Les propriétés des puissances sont huit règles permettant de multiplier, diviser, élever à une puissance et simplifier les puissances. Cette page rassemble toutes les formules dans un tableau : produit et quotient de puissances de même base, puissance d'une puissance, puissance d'un produit et d'un quotient, exposant nul, négatif et fractionnaire. Chaque propriété est expliquée, suivie d'exemples détaillés, d'une analyse des erreurs fréquentes liées aux signes et d'un exercice interactif pour vous tester immédiatement.
Qu'est-ce qu'une puissance : base et exposant
Une puissance est une notation abrégée pour le produit de facteurs identiques. L'écriture \(a^n\) signifie que le nombre \(a\) est multiplié par lui-même \(n\) fois :
Ici, \(a\) est la base de la puissance (ce que l'on multiplie) et \(n\) est l'exposant (combien de fois on multiplie). Par exemple, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\) : la base est 3, l'exposant est 4.
Deux écritures à retenir immédiatement : \(a^1 = a\) (une « copie » du nombre) et \(a^2\) — « carré », \(a^3\) — « cube ». Toutes les règles ci-dessous fonctionnent précisément avec les bases et les exposants : certaines propriétés exigent des bases identiques, d'autres des exposants identiques. Distinguer ces deux cas est plus important que de connaître les formules par cœur.
Toutes les propriétés des puissances : tableau des formules
Il est pratique d'avoir les huit propriétés fondamentales des puissances sous les yeux dans un seul tableau. Les cinq premières fonctionnent pour tout exposant, tandis que les trois dernières étendent la notion de puissance aux exposants nul, négatif et fractionnaire.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit bases identiques — on additionne les exposants | am · an = am+n |
| Quotient bases identiques — on soustrait les exposants | am : an = am−n |
| Puissance d'une puissance on multiplie les exposants | (am)n = amn |
| Puissance d'un produit chaque facteur est élevé à la puissance | (ab)n = anbn |
| Puissance d'un quotient numérateur et dénominateur sont élevés à la puissance | (a/b)n = an/bn |
| Exposant nul tout nombre, sauf zéro, donne un | a0 = 1 |
| Exposant négatif on inverse en fraction | a−n = 1/an |
| Exposant fractionnaire c'est une racine de degré n | am/n = ⁿ√(am) |
Multiplication et division de puissances de même base
Ce sont les deux opérations les plus fréquentes avec les puissances.
Lors de la multiplication, les exposants s'additionnent, la base ne change pas :
Pourquoi : dans le premier facteur il y a \(m\) nombres identiques, dans le second \(n\), au total il y en a \(m+n\). Par exemple, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
Lors de la division, les exposants se soustraient (on soustrait l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende) :
Par exemple, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Important : lors de l'addition et de la soustraction de puissances, les exposants ne s'additionnent pas. L'expression \(2^3 + 2^4\) ne peut pas être réduite en une seule puissance : \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), alors que \(2^7 = 128\). Les propriétés ne fonctionnent que pour la multiplication et la division.
La base lors de la multiplication ne change pas non plus. \(2^3 \cdot 2^4\) donne \(2^7\), et non \(4^7\) : on additionne les exposants et on recopie la base telle quelle.
Puissance d'une puissance, puissance d'un produit et puissance d'un quotient
Puissance d'une puissance — les exposants se multiplient :
Par exemple, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Puissance d'un produit — chaque facteur est élevé à la puissance :
Par exemple, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Puissance d'un quotient — le numérateur et le dénominateur sont élevés à la puissance :
Par exemple, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Les deux dernières formules sont souvent utilisées de droite à gauche — elles permettent alors de multiplier des puissances ayant des bases différentes mais un même exposant : \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
Et si les bases sont différentes et les exposants aussi, on ramène généralement l'expression à une même base : on remarque que les nombres sont des puissances d'un même nombre. Par exemple, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), et le produit \(4^3 \cdot 8^2\) devient \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Exposant nul et négatif
Tout nombre, sauf zéro, élevé à la puissance zéro est égal à un :
Ce n'est pas une invention, mais une conséquence de la règle de division : \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), mais ce même quotient est égal à \(216 : 216 = 1\). Donc, \(6^0 = 1\). L'expression \(0^0\) n'est pas définie.
