Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes nachfolgende Glied um denselben Wert \(d\) (die Differenz der Folge) größer ist als das vorherige. Jedes Glied lässt sich mit der Formel \(a_n = a_1 + (n-1)d\) berechnen, und die Summe der ersten \(n\) Glieder mit der Formel \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Auf dieser Seite werden die Definition, die Differenz, beide Summenformeln, die charakteristische Eigenschaft, die Prüfung der Zugehörigkeit einer Zahl zur Folge, der Unterschied zur geometrischen Folge, typische Prüfungsaufgaben sowie ein interaktiver Trainer zur Selbstkontrolle erläutert.
Was ist eine arithmetische Folge
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes nachfolgende Glied durch Addition derselben Zahl zum vorherigen Glied entsteht. Diese Zahl nennt man Differenz der Folge und bezeichnet sie mit dem Buchstaben \(d\).
Definition als Formel: Eine Folge \(a_1, a_2, a_3, \dots\) heißt arithmetische Folge, wenn für jedes \(n\) die Gleichung
gilt.
Betrachten wir die Folge 3, 7, 11, 15, 19, … Das erste Glied ist \(a_1 = 3\) und die Differenz \(d = 4\): Jede nächste Zahl ist genau um 4 größer als die vorherige. Daher ist das nächste Glied 23, und vor der 3 (wenn man rückwärts zählt) stünde eine 1 mit negativem Vorzeichen.
Die gesamte Folge wird durch nur zwei Zahlen bestimmt — das erste Glied \(a_1\) und die Differenz \(d\). Kennt man dieses Paar, kann man jedes beliebige Glied bestimmen, die Summe beliebig vieler Glieder berechnen und prüfen, ob eine bestimmte Zahl in der Folge vorkommt. Die Folge wird mit \((a_n)\) bezeichnet, ihre Glieder mit \(a_1, a_2, a_3\) usw., wobei der tiefgestellte Index immer die Position (Nummer) angibt, nicht den Wert.
Differenz einer arithmetischen Folge: wie man d findet
Die Differenz ist immer das nächste Glied minus das vorherige:
Die Reihenfolge der Subtraktion ist wichtig: Wenn man es umgekehrt macht, erhält man das entgegengesetzte Vorzeichen. Für die Folge 20, 17, 14, 11, 8 ist die Differenz \(17 - 20 = -3\), nicht \(+3\).
Das Vorzeichen von \(d\) bestimmt das Verhalten der Folge:
- \(d > 0\) — die Folge ist steigend, die Glieder werden größer;
- \(d < 0\) — die Folge ist fallend, die Glieder werden kleiner;
- \(d = 0\) — alle Glieder sind gleich, z. B. 6, 6, 6, 6, … Das ist auch eine arithmetische Folge, nur eben eine konstante.
Wenn zwei Glieder mit unterschiedlichen Indizes bekannt sind, findet man die Differenz mit der Formel
Beispiel. Sei \(a_4 = 30\) und \(a_{10} = 6\). Dann ist \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), und das erste Glied ist \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Prüfen wir den Anfang der Folge: 42, 38, 34, 30 — das vierte Glied ist tatsächlich 30.
Die Differenz muss keine ganze Zahl sein: Bei der Folge 1; 1,5; 2; 2,5 ist die Differenz 0,5, und das ist eine vollwertige arithmetische Folge.
Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge
Die wichtigste Formel des Themas erlaubt es, jedes Glied zu finden, ohne alle vorherigen aufzuschreiben:
Woher kommt \(n - 1\)? Um vom ersten Glied zum \(n\)-ten zu gelangen, addiert man die Differenz nicht \(n\)-mal, sondern einmal weniger: bis zum zweiten Glied ein Schritt, bis zum dritten zwei, bis zum zwanzigsten neunzehn.
Beispiel. Für die Folge 3, 7, 11, 15, 19, … haben wir \(a_1 = 3\) und \(d = 4\), also
Diese kompakte Schreibweise ist sehr praktisch: Man sieht sofort, dass \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\) und \(a_{100} = 399\) ist. Gleichzeitig verrät sie die Differenz: Bei jeder arithmetischen Folge ist die Formel für das \(n\)-te Glied linear, der Form \(a_n = dn + c\), und der Koeffizient vor \(n\) ist die Differenz.
