La variation en pourcentage indique la part de la valeur initiale dont une grandeur a augmenté ou diminué. Elle se calcule avec une seule formule : (nouveau − ancien) ÷ ancien × 100 %. Cette page détaille chaque partie de la formule, propose des exemples concrets avec des prix, des salaires et des remises, pointe les pièges classiques, et se termine par un entraîneur interactif pour t'exercer tout de suite.
Qu'est-ce qu'une variation en pourcentage
La variation en pourcentage est une façon d'exprimer à quel point une grandeur a changé, en proportion de sa valeur initiale. C'est ainsi qu'on compare des prix, des salaires, un nombre d'abonnés, des résultats scolaires — toute paire de valeurs « avant » et « après ».
Pourquoi utiliser des pourcentages plutôt que des euros ou des unités ? Une variation absolue ne dit rien de l'échelle. Une hausse de 10 € est énorme pour un article à 50 € (un cinquième du prix !) et presque insignifiante pour un article à 1 000 € (à peine un centième). Les pourcentages ramènent la variation à une échelle commune et permettent une comparaison honnête : +20 %, c'est +20 % qu'il s'agisse d'un chewing-gum ou d'un appartement.
La formule de la variation en pourcentage
Le calcul se fait toujours en deux étapes :
- Trouver la variation absolue — soustraire l'ancienne valeur de la nouvelle : \(\Delta = \text{nouveau} - \text{ancien}\).
- Diviser la variation par l'ancienne valeur et multiplier par 100 % — on obtient la variation en pourcentage.
Le point le plus important de la formule est la base : on divise toujours par l'ancienne (initiale) valeur, car on compare à ce qui existait avant. Diviser par la nouvelle valeur est l'erreur la plus fréquente sur ce sujet.
Hausse ou baisse : ce qu'indique le signe du résultat
La formule indique elle-même le sens de la variation. Si la nouvelle valeur est plus grande que l'ancienne, la différence est positive — la grandeur a augmenté. Si elle est plus petite, la différence est négative — la grandeur a diminué. Pour répondre à « de combien de pourcent a-t-elle diminué ? », on omet généralement le signe moins : on dit « a diminué de 5 % », pas « a varié de −5 % ».
Ne confonds pas « de combien de pourcent ? » et « combien de fois ? » — ce sont deux calculs différents. « De combien de pourcent » suit la formule de variation en pourcentage, tandis que « combien de fois » s'obtient simplement en divisant la nouvelle valeur par l'ancienne.
Comment augmenter ou baisser un prix de 10 pour cent : le problème inverse
Souvent, le problème est inversé : le pourcentage est connu, et il faut trouver la nouvelle (ou l'ancienne) valeur. C'est là qu'intervient le coefficient multiplicateur :
- augmenter de \(p\%\) — multiplier par \(1 + \frac{p}{100}\). Augmenter un prix de 1 200 € de 25 % : \(1200 \times 1{,}25 = 1500\) € ;
- diminuer de \(p\%\) — multiplier par \(1 - \frac{p}{100}\). Une remise de 25 % sur 1 200 € : \(1200 \times 0{,}75 = 900\) € ;
- retrouver l'ancienne valeur — diviser la nouvelle valeur par ce même coefficient : si après une hausse de 25 % un article coûte 1 500 €, il coûtait avant \(1500 \div 1{,}25 = 1200\) €.
Le coefficient évite les détours : pas besoin de calculer séparément « combien ça fait en euros » puis de l'ajouter — une seule multiplication donne directement la réponse.
Pourcentage et points de pourcentage : quelle différence
Quand une grandeur elle-même exprimée en pourcentage varie (un taux d'intérêt, un taux de participation, une part de marché), il existe deux façons différentes de décrire la variation :
- points de pourcentage (pts) — une simple différence : un taux était de 10 %, il est passé à 12 % → il a augmenté de 2 points de pourcentage ;
- pourcentage — une variation relative selon la formule habituelle : \((12 - 10) \div 10 \times 100\% = 20\%\) → le taux a augmenté de 20 pour cent.
