Eine quadratische Gleichung hat die Form \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a \neq 0\). Die Anzahl ihrer Lösungen wird durch die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) bestimmt, und die Lösungen selbst werden mit der Formel \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) berechnet. Auf dieser Seite findest du alles zum Thema: Standardform und Koeffizienten, drei Arten unvollständiger Gleichungen, Diskriminante und drei Fälle, Lösungsformel und ihre „gerade“ Variante, normierte Gleichungen und der Satz von Vieta, Faktorisierung und biquadratische Gleichungen – mit Schritt-für-Schritt-Beispielen, Analyse häufiger Fehler und einem interaktiven Übungstool.
Was ist eine quadratische Gleichung
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form
wobei \(x\) die Unbekannte ist und \(a\), \(b\), \(c\) Zahlen (Koeffizienten) sind, wobei \(a \neq 0\). Diese Schreibweise nennt man Standardform einer quadratischen Gleichung: Links stehen die Terme nach absteigenden Potenzen sortiert, rechts steht die Null.
Die Bedingung \(a \neq 0\) ist keine Formalität. Gerade der Term \(ax^2\) macht die Gleichung quadratisch: Bei \(a = 0\) bleibt \(bx + c = 0\) übrig, also eine gewöhnliche lineare Gleichung mit einer Lösung. Deshalb prüft man bei Aufgaben mit Parametern zuerst, ob der führende Koeffizient null werden kann.
Man kann eine Gleichung fast immer in die Standardform bringen: Klammern auflösen, alle Terme auf die linke Seite bringen und zusammenfassen. Zum Beispiel wird aus \(5x^2 = 3x - 2\) nach dem Umstellen \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), woraus \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\) folgt.
Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen
Wenn alle drei Koeffizienten ungleich null sind, nennt man die Gleichung vollständig. Wenn \(b\) oder \(c\) (oder beide) null sind, ist sie unvollständig. Es gibt genau drei Arten unvollständiger Gleichungen, und keine davon erfordert die Diskriminante: Jede lässt sich in ein oder zwei Zeilen lösen, was der schnellste Weg ist, Zeit in der Klassenarbeit zu sparen.
Die Schlüsselidee für \(ax^2 + bx = 0\) ist das Ausklammern. Das Produkt \(x(ax + b)\) ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist, was sofort zwei Lösungen ergibt. Für \(ax^2 + c = 0\) ist die Idee eine andere: \(x^2\) isolieren und das Vorzeichen der resultierenden Zahl betrachten – das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein.
| Gleichungstyp | Lösungsweg |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c nach rechts bringen und durch a teilen: x2 = −c/a. Wurzel ziehen, dabei das zweite Vorzeichen nicht vergessen.x = 5 und x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x ausklammern: x(ax + b) = 0. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.x = 0 und x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Durch a teilen und die Wurzel aus null ziehen. Es gibt immer genau eine Lösung.x = 0 |
Diskriminante: wie man sie findet und wie viele Lösungen es gibt
Die Diskriminante ist eine Zahl, die aus den Koeffizienten einer vollständigen Gleichung berechnet wird:
Das Wort bedeutet „Unterscheider“: Die Diskriminante löst die Gleichung nicht, sie unterscheidet lediglich drei Situationen – zwei Lösungen, eine Lösung oder gar keine Lösung. Daher lässt sich die Frage „Wie viele Lösungen hat die Gleichung“ beantworten, ohne die Lösungen selbst zu berechnen.
Man muss \(D\) sorgfältig berechnen: \(b^2\) ist immer positiv, selbst wenn \(b\) negativ ist, und die Vorzeichen von \(a\) und \(c\) fließen direkt in das Produkt \(4ac\) ein. Nehmen wir \(x^2 + 4x - 5 = 0\): hier ist \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), also \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Die Diskriminante ist positiv, es gibt also zwei Lösungen.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Wenn \(D \ge 0\), findet man die Lösungen mit der Hauptformel des Themas:
Das Zeichen \(\pm\) bedeutet zwei Berechnungen: einmal mit Addition, einmal mit Subtraktion. Bei \(D = 0\) ergeben beide Berechnungen dieselbe Zahl \(x = -\dfrac{b}{2a}\) – diese Lösung nennt man doppelte Lösung.