Manchmal ist das erste Glied unbekannt, aber ein anderes ist gegeben. Dann funktioniert dieselbe Idee allgemein: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Charakteristische Eigenschaft einer arithmetischen Folge
Jedes Glied einer Folge, außer dem ersten, ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarn:
Genau deshalb heißt die Folge arithmetisch. Diese Gleichung gilt auch umgekehrt: Wenn in einer Folge jedes mittlere Glied gleich der halben Summe seiner Nachbarn ist, dann ist die Folge eine arithmetische Folge. Diese Aussage nennt man das Kriterium für eine arithmetische Folge, und in Aufgaben nutzt man es, um zu beweisen, dass drei Zahlen eine Folge bilden.
Beispiel. Die Zahlen 7, \(x\), 23 sind drei aufeinanderfolgende Glieder einer Folge. Dann ist \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Prüfung: 7, 15, 23 — die Differenzen sind 8 und 8, alles stimmt.
Eine praktische Schreibweise derselben Eigenschaft: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), das heißt das doppelte mittlere Glied ist gleich der Summe der äußeren. In dieser Form ist die Eigenschaft einfacher anzuwenden, wenn die Glieder als algebraische Ausdrücke gegeben sind.
Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge
Die Summe \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) berechnet man mit einer von zwei Formeln:
Die Idee der ersten Formel ist dieselbe, die der Legende nach der Schüler Gauß fand, als er die Zahlen von 1 bis 100 addierte. Wenn man das erste Glied mit dem letzten addiert, das zweite mit dem vorletzten und so weiter, ergeben alle Paare dieselbe Summe. Daraus folgt \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Die zweite Formel ergibt sich aus der ersten durch Einsetzen von \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — sie wird benötigt, wenn das letzte Glied nicht gegeben ist und man es nicht separat berechnen möchte.
Beispiel. Wir berechnen die Summe der ersten zwanzig Glieder der Folge 3, 7, 11, 15, 19, …
Nach der ersten Formel: \(a_{20} = 79\), daher \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Nach der zweiten: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Die Ergebnisse stimmen überein — das ist die beste Prüfung für die Berechnungen.
Wie man erfährt, ob eine Zahl in einer arithmetischen Folge vorkommt
Die Frage „Ist eine Zahl ein Glied der Folge“ wird durch eine Gleichung gelöst. Die Zahl ist genau dann Teil der Folge, wenn ihre Position \(n\) eine natürliche Zahl ist: 1, 2, 3 und so weiter. Ein gebrochenes oder nicht-positives \(n\) bedeutet, dass es ein solches Glied nicht gibt.
Beispiel 1. Kommt die Zahl 99 in der Folge 3, 7, 11, 15, 19, … vor? Die Formel für das \(n\)-te Glied ist hier \(a_n = 4n - 1\), also lösen wir \(4n - 1 = 99\), woraus \(4n = 100\) und \(n = 25\) folgt. Die Position ist eine natürliche Zahl — also ist 99 in der Folge enthalten, es ist das fünfundzwanzigste Glied.
Beispiel 2. Und die Zahl 2026? Aus \(4n - 1 = 2026\) erhalten wir \(4n = 2027\) und \(n = 506{,}75\). Die Position ist keine ganze Zahl, daher ist 2026 kein Glied dieser Folge.
Ein nützlicher Hinweis für eine schnelle Überschlagsrechnung: Bei einer Folge mit der Formel \(a_n = 4n - 1\) lassen alle Glieder bei der Division durch 4 den Rest 3. Die Zahl 2026 lässt den Rest 2, daher „verfehlt“ sie die Folge.
Typische Aufgaben zur arithmetischen Folge in der Abschlussprüfung
In der Mathematik-Abschlussprüfung kommen Folgen jedes Jahr vor, und fast alle Aufgaben lassen sich auf vier Szenarien reduzieren.
Glied nach Position finden. Gegeben sind \(a_1\) und \(d\) (oder einige erste Glieder) — wir setzen in \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ein.
Position nach Wert finden. Eine Zahl ist gegeben — wir setzen die Formel für das \(n\)-te Glied gleich dieser Zahl und lösen die Gleichung nach \(n\) auf.