Les deux affirmations sont exactes et décrivent le même événement, mais les chiffres diffèrent — c'est pourquoi les médias et les publicités jouent parfois sur cette ambiguïté pour faire paraître une variation plus grande ou plus petite. Vérifie toujours de quoi il s'agit : de points ou de pourcentage.
Le piège : +50 % puis −50 % ne ramène pas à zéro
On ne peut pas additionner ou soustraire des pourcentages de bases différentes comme des nombres ordinaires. Si une grandeur augmente de \(p\%\) puis diminue du même \(p\%\), elle ne revient pas à son point de départ : la baisse se calcule déjà à partir de la nouvelle base, plus élevée. Le coefficient combiné \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right) = 1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\) est toujours inférieur à un, donc le résultat final est toujours en dessous du point de départ.
Exemples : calculer une variation en pourcentage étape par étape
Exemple 1. Le prix augmente : de 500 € à 600 €
Énoncé. Un livre coûtait 500 €, il coûte maintenant 600 €. De combien de pourcent le prix a-t-il augmenté ?
Étape 1. Calculer la variation en euros : \(600 - 500 = 100\) €.
Étape 2. Diviser par l'ancienne valeur — la base : \(100 \div 500 = 0{,}2\).
Étape 3. Convertir la fraction en pourcentage : \(0{,}2 \times 100\% = 20\%\).
Réponse : le prix a augmenté de 20 %.
Exemple 2. La facture diminue : de 440 € à 418 €
Énoncé. La facture téléphonique mensuelle était de 440 €, elle est passée à 418 €. De combien de pourcent a-t-elle diminué ?
Étape 1. Variation : \(418 - 440 = -22\) € — la facture a baissé de 22 €.
Étape 2. Diviser par l'ancienne valeur : \(-22 \div 440 = -0{,}05\).
Étape 3. En pourcentage : \(-0{,}05 \times 100\% = -5\%\).
Réponse : la facture a diminué de 5 %. Le signe moins indique une baisse ; pour répondre à « de combien a-t-elle diminué », on l'omet.
Exemple 3. Comment augmenter un prix de 10 pour cent
Énoncé. Un article coûte 800 €. Le vendeur augmente le prix de 10 %. Quel est le nouveau prix ?
Résolution avec le coefficient. Augmenter de 10 % revient à multiplier par \(1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\) :
\(800 \times 1{,}1 = 880\) €.
Vérification avec la formule de variation : \((880 - 800) \div 800 \times 100\% = 10\%\) — ça correspond.
Et diminuer le prix de 10 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}1 = 0{,}9\) : on obtient \(800 \times 0{,}9 = 720\) €.
Exemple 4. Le problème inverse : quel était le prix avant la remise
Énoncé. Après une remise de 20 %, une veste coûte 1 440 €. Combien coûtait-elle avant la remise ?
Étape 1. Une remise de 20 % signifie qu'il reste \(100\% - 20\% = 80\%\) de l'ancien prix — un coefficient de \(0{,}8\).
Étape 2. Diviser le nouveau prix par le coefficient : \(1440 \div 0{,}8 = 1800\) €.
Vérification : \(1800 \times 0{,}8 = 1440\) € — c'est correct.
Réponse : avant la remise, la veste coûtait 1 800 €. Une erreur fréquente consiste à ajouter 20 % au nouveau prix (\(1440 \times 1{,}2 = 1728\) €) : c'est faux, car la remise a été calculée sur l'ancien prix, pas sur le nouveau.
Erreurs fréquentes dans le calcul de la variation en pourcentage
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Diviser la variation par la nouvelle valeur au lieu de l'ancienne : (600 − 500) ÷ 600 = 16,7 %.
La base est toujours l'ancienne valeur, car on compare à ce qui existait avant : (600 − 500) ÷ 500 × 100 % = 20 %. Avant de calculer, identifie clairement quel nombre est la valeur initiale.
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Additionner ou soustraire des pourcentages de bases différentes : « +50 % puis −50 % — retour au point de départ », « une remise de 20 % puis encore 30 % — 50 % au total ».
