Les identités remarquables sont des égalités algébriques prêtes à l'emploi qui permettent de développer des expressions ou de les factoriser sans avoir à effectuer de longs calculs. Sur cette page, tu trouveras un tableau récapitulatif des sept formules : carré d'une somme et d'une différence, différence de deux carrés, cube d'une somme et d'une différence, somme et différence de deux cubes. Chaque formule est expliquée avec sa démonstration et des exemples, et tu trouveras à la fin un exercice interactif pour t'entraîner.
Que sont les identités remarquables ?
Les identités remarquables sont des égalités qui s'obtiennent en multipliant des polynômes une fois pour toutes et en mémorisant le résultat. Plus besoin de développer à chaque fois : il suffit de reconnaître le « modèle » et d'y substituer tes nombres ou tes lettres.
Dans le programme de mathématiques au collège, les identités remarquables s'utilisent dans deux sens :
- de gauche à droite — pour développer rapidement une expression mise au carré ou au cube ;
- de droite à gauche — pour factoriser un polynôme (utile pour simplifier des fractions ou résoudre des équations).
On en retient généralement sept. Tu trouveras ci-dessous un tableau récapitulatif, suivi d'une explication détaillée pour chaque formule.
Tableau des identités remarquables
Il est pratique d'avoir les sept identités remarquables sous les yeux dans un seul tableau. Ici, les lettres \(a\) et \(b\) représentent n'importe quelle expression : un nombre, une variable ou un monôme comme \(2x\).
| Formule | Écriture |
|---|---|
| Carré d'une somme | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Carré d'une différence | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Différence de deux carrés | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Cube d'une somme | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Cube d'une différence | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Somme de deux cubes | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Différence de deux cubes | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Carré d'une somme et carré d'une différence
Le carré d'une somme s'obtient en multipliant \((a+b)\) par lui-même :
En mots : le carré d'une somme est égal au carré du premier terme plus le double produit du premier par le second plus le carré du second. Le carré d'une différence se démontre de la même manière — le signe du terme central devient un moins :
L'essentiel est de ne pas oublier le terme central \(2ab\) : c'est précisément à cause de lui que \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Pour le carré d'une somme et le carré d'une différence, seul le signe devant \(2ab\) change, tandis que les termes extrêmes \(a^2\) et \(b^2\) sont toujours positifs.
Exemple. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Le carré d'une somme possède une interprétation géométrique intuitive : c'est l'aire d'un grand carré de côté \((a+b)\).
Différence de deux carrés
Si l'on multiplie la somme et la différence des mêmes expressions, les termes centraux s'annulent :
On obtient la formule de la différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). C'est l'identité remarquable la plus utile pour la factorisation : dès que tu vois une différence de deux carrés, transforme-la immédiatement en produit.
Exemple (développement). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Exemple (factorisation). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Attention : la somme de deux carrés \(a^2 + b^2\) ne peut pas être factorisée avec cette formule — seule la différence fonctionne.
Cube d'une somme, cube d'une différence, somme et différence de deux cubes
Le cube d'une somme et le cube d'une différence contiennent quatre termes :
Pour le cube d'une différence, les signes alternent : \(+\,-\,+\,-\). Et encore un piège classique : \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — on ne peut pas simplement « distribuer » la puissance, les termes centraux \(3a^2b\) et \(3ab^2\) ne doivent pas être oubliés.
Exemple. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
À part, on trouve la somme et la différence de deux cubes — elles servent, au contraire, à factoriser une expression :
Le second facteur est appelé carré incomplet d'une somme ou d'une différence. Le signe de son terme central est toujours opposé au signe de la première parenthèse : pour la somme de deux cubes, c'est \(-ab\), pour la différence, c'est \(+ab\).
Exemple. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Exemples d'application des identités remarquables
Exemple 1. Développer : carré d'une somme
Consigne. Développer \((2x+5)^2\).
Étape 1. On identifie la formule du carré d'une somme : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), où \(a = 2x\) et \(b = 5\).
