Un nombre décimal est un nombre dont la partie entière et la partie décimale sont séparées par une virgule : 3,25 ou 0,7. Toutes les opérations sur les nombres décimaux — addition, soustraction, multiplication et division — se font presque comme avec les nombres entiers ; l'essentiel est de bien suivre la virgule. Cette page rassemble toutes les règles avec des exemples posés, un aide-mémoire pour déplacer la virgule, une analyse des erreurs fréquentes et un entraîneur interactif pour s'auto-évaluer.
Rangs d'un nombre décimal
Chaque chiffre après la virgule a son propre nom et son propre poids :
- le premier rang, ce sont les dixièmes (0,1) ;
- le deuxième, les centièmes (0,01) ;
- le troisième, les millièmes (0,001), et ainsi de suite.
Propriété importante : si l'on ajoute des zéros à droite de la partie décimale, le nombre ne change pas : 5,7 = 5,70 = 5,700. Nous utiliserons constamment cette propriété : elle permet d'égaliser le nombre de chiffres après la virgule lors de l'addition, de la soustraction et de la comparaison.
Toutes les opérations sur les décimaux : l'aide-mémoire rapide
Chaque opération a sa propre règle clé concernant la virgule. Les quatre cartes ci-dessous résument tout le sujet, et chaque opération est ensuite détaillée avec des exemples.
Addition et soustraction posées de nombres décimaux
L'addition et la soustraction suivent la même règle :
- On écrit les nombres en colonne de sorte que la virgule soit exactement sous la virgule — les rangs identiques se retrouvent alors l'un sous l'autre : les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes.
- Si le nombre de chiffres après la virgule diffère, on l'égalise avec des zéros.
- On additionne ou on soustrait sans tenir compte des virgules, comme des nombres entiers.
- Dans le résultat, on place la virgule sous les virgules des nombres de départ.
Un nombre entier peut aussi s'écrire comme un nombre décimal : 6 = 6,00 — ce qui aide dans des exemples comme 6 − 2,35.
La règle de la multiplication des nombres décimaux
La multiplication est la seule opération où il n'est pas nécessaire d'aligner les virgules. La règle de la multiplication des décimaux comporte deux étapes :
- On multiplie les nombres sans tenir compte des virgules — comme des nombres entiers ordinaires.
- Dans le résultat, on sépare avec une virgule, à partir de la droite, autant de chiffres qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis.
Si le produit a moins de chiffres qu'il n'en faut séparer, on ajoute des zéros à gauche : 12 × 3 = 36, mais pour 0,12 × 0,3 il faut séparer trois chiffres, donc la réponse est 0,036.
Vérification rapide : en multipliant par un nombre inférieur à un, le résultat doit être plus petit que le premier facteur. S'il est plus grand, la virgule n'est pas à la bonne place.
Division de nombres décimaux
Il y a deux cas ici.
Division par un nombre entier. On effectue la division posée comme d'habitude, et on place la virgule au quotient au moment où la partie entière du dividende est terminée : 8,46 : 2 = 4,23.
Division par un nombre décimal. On se débarrasse d'abord de la virgule au diviseur : on déplace la virgule à la fois dans le dividende et dans le diviseur vers la droite du même nombre de rangs — c'est-à-dire qu'on multiplie les deux nombres par 10, 100 ou 1000. Le quotient ne change pas, et la division se ramène au premier cas.
Multiplier et diviser par 10, 100, 1000
Les opérations les plus rapides sur les décimaux sont la multiplication et la division par une puissance de dix. Pas besoin de division posée : il suffit de déplacer la virgule d'autant de rangs qu'il y a de zéros dans 10, 100 ou 1000. Pas assez de chiffres ? On ajoute des zéros.
Comparaison de nombres décimaux
Les nombres décimaux se comparent rang par rang :
- D'abord les parties entières : le nombre dont la partie entière est la plus grande est le plus grand.
- Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes, jusqu'à trouver une différence.
- Pour ne pas se tromper, égalisez le nombre de chiffres avec des zéros : comparer 5,7 et 5,68 est plus simple sous la forme 5,70 et 5,68 — soixante-dix centièmes, c'est plus que soixante-huit, donc 5,7 > 5,68.
La longueur de l'écriture ne dit rien : 0,5 est plus grand que 0,4999, bien qu'il ait moins de chiffres.
Opérations sur les nombres décimaux : exemples résolus
Exemple 1. Addition : 5,3 + 2,47
Étape 1. On égalise les chiffres après la virgule : 5,3 = 5,30.
Étape 2. On écrit en colonne, virgule sous virgule.
Étape 3. On additionne comme des nombres entiers : 530 + 247 = 777.
Étape 4. On place la virgule sous les virgules des termes : 7,77.
Exemple 2. Soustraction à partir d'un nombre entier : 6 − 2,35
Étape 1. On représente 6 comme un nombre décimal : 6 = 6,00.
Étape 2. On écrit en colonne : 6,00 − 2,35.
Étape 3. On soustrait en empruntant aux rangs supérieurs : 3,65.
Vérification. 3,65 + 2,35 = 6 — c'est correct.