Un exposant négatif signifie l'inverse de la puissance :
Par exemple, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), et \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Conséquence pratique : une fraction à une puissance négative est inversée, et l'exposant devient positif :
Le signe moins dans l'exposant ne rend pas le nombre négatif. L'écriture \(2^{-3}\) est la fraction positive \(\frac{1}{8}\), et non \(-8\). Le signe de l'exposant gère « l'inversion », et non le signe du résultat.
L'essentiel : les huit propriétés du tableau continuent de fonctionner pour les exposants nuls et négatifs — par exemple, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Exposant fractionnaire et racines
Un exposant fractionnaire est une autre façon d'écrire une racine :
Le dénominateur de la fraction indique le degré de la racine, le numérateur — la puissance de l'expression sous la racine. Exemples : \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Restriction : pour un dénominateur pair \(n\), la base doit être non négative (\(a \geqslant 0\)) — la racine de degré pair d'un nombre négatif n'est pas définie dans le programme scolaire.
Pourquoi est-ce utile : les mêmes propriétés s'appliquent aux exposants fractionnaires, il est donc pratique de multiplier et diviser des racines en les convertissant en puissances. Par exemple, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Puissance d'un nombre négatif : où le signe se perd
Si la base est négative, le signe du résultat dépend de la parité de l'exposant :
- exposant pair — résultat positif : \((-3)^2 = 9\) ;
- exposant impair — résultat négatif : \((-3)^3 = -27\).
Il est particulièrement important de distinguer les écritures avec et sans parenthèses : \((-3)^2 = 9\), mais \(-3^2 = -9\). Dans le second cas, seul le 3 est élevé au carré, et le signe moins reste devant. C'est l'erreur de signe la plus fréquente lors des contrôles.
Il est également utile de se souvenir des puissances de moins un : \((-1)^{100} = 1\), et \((-1)^{101} = -1\) — un exposant pair donne \(+1\), un exposant impair donne \(-1\).
Ordre des opérations dans les expressions avec des puissances
Lorsqu'une expression contient à la fois des puissances et des opérations classiques, l'ordre est le suivant : d'abord les parenthèses, puis les puissances et les racines, ensuite la multiplication et la division, et enfin l'addition et la soustraction.
Par exemple, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\) : on élève d'abord au carré, puis on multiplie et on additionne.
Exemples : comment appliquer les propriétés des puissances
Exemple 1. Multiplication et division dans une même expression
Exercice. Simplifier \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Étape 1. Multiplication : les bases sont identiques, on additionne les exposants — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Étape 2. Division : on soustrait les exposants — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Réponse. \(x^2\) (pour \(x \neq 0\)).
Exemple 2. Puissance d'un produit avec un coefficient
Exercice. Élever à la puissance \((3a^4)^3\).
Étape 1. Chaque facteur est élevé à la puissance : \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Étape 2. On calcule séparément : \(3^3 = 27\), et pour la puissance d'une puissance, les exposants se multiplient — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Réponse. \(27a^{12}\). L'erreur fréquente ici est d'oublier d'élever le 3 au cube et d'écrire \(3a^{12}\).
Exemple 3. Exposant négatif dans un produit
Exercice. Calculer \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Étape 1. Les bases sont identiques — on additionne les exposants selon la règle habituelle, le signe moins participe simplement à l'addition : \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Étape 2. \(8^3 = 512\).
Réponse. \(512\). Notez : il n'était pas nécessaire de transformer \(8^{-2}\) en fraction — les propriétés des puissances fonctionnent directement avec les exposants négatifs.
Exemple 4. Fraction à une puissance négative
Exercice. Calculer \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Étape 1. L'exposant négatif inverse la fraction : \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Étape 2. On élève le numérateur et le dénominateur au carré : \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Réponse. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Exemple 5. Exposant fractionnaire
Exercice. Calculer \(81^{\frac{3}{4}}\).
Étape 1. Le dénominateur de l'exposant est le degré de la racine : \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Étape 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), car \(3^4 = 81\).
Étape 3. Il reste à élever au cube : \(3^3 = 27\).
Réponse. \(27\). Il est plus pratique d'extraire la racine en premier — les nombres obtenus sont plus petits que si l'on calculait d'abord \(81^3\).
Exemple 6. Expression combinée
Exercice. Calculer \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Étape 1. Puissance d'une puissance au numérateur : \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Étape 2. Division de puissances de même base : \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Étape 3. \(3^2 = 9\).
Réponse. \(9\). Règle générale : on simplifie d'abord les parenthèses et les puissances de puissances, puis on traite la multiplication et la division.