Étape 2. On calcule chaque terme :
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\) ;
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\) ;
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Réponse. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Exemple 2. Utiliser la différence de deux carrés
Consigne. Calculer le produit \((3x-4)(3x+4)\).
Étape 1. Nous avons le produit de la différence et de la somme des mêmes expressions — c'est une différence de deux carrés \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), où \(a = 3x\) et \(b = 4\).
Étape 2. On met au carré chaque expression : \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Réponse. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Exemple 3. Factoriser
Consigne. Factoriser \(x^2 - 36\) et \(x^3 + 27\).
Différence de deux carrés. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Somme de deux cubes. On remarque que \(27 = 3^3\), donc \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). On applique la formule \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) avec \(a = x\) et \(b = 3\) :
Attention au signe \(-3x\) dans le carré incomplet — pour la somme de deux cubes, le terme central est négatif.
Exemple 4. Cube d'une somme
Consigne. Développer \((x+2)^3\).
Étape 1. Formule du cube d'une somme : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), où \(a = x\) et \(b = 2\).
Étape 2. On calcule les termes dans l'ordre :
- \(a^3 = x^3\) ;
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\) ;
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\) ;
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Réponse. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Erreurs fréquentes avec les identités remarquables
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Oublier le double produit : écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Dans le carré d'une somme ou d'une différence, il y a toujours un terme central \(2ab\) : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). C'est facile à vérifier : développe \((a+b)(a+b)\) en colonne, et le terme central apparaîtra naturellement.
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Confondre les signes dans le carré d'une différence et la différence de deux carrés.
Dans le carré d'une différence, le moins ne concerne que le terme central : \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (les termes extrêmes sont positifs). Dans la différence de deux carrés, le moins se situe entre les deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ce sont deux formules différentes.
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« Distribuer » la puissance pour le cube : $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
C'est une erreur. Le cube d'une somme contient quatre termes : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). La formule \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) est tout autre (somme de deux cubes), elle concerne la factorisation.
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Dans le carré incomplet de la somme/différence de deux cubes, mettre le double produit $2ab$.
Le carré incomplet est \(a^2 \pm ab + b^2\), sans le 2 devant \(ab\). Le signe est opposé à celui de la première parenthèse : somme de deux cubes \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), différence de deux cubes \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
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Essayer de factoriser une somme de deux carrés $a^2 + b^2$.
Seule la différence de deux carrés \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) peut être factorisée. La somme de deux carrés \(a^2 + b^2\) ne se factorise pas dans le programme scolaire.
Questions et réponses
Combien y a-t-il d'identités remarquables ?
Sept : carré d'une somme, carré d'une différence, différence de deux carrés, cube d'une somme, cube d'une différence, somme de deux cubes et différence de deux cubes. Elles sont toutes rassemblées dans le tableau ci-dessus.
À quoi est égal le carré d'une somme ?
Au carré du premier terme plus le double produit du premier par le second plus le carré du second : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Pour le carré d'une différence, le terme central est négatif : \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Comment factoriser une différence de deux carrés ?
En utilisant la formule \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Par exemple, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Il suffit de voir que les deux termes sont des carrés parfaits et qu'il y a un signe moins entre eux.
Pourquoi $(a+b)^2$ n'est-il pas égal à $a^2 + b^2$ ?
Parce qu'en multipliant \((a+b)(a+b)\), on obtient deux termes supplémentaires \(ab\), qui forment le terme central \(2ab\). Il ne faut pas l'oublier : la formule correcte est \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Quelle est la différence entre le cube d'une somme et la somme de deux cubes ?
Le cube d'une somme \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) est un développement. La somme de deux cubes \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) est, au contraire, une factorisation. Ce sont des formules différentes, ne les confonds pas.
En quelle classe apprend-on les identités remarquables ?
Généralement en 4ème au collège : d'abord le carré d'une somme et d'une différence, la différence de deux carrés, puis les formules pour les cubes. Elles sont ensuite activement utilisées pour simplifier des expressions, réduire des fractions et résoudre des équations.
