La formule quadratique permet de résoudre toute équation du second degré de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)). Ses racines sont données par \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Sur cette page, vous découvrirez la signification de chaque partie, comment utiliser la formule étape par étape, comment le discriminant vous indique le nombre de solutions à attendre, et des exemples entièrement résolus — ainsi qu'un entraîneur interactif pour vous exercer immédiatement.
Qu'est-ce que la formule quadratique
Une équation du second degré est toute équation que vous pouvez écrire sous la forme standard \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres et \(a \neq 0\). Les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) sont appelés les coefficients : \(a\) est le coefficient de \(x^2\), \(b\) est le coefficient de \(x\), et \(c\) est le terme constant.
La formule quadratique donne les solutions (les racines) directement à partir de ces trois coefficients — aucune factorisation n'est requise. Elle fonctionne pour toutes les équations du second degré, même celles qui ne se factorisent pas facilement.
D'où elle vient (démonstration) : la formule est ce que l'on obtient en complétant le carré sur l'équation générale. Divisez \(ax^2 + bx + c = 0\) par \(a\), déplacez la constante, ajoutez \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) des deux côtés pour former un carré parfait, et prenez la racine carrée. Le résultat est la formule unique ci-dessous, valable pour tous \(a\), \(b\), \(c\).
Le discriminant : combien de racines
La partie sous la racine carrée, \(b^2 - 4ac\), est appelée le discriminant (souvent noté \(D\)). Vous n'avez pas besoin de terminer toute la formule pour savoir combien de solutions possède une équation — le signe du discriminant vous l'indique immédiatement.
Comme vous ne pouvez pas prendre la racine carrée réelle d'un nombre négatif, le signe de \(D\) divise chaque équation du second degré en trois cas précis : deux racines, une racine double ou aucune racine réelle. Sur un graphique, cela correspond aux points où la parabole \(y = ax^2 + bx + c\) rencontre l'axe des abscisses — deux fois, une fois (au sommet), ou pas du tout.
| Discriminant D = b² − 4ac | Racines réelles | Ce que vous obtenez |
|---|---|---|
| D > 0 | Deux racines réelles distinctes | La parabole traverse l'axe des abscisses deux fois. Utilisez les deux signes : x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Une racine réelle (double) | La parabole touche l'axe des abscisses à son sommet. Le ± disparaît : x = −b / 2a. |
| D < 0 | Aucune racine réelle | La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses. Il n'y a pas de racine carrée réelle d'un nombre négatif. |
Comment utiliser la formule quadratique : étapes
La formule quadratique fonctionne toujours de la même manière. Suivez ces cinq étapes dans l'ordre et elle ne vous fera jamais défaut — la partie la plus difficile est simplement de lire correctement les coefficients (avec leurs signes).
Exemples de formule quadratique (étape par étape)
Exemple 1. Deux racines réelles (D > 0)
Résoudre \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Étapes 1–2. L'équation est déjà sous forme standard, donc relevez les coefficients : \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Étape 3. Discriminant : \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Étape 4. \(D = 25 > 0\), donc il y a deux racines réelles distinctes.
Étape 5. Substitution : \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
En utilisant le signe plus : \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). En utilisant le signe moins : \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Racines : \(x = 3\) et \(x = \tfrac{1}{2}\).
Exemple 2. Une racine double (D = 0)
Résoudre \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Étapes 1–2. Forme standard déjà acquise : \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Étape 3. Discriminant : \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Étape 4. \(D = 0\), donc il y a exactement une racine réelle (une racine double). Le terme \(\pm\) disparaît car \(\sqrt{0} = 0\).
Étape 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Racine : \(x = 3\) (cette équation est le carré parfait \((x-3)^2 = 0\)).
Exemple 3. Aucune racine réelle (D < 0)
Résoudre \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Étapes 1–2. Forme standard : \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Étape 3. Discriminant : \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Étape 4. \(D = -16 < 0\). Comme vous ne pouvez pas prendre la racine carrée réelle d'un nombre négatif, cette équation n'a aucune racine réelle — sa parabole ne traverse jamais l'axe des abscisses.
Étape 5. Aucun travail supplémentaire n'est nécessaire pour des solutions réelles. (Si vous avez étudié les nombres complexes, les racines sont \(x = -1 \pm 2i\), mais pour une réponse réelle, nous nous arrêtons ici.)
Erreurs courantes avec la formule quadratique
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Se tromper sur le signe de b, surtout quand b est négatif.
La formule commence par −b. Si b = −7, alors −b = +7 — les deux signes moins s'annulent. Écrivez la substitution entièrement, par ex. −(−7), avant de simplifier.
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Oublier le ± et ne donner qu'une seule racine.
Quand D > 0, le ± produit deux réponses : une avec + et une avec −. Calculez toujours les deux (−b + √D)/(2a) et (−b − √D)/(2a) sauf si D = 0.
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Ne diviser qu'une partie du numérateur par 2a.
Tout le numérateur, −b ± √D, est divisé par 2a — pas seulement la partie √D. Gardez-le comme une seule fraction : (−b ± √D) / (2a).
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Calculer le discriminant de manière erronée quand a ou c est négatif.
Dans D = b² − 4ac, soustraire 4ac quand a·c est négatif revient à ajouter. Pour 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, donc D = 4 + 12 = 16, et non 4 − 12.
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Appliquer la formule avant d'écrire l'équation sous forme standard.
Déplacez chaque terme d'un côté pour que l'équation soit ax² + bx + c = 0 d'abord. Par exemple, x² = 5x − 6 doit devenir x² − 5x + 6 = 0 avant de relever a, b, c.
Questions fréquemment posées
Qu'est-ce que la formule quadratique ?
La formule quadratique est x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Elle donne les solutions de toute équation du second degré ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) directement à partir des coefficients a, b et c.
Comment utiliser la formule quadratique étape par étape ?
Écrivez l'équation sous forme standard ax² + bx + c = 0, identifiez a, b et c avec leurs signes, calculez le discriminant D = b² − 4ac, vérifiez son signe pour voir combien de racines il y a, puis substituez dans x = (−b ± √D) / (2a) et simplifiez les versions plus et moins.
Qu'est-ce que le discriminant et pourquoi est-ce important ?
Le discriminant est D = b² − 4ac, l'expression sous la racine carrée. Son signe vous indique le nombre de racines réelles sans terminer le calcul : D > 0 donne deux racines réelles, D = 0 donne une racine double, et D < 0 donne aucune racine réelle.
Quand dois-je utiliser la formule quadratique plutôt que la factorisation ?
La factorisation est rapide quand l'équation se factorise avec de petits nombres entiers. La formule quadratique fonctionne pour toutes les équations du second degré, y compris celles qui ne se factorisent pas facilement ou qui ont des racines irrationnelles ou non entières, c'est donc la solution de secours fiable lorsque la factorisation n'est pas évidente.
D'où vient la formule quadratique ?
Elle est dérivée en complétant le carré sur l'équation générale ax² + bx + c = 0 : divisez par a, complétez le carré en ajoutant (b/2a)², réécrivez le côté gauche comme un carré parfait, et prenez la racine carrée des deux côtés. Le résultat est la formule quadratique.
La formule quadratique peut-elle ne donner aucune réponse ?
Si le discriminant est négatif (D < 0), il n'y a pas de solution réelle car vous ne pouvez pas prendre la racine carrée réelle d'un nombre négatif. L'équation possède toujours deux racines complexes, mais il n'y a aucune racine réelle — sur un graphique, la parabole ne touche tout simplement jamais l'axe des abscisses.