Exemple 3. Multiplication : 2,5 × 0,04
Étape 1. On multiplie sans tenir compte des virgules : 25 × 4 = 100.
Étape 2. On compte les chiffres après la virgule : un dans 2,5 et deux dans 0,04 — trois au total.
Étape 3. On sépare trois chiffres à partir de la droite : 0,100.
Étape 4. On supprime les zéros finaux de la partie décimale : 0,1.
Vérification de l'ordre de grandeur. 0,04 est plus petit que un, donc la réponse doit être plus petite que 2,5 — c'est correct.
Exemple 4. Division par un nombre décimal : 1,44 : 1,2
Étape 1. On rend le diviseur entier : on déplace la virgule d'un rang vers la droite dans les deux nombres — on obtient 14,4 : 12.
Étape 2. On divise la partie entière : 14 : 12 = 1, reste 2.
Étape 3. La partie entière est terminée — on place la virgule au quotient et on abaisse le 4 : 24 : 12 = 2.
Réponse : 1,2. Vérification : 1,2 × 1,2 = 1,44.
Erreurs fréquentes dans les opérations sur les décimaux
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Lors de l'addition et de la soustraction, aligner les nombres par le bord droit, comme des entiers : écrire 3,25 + 4,8 en colonne sans tenir compte de la virgule donne 3,73.
Alignez sur la virgule, pas sur le dernier chiffre : 4,8 = 4,80, et alors 3,25 + 4,80 = 8,05. Les dixièmes doivent être sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes.
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Lors de la multiplication, essayer d'aligner les virgules ou placer la virgule du produit 'sous les virgules' des facteurs.
Dans la multiplication, les virgules ne s'alignent pas du tout. Multipliez comme des nombres entiers et séparez à droite autant de chiffres qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis.
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Si le produit a moins de chiffres qu'il n'en faut séparer, on perd des zéros : 0,12 × 0,3 = 0,36 au lieu de 0,036.
12 × 3 = 36 — ce ne sont que deux chiffres, mais il faut en séparer trois. Ajoutez les zéros manquants à gauche : 0,036.
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Lors de la division par un décimal, déplacer la virgule uniquement au diviseur : transformer 4,2 : 0,7 en 4,2 : 7 et obtenir 0,6.
La virgule se déplace dans les deux nombres du même nombre de rangs : 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Sinon le quotient est divisé par dix par erreur.
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Comparer les décimaux selon le nombre de chiffres : penser que 5,68 est plus grand que 5,7 parce que l'écriture est plus longue.
Égalisez les chiffres avec des zéros et comparez rang par rang : 5,70 et 5,68 — aux dixièmes 7 > 6, donc 5,7 > 5,68.
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Lors de la multiplication ou de la division par 10, 100, 1000, déplacer la virgule dans le mauvais sens.
La multiplication augmente le nombre — la virgule va vers la droite : 3,74 × 10 = 37,4. La division le diminue — elle va vers la gauche : 3,74 : 10 = 0,374. Le nombre de rangs est égal au nombre de zéros.
Questions et réponses
Quelles opérations sur les nombres décimaux étudie-t-on en 6e ?
En 6e, on étudie les quatre opérations — addition, soustraction, multiplication et division des décimaux —, ainsi que leur comparaison et leur arrondi. En général, on commence par l'addition et la soustraction posées, puis la multiplication et la division par un nombre entier, et enfin la division par un nombre décimal.
Un nombre décimal change-t-il si on ajoute des zéros à droite ?
Non : 5,7 = 5,70 = 5,700 sont le même nombre. On ajoute des zéros pour égaliser le nombre de chiffres après la virgule lors de l'addition, de la soustraction et de la comparaison. En revanche, on ne peut pas insérer un zéro entre des chiffres ni en retirer un du milieu d'un nombre — cela le changerait.
Comment arrondir un nombre décimal ?
Repérez le rang auquel vous devez arrondir et regardez le chiffre suivant : s'il est inférieur à 5, le chiffre arrondi ne change pas (3,748 ≈ 3,7) ; s'il est égal ou supérieur à 5, il augmente d'une unité (2,85 ≈ 2,9). Tous les chiffres à droite sont supprimés.
Comment convertir une fraction ordinaire en nombre décimal ?
Divisez le numérateur par le dénominateur : 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Toutes les fractions ordinaires ne donnent pas une écriture décimale finie : par exemple, 1/3 = 0,333… est un nombre décimal périodique infini. On obtient un nombre décimal fini quand le dénominateur ne se décompose qu'en facteurs 2 et 5.
Dans quel ordre effectue-t-on les opérations dans les expressions avec des nombres décimaux ?
L'ordre est le même que pour les nombres entiers : d'abord ce qui est entre parenthèses, puis la multiplication et la division de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction de gauche à droite. L'écriture décimale des nombres ne change pas l'ordre des opérations.
Peut-on diviser un décimal plus petit par un plus grand ?
Oui. Si le dividende est plus petit que le diviseur, le quotient sera simplement inférieur à un : 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. Dans ce cas, on écrit 0 dans la partie entière du quotient et on continue la division après la virgule.