Zwei Stellen, an denen am häufigsten Fehler passieren: Im Zähler steht minus \(b\) (für \(b = -7\) ist das \(+7\)), und im Nenner steht \(2a\), nicht nur \(2\). Bei \(a = 1\) sieht man den Unterschied nicht, daher tritt der Fehler genau dort auf, wo der führende Koeffizient ungleich eins ist.
Lösen wir \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), daher \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) und \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Gerader linearer Koeffizient: Formel mit D₁
Wenn \(b\) eine gerade Zahl ist, kann man sie als \(b = 2k\) schreiben und eine „verkürzte“ Diskriminante berechnen:
Die Zahlen in der Rechnung werden viermal kleiner (\(D = 4D_1\)), und das Vorzeichen von \(D_1\) ist dasselbe wie bei \(D\) – die Schlussfolgerung über die Anzahl der Lösungen bleibt also gleich.
Beispiel: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Hier ist \(b = 8\), also \(k = 4\), und \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Dann ist \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) und \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Mit der normalen Formel hätte man mit \(D = 100\) gearbeitet – das Ergebnis ist dasselbe, aber der Rechenaufwand größer.
Normierte Gleichung und Satz von Vieta
Eine Gleichung mit \(a = 1\) nennt man normiert und schreibt sie als \(x^2 + px + q = 0\). Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Division durch \(a\) in diese Form bringen: zum Beispiel wird aus \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) nach Division durch 4 die Gleichung \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Die normierte Form ist wertvoll, weil für sie der Satz von Vieta gilt: Die Summe der Lösungen ist \(-p\), und das Produkt ist \(q\). Für \(x^2 - 7x + 10 = 0\) braucht man zwei Zahlen mit der Summe 7 und dem Produkt 10 – das sind 2 und 5, und man musste die Diskriminante nicht berechnen.
Das Raten nach Vieta hilft, wenn die Lösungen ganzzahlig und klein sind, und es dient als kostenlose Überprüfung der mit der Diskriminante gefundenen Lösung: Die Summe muss \(-p\) ergeben, das Produkt \(q\). Formeln für die allgemeine Form, der Umkehrsatz und der Algorithmus zum Raten werden in einem separaten Material behandelt – Satz von Vieta.
Faktorisierung eines quadratischen Terms
Wenn die Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gefunden sind, lässt sich der quadratische Term faktorisieren:
Den Faktor \(a\) darf man nicht vergessen – ohne ihn ist die Gleichung nicht korrekt. Die Faktorisierung lässt sich immer leicht prüfen: Klammern auflösen und mit dem ursprünglichen Term vergleichen. Sagen wir, bei \(x^2 + 2x - 8\) sind die Lösungen 2 und \(-4\), also \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Auch der umgekehrte Weg funktioniert: Wenn man den Term im Kopf faktorisieren kann, sieht man die Lösungen sofort und braucht keine Diskriminante. Hier helfen die binomischen Formeln – zum Beispiel ergibt \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) sofort die Lösungen \(4\) und \(-4\).
Ein dritter Weg ohne Lösungsformel ist die quadratische Ergänzung. Bei \(x^2 + 6x + 5 = 0\) ergänzt man die ersten beiden Terme zum Quadrat einer Summe: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), also \((x + 3)^2 = 4\), woraus \(x + 3 = \pm 2\) und \(x = -1\) oder \(x = -5\) folgt. Genau mit diesem Trick wird die Lösungsformel allgemein hergeleitet.
Gleichungen, die auf quadratische zurückführbar sind: biquadratische
Eine biquadratische Gleichung hat die Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): nur gerade Potenzen. Sie wird durch die Substitution \(t = x^2\) gelöst, wobei unbedingt die Bedingung \(t \ge 0\) gelten muss – das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein.