Summe finden. Wir berechnen \(S_n\) mit einer der beiden Formeln; falls \(a_n\) fehlt, berechnen wir es zuerst.
Anzahl der Glieder finden. Aus der Formel für das \(n\)-te Glied ergibt sich eine praktische Folgerung: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Ein Sonderfall ist die Textaufgabe, bei der die Folge in einer Geschichte versteckt ist. Zum Beispiel: Am ersten Tag fertigte ein Arbeiter 12 Teile, und an jedem folgenden Tag 3 Teile mehr als am vorherigen; wie viele Teile fertigt er in 15 Tagen? Hier ist \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Wir berechnen das letzte Glied: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Dann ist \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) Teile.
Der wichtigste Rat für solche Aufgaben: Schreiben Sie zuerst in einer separaten Zeile auf, was gegeben ist (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) und was gesucht ist. Die Hälfte der Fehler in der Prüfung passiert nicht wegen der Formeln, sondern weil die Position mit dem Wert des Gliedes verwechselt wurde.
Arithmetische und geometrische Folge: Was ist der Unterschied
Beide Folgen sind Regeln, nach denen aus einem Glied das nächste entsteht. Der Unterschied liegt in der Operation: Bei der arithmetischen Folge addiert man zum Glied dieselbe Zahl \(d\), bei der geometrischen multipliziert man mit derselben Zahl \(q\), die man den Quotienten der Folge nennt.
Daher auch das unterschiedliche Verhalten. Die arithmetische Folge wächst gleichmäßig, „stufenweise“: 3, 7, 11, 15 — jeder Schritt addiert 4. Die geometrische wächst lawinenartig: 3, 6, 12, 24 — jeder Schritt verdoppelt die Zahl, und schon nach zehn Schritten ist das Glied größer als 1500.
Die Art der Folge zu prüfen ist einfach: Berechnen Sie die Differenzen benachbarter Glieder und deren Quotienten. Gleiche Differenzen — arithmetische Folge, gleiche Quotienten — geometrische Folge. Wenn weder das eine noch das andere zutrifft, haben Sie einfach eine Folge vor sich: zum Beispiel 1, 4, 9, 16 — das sind die Quadrate natürlicher Zahlen, und es ist keine Folge (die Differenzen 3, 5, 7 sind unterschiedlich, die Quotienten auch).
Im Lehrplan der Schule kommen beide Themen in der 9. Klasse nacheinander vor, daher verwechselt man die Formeln leicht. Behalten Sie als Stütze im Kopf: Bei der arithmetischen wird die Differenz \(d\) addiert, bei der geometrischen wird mit dem Quotienten \(q\) multipliziert. Alles andere sind Folgerungen.
Beispiele für die Lösung von Aufgaben zur arithmetischen Folge
Beispiel 1. Erstes Glied und Differenz aus zwei Gliedern finden
Gegeben. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Finde \(a_1\), \(d\) und \(a_{20}\).
Schritt 1. Vom dritten bis zum siebten Glied sind es genau \(7 - 3 = 4\) Schritte, bei jedem wird \(d\) addiert. Also \(a_7 = a_3 + 4d\), das heißt \(30 = 14 + 4d\), woraus \(4d = 16\) und \(d = 4\) folgt.
Schritt 2. Wir gehen zurück zum ersten Glied: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Schritt 3. Wir schreiben die Formel für das \(n\)-te Glied auf: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Schritt 4. Wir berechnen das gesuchte Glied: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Prüfung. Wir schreiben den Anfang der Folge auf: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Das dritte Glied ist 14, das siebte 30 — es stimmt.
Antwort: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Beispiel 2. Summe der ersten 30 Glieder (beide Formeln)
Gegeben. Folge \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Finde \(S_{30}\).
Schritt 1. Wir bestimmen die Parameter: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Schritt 2. Wir finden das dreißigste Glied: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Schritt 3. Wir berechnen mit der ersten Formel: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Schritt 4. Prüfung mit der zweiten Formel. Zuerst der Zähler: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Weiter wie im dritten Schritt: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Beide Wege ergaben 1155 — also ist die Rechnung korrekt.
Antwort: \(S_{30} = 1155\).
Beispiel 3. Summe aller zweistelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind
Aufgabe. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind.
