. Le nombre 4715 n'est divisible ni par 3, ni par 9.
Exemple 3. Divisibilité par 4 et par 8 : le nombre 6248
Exercice. Vérifier si 6248 est divisible par 4 et par 8.
Étape 1. Par 4. On prend les deux derniers chiffres : 48. Le nombre 48 est divisible par 4 (48 : 4 = 12), donc 6248 l'est aussi : 6248 : 4 = 1562.
Étape 2. Par 8. On prend les trois derniers chiffres : 248. On divise : 248 : 8 = 31 — il est divisible. Donc, 6248 : 8 = 781.
Attention au raisonnement inverse. La divisibilité par 4 n'implique pas la divisibilité par 8 : pour 6244, la queue 44 est divisible par 4 (6244 : 4 = 1561), mais les trois derniers chiffres 244 ne sont pas divisibles par 8 — le nombre n'est pas divisible par 8.
Réponse. 6248 est divisible par 4 et par 8.
Exemple 4. Critère de divisibilité par 11 : le nombre 2926
Exercice. Vérifier si 2926 est divisible par 11.
Étape 1. On écrit les chiffres et on place les signes en partant de la droite : le dernier chiffre avec un signe plus, puis alternativement moins et plus.
Étape 2. On calcule la somme alternée : 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Étape 3. Le résultat 11 est divisible par 11 → le nombre entier l'est aussi.
Vérification par division. 2926 : 11 = 266.
Réponse. 2926 est divisible par 11.
Exemple 5. Simplification de fraction par critères de divisibilité
Exercice. Simplifier la fraction 270/378.
Étape 1. On calcule les sommes des chiffres : 2 + 7 + 0 = 9 et 3 + 7 + 8 = 18. Les deux sont divisibles par 9 → le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 9.
Étape 2. On simplifie par 9 : 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. On obtient 30/42.
Étape 3. Les deux nombres sont pairs → on simplifie par 2 : 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. On obtient 15/21.
Étape 4. Les sommes des chiffres 6 et 3 sont divisibles par 3 → on simplifie par 3.
Réponse. 270/378 = 5/7.
Erreurs fréquentes dans les critères de divisibilité
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On vérifie la divisibilité par 6 uniquement par la parité : si le nombre est pair, alors il est divisible par 6.
Les deux conditions sont nécessaires : par 2 ET par 3. Le nombre 7124 est pair, mais la somme de ses chiffres 14 n'est pas divisible par 3, donc il n'est pas divisible par 6. Et inversement : 3471 satisfait le critère de divisibilité par 3 (somme 15, 3471 : 3 = 1157), mais il est impair — il n'est donc pas divisible par 6 non plus.
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On regarde un seul dernier chiffre pour la divisibilité par 4 : « 8 est divisible par 4, donc 9138 convient aussi ».
Pour la divisibilité par 4, on prend DEUX derniers chiffres. Pour 9138, c'est 38, et 38 n'est pas divisible par 4. Exemple correct : pour 9136, la queue est 36, 36 : 4 = 9, donc 9136 : 4 = 2284. Pour la divisibilité par 8, la queue est encore plus longue — trois chiffres.
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On vérifie le critère de divisibilité par 9 en regardant le dernier chiffre : on cherche des nombres se terminant par 9 ou 0.
Le dernier chiffre ne signifie rien pour la divisibilité par 9. On calcule la somme de tous les chiffres : pour 4563, c'est 18, la somme est divisible par 9 — et le nombre l'est aussi (4563 : 9 = 507), même s'il se termine par 3.
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On pense que si un nombre est divisible par 3, alors il est aussi divisible par 9.
Cela fonctionne seulement dans un sens : divisible par 9 → divisible par 3. L'inverse n'est pas vrai. Pour 8241, la somme des chiffres est 15 : elle est divisible par 3 (8241 : 3 = 2747), mais pas par 9.
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On additionne simplement tous les chiffres, comme pour 3 et 9, pour le critère de divisibilité par 11.
Pour la divisibilité par 11, la somme est alternée : on additionne les chiffres en partant de la droite, en changeant le signe tous les deux chiffres. Pour 6479, c'est 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → il est divisible (6479 : 11 = 589). La somme habituelle des chiffres ici est 26 et ne dit rien.
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On confond le critère de divisibilité avec la division elle-même : à la question « 5391 est-il divisible par 9 ? », on répond « oui, 18 ».
18 est la somme des chiffres, un résultat intermédiaire du critère. Le quotient est calculé séparément : 5391 : 9 = 599. Le critère répond seulement « divisible / non divisible ».
Questions et réponses
Qu'est-ce qu'un critère de divisibilité en termes simples ?
C'est une règle qui permet de savoir si un nombre est divisible exactement, sans effectuer la division elle-même. Il suffit généralement de regarder les derniers chiffres du nombre ou de faire la somme de tous ses chiffres.
Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?
Additionnez tous les chiffres du nombre. Si la somme obtenue est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3. Par exemple, pour 2571, la somme des chiffres est 2 + 5 + 7 + 1 = 15, et 15 est divisible par 3 → 2571 : 3 = 857.
Quelle est la différence entre le critère de divisibilité par 3 et celui par 9 ?
La règle est la même — on calcule la somme des chiffres, mais on la vérifie par rapport à des nombres différents : pour 3, la somme doit être divisible par 3 ; pour 9, elle doit être divisible par 9. Par conséquent, tout nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3, mais l'inverse n'est pas toujours vrai : pour 9420, la somme des chiffres est 15, elle est divisible par 3 (9420 : 3 = 3140), mais pas par 9.
Que faire si la somme des chiffres est grande ?
Appliquez à nouveau le critère — cette fois à la somme. Pour le nombre 777 771, la somme des chiffres est 36, et pour 36 la somme est 3 + 6 = 9. Neuf est divisible par 9, donc le nombre initial l'est aussi (et par 3 par la même occasion) : 777 771 : 9 = 86 419.
Existe-t-il un critère de divisibilité par 7 ?
Il n'y a pas de règle simple comme la somme des chiffres pour 7, et il n'est pas inclus dans le tableau scolaire des critères. Il existe une astuce : retirez le dernier chiffre, doublez-le et soustrayez-le du reste du nombre. Par exemple, pour 343 : on retire 3, on double — 6, on calcule 34 − 6 = 28. Le nombre 28 est divisible par 7, donc 343 l'est aussi : 343 : 7 = 49.
Quels sont les critères de divisibilité par 12, 15 et 45 ?
Ce sont des critères composés — le nombre doit satisfaire deux critères simultanément : pour 12, il doit être divisible par 3 et par 4 ; pour 15, par 3 et par 5 ; pour 45, par 5 et par 9. Il est important que les facteurs soient premiers entre eux : la décomposition 12 = 2 · 6 n'est pas valable, car 18 est divisible par 2 et par 6, mais pas par 12.
En quelle classe étudie-t-on les critères de divisibilité ?
En 6ème, lors des cours de mathématiques : d'abord les critères par 10, 5 et 2, puis par 3 et par 9. Les critères par 4, 8, 11 et 25 sont généralement abordés en complément — ils seront utiles pour simplifier les fractions et lors des compétitions.