Nach der Substitution erhält man eine gewöhnliche quadratische Gleichung \(at^2 + bt + c = 0\). Diese löst man mit der Diskriminante und kehrt dann für jede nicht-negative Lösung \(t\) zu \(x = \pm\sqrt{t}\) zurück. Daher die Anzahl der Lösungen: bis zu vier.
Zum Beispiel ergibt \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) nach der Substitution \(t^2 - 5t + 4 = 0\) mit den Lösungen \(t = 1\) und \(t = 4\). Beide sind positiv, also \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\) – insgesamt vier Lösungen. Wäre eines der \(t\) negativ gewesen, hätte man es einfach verworfen.
Mit demselben Trick löst man gebrochen-rationale Gleichungen (nachdem man sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und verbotene Werte ausgeschlossen hat) sowie Gleichungen mit Substitutionen wie \(t = x^2 + 3x\).
Beispiele für das Lösen quadratischer Gleichungen
Beispiel 1. Vollständige Gleichung, D > 0
Löse \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Schritt 1. Die Gleichung ist bereits in Standardform: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Schritt 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) – zwei Lösungen.
Schritt 3. \(\sqrt{D} = 5\), daher \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Schritt 4. Überprüfung durch Einsetzen. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Beispiel 2. Diskriminante ist null
Löse \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Schritt 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Schritt 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) – eine Lösung.
Schritt 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Schritt 4. Überprüfung. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Antwort: \(x = 1{,}5\). Hinweis: Die linke Seite ist ein vollständiges Quadrat \((2x - 3)^2\), deshalb gibt es nur eine Lösung.
Beispiel 3. Diskriminante ist negativ
Löse \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Schritt 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Schritt 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Schritt 3. Die Diskriminante ist negativ, also kann man \(\sqrt{D}\) im Bereich der reellen Zahlen nicht ziehen. Die Lösungsformel muss nicht angewendet werden – die Lösung ist damit beendet.
Antwort: keine reellen Lösungen. Das ist eine vollständige Antwort, kein Zeichen für einen Fehler: Der Graph der Funktion \(y = 2x^2 + 3x + 5\) schneidet die x-Achse einfach nicht.
Beispiel 4. Unvollständige Gleichung vom Typ ax² + c = 0
Löse \(3x^2 - 27 = 0\).
Schritt 1. Wir bringen das Absolutglied auf die andere Seite: \(3x^2 = 27\).
Schritt 2. Wir teilen durch 3: \(x^2 = 9\).
Schritt 3. Das Quadrat ist bei zwei Zahlen 9: \(x = 3\) und \(x = -3\). Das zweite Vorzeichen wird am häufigsten vergessen.
Schritt 4. Überprüfung. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Vergleiche mit der Gleichung \(2x^2 + 8 = 0\): dort ist \(x^2 = -4\), und es gibt keine reellen Lösungen.
Beispiel 5. Unvollständige Gleichung vom Typ ax² + bx = 0
Löse \(5x^2 - 15x = 0\).
Schritt 1. Wir klammern den gemeinsamen Faktor aus: \(5x(x - 3) = 0\).
Schritt 2. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist: \(5x = 0\) oder \(x - 3 = 0\).
Schritt 3. Daraus folgt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Schritt 4. Überprüfung. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Wenn man die ursprüngliche Gleichung durch x teilt, bleibt nur \(x = 3\) übrig – die Lösung \(x = 0\) geht verloren. Man darf nicht durch einen Ausdruck mit einer Unbekannten teilen.
Beispiel 6. Gerader linearer Koeffizient
Löse \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Schritt 1. \(b = -22\) ist gerade, also \(k = -11\), und \(a = 5\), \(c = 8\).
Schritt 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Schritt 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Schritt 4. Überprüfung. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Die normale Diskriminante hätte \(D = 324\) ergeben – dasselbe Ergebnis, aber man hätte länger rechnen müssen.