Schritt 1. Solche Zahlen bilden selbst eine arithmetische Folge mit der Differenz 7. Die kleinste zweistellige Zahl, die durch 7 teilbar ist, ist 14, die größte ist 98 (die nächste, 105, ist bereits dreistellig). Wir erhalten \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Schritt 2. Wir berechnen die Anzahl der Glieder: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Schritt 3. Wir berechnen die Summe: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Schritt 4. Prüfung mit der zweiten Formel. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Antwort: 728.
Beispiel 4. Prüfen, ob eine Zahl in der Folge enthalten ist
Aufgabe. Ist die Zahl 145 ein Glied der Folge \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Und die Zahl 142?
Schritt 1. Parameter der Folge: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), also \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Schritt 2. Wir prüfen 145: Die Gleichung \(5n + 2 = 145\) ergibt \(5n = 143\) und \(n = 28{,}6\). Die Position ist keine ganze Zahl, daher ist 145 kein Glied der Folge.
Schritt 3. Wir prüfen 142: \(5n + 2 = 142\), woraus \(5n = 140\) und \(n = 28\) folgt. Die Position ist eine natürliche Zahl — die Zahl ist enthalten.
Schritt 4. Prüfung durch Einsetzen. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Richtig.
Antwort: 145 ist nicht in der Folge enthalten; 142 ist enthalten und ist das 28. Glied.
Beispiel 5. Charakteristische Eigenschaft mit algebraischen Gliedern
Aufgabe. Für welchen Wert von \(x\) sind die Zahlen \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) drei aufeinanderfolgende Glieder einer arithmetischen Folge?
Schritt 1. Nach der charakteristischen Eigenschaft ist das doppelte mittlere Glied gleich der Summe der äußeren:
Schritt 2. Wir lösen die Klammern auf: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Schritt 3. Wir lösen auf: \(2 + 4 = 5x - 4x\), also \(x = 6\).
Schritt 4. Prüfung. Wir setzen \(x = 6\) ein: erstes Glied \(6 - 3 = 3\), zweites \(2\cdot 6 + 1 = 13\), drittes \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Differenzen: \(13 - 3 = 10\) und \(23 - 13 = 10\) — gleich.
Antwort: \(x = 6\), Folge 3, 13, 23 mit der Differenz 10.
Beispiel 6. Wie viele negative Glieder gibt es in der Folge
Aufgabe. Wie viele negative Glieder hat die Folge \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Schritt 1. Parameter: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formel für das \(n\)-te Glied: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Schritt 2. Wir schreiben die Bedingung „Glied ist negativ“ auf: \(3n - 24 < 0\), woraus \(3n < 24\) und \(n < 8\) folgt.
Schritt 3. Die Positionen sind natürliche Zahlen, also passen \(n = 1, 2, \dots, 7\) — insgesamt sieben Glieder.
Schritt 4. Prüfung der Grenze. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativ. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — Null ist keine negative Zahl, daher zählen wir das achte Glied nicht mehr. \(a_9 = 3\) — positiv.
Antwort: sieben negative Glieder.
Häufige Fehler bei Aufgaben zur arithmetischen Folge
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In der Formel für das n-te Glied schreibt man $a_n = a_1 + nd$ statt $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Vom ersten bis zum n-ten Glied macht man einen Schritt weniger als die Position. Für die Folge \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) ist das zehnte Glied \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), nicht 45. Schnelle Prüfung der Formel: Setze \(n = 1\) ein — es sollte genau \(a_1\) herauskommen.
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Die Differenz wird falsch herum berechnet: $d = a_1 - a_2$, und das Vorzeichen ist entgegengesetzt.
Die Differenz ist das nächste Glied minus das vorherige: \(d = a_2 - a_1\). Für die Folge \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) ist \(d = 34 - 40 = -6\) richtig. Das Minuszeichen ist hier kein Fehler, sondern ein Zeichen für eine fallende Folge.
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In der Summenformel vergisst man, durch 2 zu teilen oder mit n zu multiplizieren: man schreibt $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Es werden Paare „erstes mit letztem“ summiert, davon gibt es genau \(\dfrac{n}{2}\), daher ist das Teilen durch 2 zwingend. Für die Folge \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) haben wir \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) und \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), nicht 670.