Erreurs fréquentes lors des calculs avec les puissances
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Additionner les exposants lors de l'**addition** de puissances : écrire $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Les exposants ne s'additionnent que lors de la multiplication. Ici, \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), alors que \(2^4 = 16\) — l'égalité est fausse. La somme de puissances ne peut pas être réduite en une seule puissance, elle peut seulement être factorisée : \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
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Multiplier aussi les bases : $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
La base lors de la multiplication de puissances reste la même, seul l'exposant change : \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
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Croire que $(a+b)^n = a^n + b^n$, en confondant la somme avec le produit.
On ne peut « distribuer » la puissance qu'à un produit : \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — c'est correct. Mais \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), alors que \(2^2 + 3^2 = 13\). Pour une somme, il faut utiliser les identités remarquables, et non les propriétés des puissances.
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Croire que $a^0 = 0$.
Au contraire : tout nombre, sauf zéro, élevé à la puissance zéro est égal à un — \(9^0 = 1\). Seule la base égale à zéro donne zéro (\(0^n = 0\) pour \(n > 0\)), et l'expression \(0^0\) n'est pas définie.
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Soustraire les exposants dans le mauvais ordre : $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
On soustrait l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, et non l'inverse : \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). L'ordre est aussi important ici que dans une soustraction classique.
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Penser qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : $2^{-2} = -4$.
Un exposant négatif signifie une fraction, pas un signe moins : \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Le résultat reste positif.
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Perdre le signe d'une base négative : écrire $(-4)^2 = -16$.
Avec un exposant pair, le signe moins « disparaît » : \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Et l'écriture sans parenthèses signifie autre chose : \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Les parenthèses changent tout.
Questions et réponses sur les propriétés des puissances
Les exposants s'additionnent-ils ou se multiplient-ils lors de la multiplication ?
Lors de la multiplication de puissances de même base, les exposants s'additionnent, et la base ne change pas : \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Par exemple, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Les exposants se multiplient dans un autre cas — lorsqu'on élève une puissance à une puissance : \((a^m)^n = a^{mn}\).
Lors de la division, les exposants s'additionnent-ils ou se soustraient-ils ?
Ils se soustraient : on soustrait l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) pour \(a \neq 0\). Par exemple, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
Combien vaut un nombre à la puissance zéro ?
Un, si la base n'est pas zéro : \(a^0 = 1\). Cela découle de la règle de division — le quotient \(a^n : a^n\) est égal à la fois à \(a^0\) et à un. L'expression \(0^0\) n'est pas définie dans le programme scolaire.
Comment se débarrasser d'un exposant négatif ?
En inversant l'expression en fraction : \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Par exemple, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Si la base est elle-même une fraction, elle est simplement inversée, et l'exposant devient positif.
Qu'est-ce que la base et l'exposant d'une puissance ?
Dans l'écriture \(a^n\), le nombre \(a\) est la base de la puissance, c'est-à-dire le facteur qui se répète ; \(n\) est l'exposant, il indique combien de fois ce facteur est répété. Dans l'écriture \(5^4\), la base est 5, l'exposant est 4, et la valeur est 625.
Peut-on multiplier des puissances ayant des bases différentes ?
On peut les réduire en une seule puissance si les exposants sont identiques : \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Par exemple, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Si les bases et les exposants sont différents, on ramène d'abord l'expression à une base commune (lorsque c'est possible), sinon on la laisse telle quelle.
Combien y a-t-il de propriétés des puissances au total ?
Il y en a huit principales : produit et quotient de puissances de même base, puissance d'une puissance, puissance d'un produit, puissance d'un quotient, exposant nul, exposant négatif et exposant fractionnaire. Selon les manuels, elles sont regroupées différemment, on trouve donc des formulations comme « cinq propriétés » ou « dix propriétés », mais le contenu est le même — tout le résumé se trouve dans le tableau ci-dessus.
Que signifie un exposant fractionnaire ?
Une racine. Le dénominateur de la fraction est le degré de la racine, le numérateur est la puissance de l'expression sous la racine : \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Par exemple, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Pour un dénominateur pair, la base doit être non négative.
En quelle classe étudie-t-on les propriétés des puissances ?
La puissance à exposant naturel et ses propriétés fondamentales sont étudiées en 4ème, la puissance à exposant entier négatif en 3ème, et la puissance à exposant rationnel (fractionnaire) ainsi que les racines en seconde et au lycée. Ces mêmes propriétés sont nécessaires au brevet et au baccalauréat pour la transformation d'expressions.