Beispiel 7. Zuerst in Standardform bringen
Löse \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Schritt 1. Wir lösen die Klammern auf: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), also \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Schritt 2. Wir bringen die neun nach links: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Erst jetzt kann man die Koeffizienten bestimmen: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Schritt 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Schritt 4. Überprüfung in der ursprünglichen Gleichung. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Antwort: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Ein häufiger Fehler hier ist, jede Klammer mit 9 gleichzusetzen: Die Regel „Produkt ist null“ gilt nur für null.
Beispiel 8. Faktorisierung eines Terms
Faktorisiere \(2x^2 - 5x - 3\).
Schritt 1. Wir setzen den Term mit null gleich und finden die Lösungen: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Schritt 2. Wir setzen in die Formel \(a(x - x_1)(x - x_2)\) ein: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Schritt 3. Die Zwei kann man bequem in die zweite Klammer ziehen: \((x - 3)(2x + 1)\).
Schritt 4. Überprüfung durch Ausmultiplizieren. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Antwort: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Beispiel 9. Biquadratische Gleichung
Löse \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Schritt 1. Substitution \(t = x^2\), wobei \(t \ge 0\). Die Gleichung wird zu \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Schritt 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Schritt 3. Beide Werte sind nicht-negativ, also kehren wir zu \(x\) zurück: aus \(x^2 = 9\) erhalten wir \(x = \pm 3\), aus \(x^2 = 4\) – \(x = \pm 2\).
Schritt 4. Überprüfung. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Für negative Werte ergeben gerade Potenzen dieselben Zahlen.
Antwort: \(x = \pm 2\) und \(x = \pm 3\) – vier Lösungen.
Häufige Fehler beim Lösen quadratischer Gleichungen
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Man berechnet die Diskriminante, ohne die Gleichung in Standardform zu bringen: für $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ nimmt man sofort $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Zuerst alles nach links bringen und zusammenfassen: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), also \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Erst daraus folgt \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Die Lösungsformel funktioniert ausschließlich mit der Standardform.
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Man verliert das Vorzeichen beim Quadrieren von $b$: für $x^2 - 9x + 14 = 0$ schreibt man $D = -81 - 56$.
Das Quadrat jeder Zahl ist nicht-negativ: \((-9)^2 = 81\), nicht \(-81\). Richtig ist \(D = 81 - 56 = 25\), die Lösungen sind \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), also 7 und 2. Überprüfung: \(49 - 63 + 14 = 0\) und \(4 - 18 + 14 = 0\).
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Im Zähler lässt man $b$ statt $-b$ stehen: für $x^2 + 5x - 6 = 0$ berechnet man $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
In der Formel steht \(-b\), also ist bei \(b = 5\) im Zähler \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), woraus \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\) folgt. Die Einsetzung bestätigt: \(1 + 5 - 6 = 0\) und \(36 - 30 - 6 = 0\).
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Bei $D = 0$ schreibt man „keine Lösung“: bei $x^2 + 14x + 49 = 0$ ist die Diskriminante null, und man bricht die Lösung ab.
Keine Lösung gibt es nur bei \(D < 0\). Bei \(D = 0\) gibt es genau eine Lösung: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Überprüfung: \(49 - 98 + 49 = 0\).
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Man kürzt die Gleichung $4x^2 - 9x = 0$ durch $x$ und erhält die einzige Lösung $x = 2{,}25$.
Man darf nicht durch einen Ausdruck mit einer Unbekannten teilen: \(x\) kann null sein, und die Lösung \(x = 0\) geht verloren. Richtig ist das Ausklammern: \(x(4x - 9) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2{,}25\) folgt. Überprüfung: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
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Bei der Gleichung $x^2 = 16$ schreibt man nur $x = 4$ auf.