Chaque pourcentage suivant se calcule à partir de la nouvelle base. Multiplie plutôt les coefficients : 1,5 × 0,5 = 0,75 (soit −25 % au final) ; 0,8 × 0,7 = 0,56 (remise combinée de 44 %, et non 50 %).
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Considérer « diminuer de 20 % » comme « multiplier par 0,2 ».
Multiplier par 0,2 revient à ne conserver que 20 % de la valeur (une baisse de 80 % !). Diminuer DE 20 % signifie multiplier par 1 − 0,2 = 0,8.
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Confondre pourcentage et points de pourcentage : un taux qui passe de 10 % à 12 % est appelé « une hausse de 2 % ».
De 2 points de pourcentage, c'est la simple différence. En pourcentage, le taux a augmenté de (12 − 10) ÷ 10 × 100 % = 20 %. Utilise le mot « points » pour la différence entre deux taux.
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Confondre « combien de fois » et « de combien de pourcent » : un triplement est appelé une hausse de 300 %.
Un triplement correspond à +200 % : sur les 300 % de la nouvelle valeur, 100 % correspondent au montant initial, seuls 200 % ont donc été ajoutés. La formule ne trompe pas : (300 − 100) ÷ 100 × 100 % = 200 %.
Questions et réponses
Comment calculer de combien de pourcent un nombre est plus grand qu'un autre ?
Avec la même formule : on divise la différence des nombres par celui auquel on compare, puis on multiplie par 100 %. « De combien de pourcent 80 est-il plus grand que 64 ? » — (80 − 64) ÷ 64 × 100 % = 25 %. Attention : « de combien de pourcent 64 est-il plus petit que 80 » donne une réponse différente — (80 − 64) ÷ 80 × 100 % = 20 % — car la base est différente.
Comment calculer une variation en pourcentage à la calculatrice ou dans Excel ?
À la calculatrice : divise la nouvelle valeur par l'ancienne, soustrais 1, puis multiplie par 100. Par exemple, 600 ÷ 500 = 1,2 → 1,2 − 1 = 0,2 → 20 %. Dans Excel ou Google Sheets : si l'ancienne valeur est dans la cellule A1 et la nouvelle dans B1, la formule est =(B1-A1)/A1, et il faut donner à la cellule un format pourcentage.
Que faire si l'ancienne valeur est égale à zéro ?
La variation en pourcentage n'est alors pas définie — on ne peut pas diviser par zéro. Si une chaîne avait 0 abonné et en a maintenant 50, il n'est pas correct de parler d'une « hausse de tant de pourcent » : c'est une croissance à partir de zéro. Dans ce cas, on indique la variation absolue (+50 abonnés).
Quelle est la différence entre variation en pourcentage et écart en pourcentage ?
La variation en pourcentage est orientée : il y a un « ancien » et un « nouveau », et on divise par l'ancien. L'écart en pourcentage compare deux valeurs sur un pied d'égalité, sans ordre : la différence absolue est divisée par leur moyenne. Dans les exercices scolaires et au quotidien (prix, salaires, remises), c'est presque toujours la variation en pourcentage qu'il faut utiliser.
Si une grandeur a augmenté de 100 %, de combien de fois a-t-elle été multipliée ?
Par 2. Une hausse de 100 % signifie qu'on a ajouté à la grandeur un montant égal à elle-même. De même, une hausse de 200 % correspond à une multiplication par 3, et une hausse de 50 % à une multiplication par 1,5. Inversement, « a été multiplié par 4 » signifie « a augmenté de 300 % ».
Comment calculer une variation de prix en pourcentage sur plusieurs mois ?
Il y a deux méthodes. La variation globale sur la période s'obtient avec la formule habituelle entre la première et la dernière valeur. Mais si l'on connaît le pourcentage de chaque mois séparément, on ne peut pas les additionner — il faut multiplier les coefficients : une hausse de 10 % suivie d'une hausse de 20 % donne 1,1 × 1,2 = 1,32, soit +32 %, et non +30 %.
