Die Reihenfolge der Operationen ist eine Reihe von Regeln, die festlegt, welcher Teil eines mathematischen Ausdrucks zuerst berechnet werden muss. Die gängigste Merkregel ist PEMDAS: Parentheses (Klammern), Exponents (Exponenten), Multiplication (Multiplikation) und Division, Addition und Subtraction (Subtraktion). Wenn du diese Reihenfolge befolgst, hat jeder Ausdruck genau ein korrektes Ergebnis. Auf dieser Seite findest du die PEMDAS-Regel Schritt für Schritt erklärt, gelöste Beispiele mit Klammern und Exponenten, die häufigsten Fehler von Schülern und ein interaktives Quiz zum sofortigen Üben.
Was PEMDAS bedeutet: die Reihenfolge der Operationen
PEMDAS ist eine Eselsbrücke für die Reihenfolge, in der Rechenoperationen durchgeführt werden. Viele Schüler merken sie sich mit dem englischen Satz "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Arbeite die Rangfolge von oben nach unten ab:
- P — Parentheses (Klammern). Berechne zuerst alles innerhalb von Gruppierungssymbolen: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Exponenten). Danach Potenzen und Wurzeln, wie 3² oder √9.
- M und D — Multiplication und Division. Diese haben die gleiche Priorität. Führe sie zusammen aus, von links nach rechts.
- A und S — Addition und Subtraktion. Auch diese haben die gleiche Priorität. Führe sie zuletzt aus, ebenfalls von links nach rechts.
Der wichtigste Punkt, den viele Schüler übersehen: PEMDAS besteht nicht aus sechs separaten Schritten. Multiplikation kommt nicht immer vor Division, und Addition nicht immer vor Subtraktion. Jedes dieser Paare bildet eine Ebene, und innerhalb einer Ebene rechnest du einfach von links nach rechts.
Die Links-nach-rechts-Regel (M/D und A/S sind gleichwertig)
Da Multiplikation und Division auf derselben Ebene stehen, behandelst du sie in der Reihenfolge, in der sie erscheinen, wenn du von links nach rechts liest — nicht "erst alle Multiplikationen, dann alle Divisionen". Dasselbe gilt für Addition und Subtraktion.
Eine klassische Falle ist 20 ÷ 4 × 5. Würdest du zuerst multiplizieren (4 × 5 = 20), erhieltest du 20 ÷ 20 = 1 — was falsch ist. Da die Division links steht, führst du sie zuerst aus: 20 ÷ 4 = 5, dann 5 × 5 = 25. Die gleiche Logik gilt für 10 − 6 + 2: Rechne von links nach rechts, um 4 + 2 = 6 zu erhalten, nicht 10 − 8 = 2.
PEMDAS vs BODMAS: dieselbe Regel, anderer Name
In Großbritannien, Australien und vielen anderen Ländern wird dieselbe Regel als BODMAS (manchmal BIDMAS oder BEDMAS) gelehrt. Die Buchstaben sehen anders aus, aber die Reihenfolge ist identisch — nur das Vokabular ändert sich.
- B — Brackets (Klammern) ist dasselbe wie P — Parentheses.
- O — Orders (oder I — Indices, E — Exponents) bedeutet Potenzen und Wurzeln.
- DM und MD sind dasselbe Paar mit gleicher Priorität, ausgeführt von links nach rechts.
- AS ist Addition und Subtraktion, ausgeführt von links nach rechts.
Daher liefern PEMDAS und BODMAS immer das gleiche Ergebnis. Der Vergleich unten stellt sie Buchstabe für Buchstabe gegenüber.
| Schritt | PEMDAS | BODMAS | Was du tust |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Zuerst innerhalb von Klammern |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Potenzen und Wurzeln |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Gleiche Priorität, links → rechts |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Gleiche Priorität, links → rechts |
Beispiele zur Reihenfolge der Operationen (Schritt für Schritt)
Beispiel 1. Multiplikation vor Addition
Ausdruck: 3 + 4 × 2
Schritt 1 — Klammern / Exponenten: keine vorhanden, also weiter.
Schritt 2 — Multiplikation / Division: 4 × 2 = 8. Der Ausdruck lautet nun 3 + 8.
Schritt 3 — Addition / Subtraktion: 3 + 8 = 11.
Ein häufiges falsches Ergebnis ist 14, das entsteht, wenn man zuerst 3 + 4 addiert. Die Multiplikation muss vor der Addition erfolgen.
Beispiel 2. Klammern, Exponenten, dann von links nach rechts
Ausdruck: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Schritt 1 — Klammern: 6 + 2 = 8. Nun: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Schritt 2 — Exponenten: 3² = 9. Nun: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Schritt 3 — Multiplikation / Division (von links nach rechts): 8 × 9 = 72, dann 72 ÷ 4 = 18. Nun: 18 − 5.
Schritt 4 — Addition / Subtraktion: 18 − 5 = 13.