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Bei der Prüfung der Zugehörigkeit einer Zahl erhält man $n = 0$ oder ein negatives $n$ und antwortet trotzdem „enthalten“.
Die Position eines Gliedes ist eine natürliche Zahl, das Zählen beginnt bei eins. Zum Beispiel ergibt für die Folge \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) die Gleichung \(10 + 4(n-1) = 6\) den Wert \(n = 0\), was bedeutet, dass 6 nicht in der Folge enthalten ist: diese Zahl stünde vor dem ersten Glied.
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Man verwechselt, was gefunden wurde: man setzt den Wert des Gliedes dort ein, wo die Position benötigt wird, und umgekehrt.
\(a_n\) ist der Wert, \(n\) ist die Position. Wenn in der Aufgabe gefragt wird „welches Glied ist gleich 142“, ist die Antwort 28, nicht 142. Nützliche Gewohnheit: Vor der Lösung die Zeile „gegeben: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), gesucht: \(n\)“ aufschreiben.
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Man glaubt, die Folge müsse steigen und aus ganzen Zahlen bestehen.
Die Differenz kann negativ (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), gebrochen (1; 1,5; 2; 2,5) und sogar null (8, 8, 8, …) sein. Alle drei Fälle sind legitime arithmetische Folgen, und alle Formeln funktionieren für sie ohne Änderungen.
Fragen und Antworten
Was ist eine arithmetische Folge in einfachen Worten?
Das ist eine Zahlenfolge, bei der jede nächste Zahl durch Addition derselben Zahl \(d\) — der Differenz der Folge — zum vorherigen Glied entsteht. Zum Beispiel 3, 7, 11, 15, 19, … — eine Folge mit dem ersten Glied 3 und der Differenz 4.
Was ist die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Glied, \(d\) die Differenz und \(n\) die Position ist. Wenn nicht das erste, sondern ein anderes Glied bekannt ist, funktioniert die allgemeine Form \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Wie findet man die Differenz einer arithmetischen Folge?
Subtrahiere vom Glied das vorherige: \(d = a_n - a_{n-1}\). Wenn zwei Glieder mit unterschiedlichen Positionen gegeben sind, verwende \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Zum Beispiel bei \(a_5 = 23\) und \(a_9 = 43\) erhalten wir \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), und das erste Glied ist \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Wie findet man das erste Glied einer arithmetischen Folge?
Aus der Formel für das \(n\)-te Glied: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Zum Beispiel, wenn \(a_{12} = 60\) und \(d = 4\), dann ist \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Prüfung: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Wie findet man die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge?
Mit der Formel \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), wenn das letzte Glied bekannt ist, oder mit der Formel \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), wenn nur das erste Glied und die Differenz bekannt sind. Beide ergeben dasselbe Ergebnis, daher ist die zweite praktisch als Prüfung für die erste.
Wie findet man die Anzahl der Glieder einer arithmetischen Folge?
Aus der Formel für das \(n\)-te Glied: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Zum Beispiel ist in der Folge \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) die Differenz 5, daher sind es \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) Glieder.
Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?
Bei der arithmetischen wird zu jedem Glied die Differenz \(d\) addiert, bei der geometrischen wird jedes Glied mit dem Quotienten \(q\) multipliziert. Formeln für das \(n\)-te Glied: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) gegenüber \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Um den Typ zu bestimmen, berechne die Differenzen benachbarter Glieder und deren Quotienten: gleiche Differenzen — arithmetisch, gleiche Quotienten — geometrisch.
Kann die Differenz negativ oder null sein?
Ja. Bei \(d < 0\) fällt die Folge (zum Beispiel 20, 17, 14, 11), bei \(d = 0\) sind alle Glieder gleich (6, 6, 6, …) — das ist eine konstante Folge. Die Differenz kann auch gebrochen sein: 1; 1,5; 2; 2,5 — auch eine arithmetische Folge.
In welcher Klasse lernt man arithmetische Folgen?
In der 9. Klasse im Algebraunterricht, zusammen mit geometrischen Folgen und Zahlenfolgen. Aufgaben zu Folgen sind Teil der Abschlussprüfung: meistens muss man ein Glied nach Position, Position nach Wert, Anzahl der Glieder oder die Summe der ersten \(n\) Glieder finden.