Das Quadrat ist auch bei der Zahl \(-4\) gleich 16. Man muss beide Lösungen aufschreiben: \(x = \pm 4\). Sicherer ist es, über die Standardform \(x^2 - 16 = 0\) zu lösen, also \((x - 4)(x + 4) = 0\) – dann sieht man beide Faktoren sofort.
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Man prüft nicht die Bedingung $a \neq 0$ bei einer Gleichung mit Parametern: bei $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ berechnet man sofort die Diskriminante.
Bei \(m = 2\) wird der führende Koeffizient null, und die Gleichung wird zur linearen Gleichung \(3x - 1 = 0\) mit der einzigen Lösung \(x = \dfrac{1}{3}\). Den Fall \(m = 2\) behandelt man separat, die Lösungsformel wendet man nur bei \(m \neq 2\) an.
Fragen und Antworten
Was ist eine quadratische Gleichung?
Das ist eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a\), \(b\), \(c\) Zahlen sind und \(a \neq 0\). Die Unbekannte kommt in der zweiten Potenz vor, daher kann es zwei, eine oder gar keine Lösung geben.
Wie sieht die Standardform einer quadratischen Gleichung aus?
Die Standardform (allgemeine Form) ist \(ax^2 + bx + c = 0\): alle Terme sind links nach absteigenden Potenzen sortiert, rechts steht null. Jede quadratische Gleichung wird vor der Berechnung der Diskriminante in diese Form gebracht.
Wie findet man die Diskriminante?
Mit der Formel \(D = b^2 - 4ac\), wobei man die Koeffizienten mitsamt ihren Vorzeichen einsetzt. Zum Beispiel erhält man für \(x^2 + 3x - 10 = 0\) den Wert \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), und die Lösungen sind \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), also 2 und \(-5\).
Wie lautet die Lösungsformel für quadratische Gleichungen?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), oder kürzer \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Sie wird bei \(D \ge 0\) angewendet; im Nenner steht genau \(2a\), nicht 2.
Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?
Nicht mehr als zwei. Bei \(D > 0\) gibt es zwei Lösungen, bei \(D = 0\) eine (doppelte), bei \(D < 0\) gibt es keine reellen Lösungen.
Was ist eine unvollständige quadratische Gleichung?
Das ist eine Gleichung, bei der \(b = 0\), \(c = 0\) oder beides gleichzeitig null ist: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Alle drei werden ohne Diskriminante gelöst – durch Umstellen oder Ausklammern von \(x\).
Wie löst man quadratische Gleichungen ohne Diskriminante?
Es gibt drei Wege: Raten der Lösungen nach dem Satz von Vieta für normierte Gleichungen, Faktorisierung und quadratische Ergänzung. Am schnellsten geht das Raten, wenn die Lösungen kleine ganze Zahlen sind.
Was tun, wenn die Diskriminante negativ ist?
Schreiben, dass es keine reellen Lösungen gibt, und die Lösung beenden. Eine negative Diskriminante ist eine normale Antwort: Der Graph der entsprechenden Parabel schneidet die x-Achse nicht. Lösungen existieren in diesem Fall nur im Bereich der komplexen Zahlen, die man später lernt.
Wie prüft man die gefundenen Lösungen?
Jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen – es muss eine wahre Aussage entstehen. Für normierte Gleichungen gibt es auch eine schnelle Überprüfung nach dem Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist \(-p\), das Produkt ist \(q\).
Sind quadratische Gleichung und quadratische Funktion dasselbe?
Ja, das sind zwei Namen für dasselbe Objekt \(ax^2 + bx + c = 0\). Verwechsle es nicht mit der quadratischen Funktion \(y = ax^2 + bx + c\): Die Lösungen der Gleichung sind genau die Abszissen der Punkte, an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.
In welcher Klasse lernt man quadratische Gleichungen?
In der 8. Klasse in Algebra: zuerst unvollständige Gleichungen, dann Diskriminante, Lösungsformel und Satz von Vieta. Später begegnet einem das Thema bei quadratischen Funktionen, Ungleichungen und Abschlussprüfungen.