Beispiel 3. Die Links-nach-rechts-Falle
Ausdruck: 20 ÷ 4 × 5
Es gibt keine Klammern oder Exponenten, also gehen wir direkt zur Multiplikation und Division über. Sie haben gleiche Priorität, also lesen wir von links nach rechts.
Schritt 1: 20 ÷ 4 = 5 (die Division steht am weitesten links). Nun: 5 × 5.
Schritt 2: 5 × 5 = 25.
Wenn du zuerst multipliziert hättest (4 × 5 = 20), hättest du 20 ÷ 20 = 1 erhalten — ein klassischer Fehler. Die Buchstabenfolge M-vor-D bedeutet nicht, dass die Multiplikation gewinnt; die Links-nach-rechts-Regel zählt.
Häufige PEMDAS-Fehler
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Zu glauben, dass Multiplikation wegen der Buchstabenfolge M-D immer vor Division (oder Addition vor Subtraktion) kommt.
Multiplikation und Division sind gleichwertig, ebenso Addition und Subtraktion. Arbeite innerhalb jedes Paares von links nach rechts. Bei 20 ÷ 4 × 5 dividierst du zuerst, weil es links steht, was 25 ergibt — nicht 1.
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Die Links-nach-rechts-Regel bei der Subtraktion ignorieren, sodass 10 − 6 + 2 als 10 − 8 = 2 gelesen wird.
Gehe von links nach rechts: 10 − 6 = 4, dann 4 + 2 = 6. Die Addition "springt" nicht vor die Subtraktion, die links von ihr steht.
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Klammern überspringen oder zuletzt berechnen, weil sie mitten im Ausdruck stehen.
Gruppierungssymbole stehen immer an erster Stelle, egal wo sie im Ausdruck stehen. Bei 2 × (3 + 4) berechnest du 3 + 4 = 7 vor der Multiplikation, was 14 ergibt — nicht 2 × 3 + 4 = 10.
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Den Geltungsbereich eines Exponenten falsch lesen und −3² sowie (−3)² als dasselbe behandeln.
Ein Exponent bezieht sich nur auf die Zahl direkt unter ihm. −3² bedeutet −(3²) = −9, während (−3)² bedeutet (−3)(−3) = 9. Verwende Klammern, wenn das Vorzeichen einbezogen werden soll.
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Verschachtelte Klammern von außen nach innen bearbeiten.
Beginne mit der innersten Gruppierung und arbeite dich nach außen vor. Bei 2 × [3 + (4 − 1)] berechne zuerst 4 − 1 = 3, dann 3 + 3 = 6, dann 2 × 6 = 12.
Häufig gestellte Fragen
Wofür steht PEMDAS?
PEMDAS steht für Parentheses (Klammern), Exponents (Exponenten), Multiplication (Multiplikation) und Division, Addition und Subtraktion. Es ist die Reihenfolge, in der ein mathematischer Ausdruck ausgewertet wird. Viele Schüler merken sich dies mit dem Satz "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Was ist der Unterschied zwischen PEMDAS und BODMAS?
Es gibt keinen Unterschied in der Mathematik — nur in den Namen. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) wird in Großbritannien und vielen anderen Ländern gelehrt, während PEMDAS in den USA verwendet wird. Brackets sind dasselbe wie Parentheses, und Orders (oder Indices) sind dasselbe wie Exponents. Beide liefern für jeden Ausdruck das identische Ergebnis.
Kommt in PEMDAS die Multiplikation immer vor der Division?
Nein. Multiplikation und Division haben gleiche Priorität. Du führst die Operation aus, die beim Lesen von links nach rechts zuerst erscheint. Zum Beispiel dividierst du bei 20 ÷ 4 × 5 zuerst, weil es links steht, und multiplizierst dann, was 25 ergibt.
Warum brauchen wir überhaupt eine Reihenfolge der Operationen?
Ohne eine vereinbarte Reihenfolge könnte derselbe Ausdruck für verschiedene Personen unterschiedliche Ergebnisse liefern. Zum Beispiel wäre 3 + 4 × 2 gleich 11, wenn man zuerst multipliziert, oder 14, wenn man zuerst addiert. PEMDAS stellt sicher, dass jeder Ausdruck genau ein korrektes Ergebnis hat.
Wie geht man mit Exponenten und negativen Vorzeichen zusammen um?
Ein Exponent bezieht sich nur auf den Wert direkt unter ihm. Daher ist −3² gleich −(3 × 3) = −9, da sich der Exponent auf die 3 bezieht, bevor das negative Vorzeichen angewendet wird. Wenn das Minus einbezogen werden soll, schreibe (−3)², was 9 ergibt. Klammern steuern, was der Exponent abdeckt.
Was macht man bei verschachtelten Klammern?
Arbeite von der innersten Gruppe nach außen. Bei 2 × [3 + (4 − 1)] berechne zuerst 4 − 1 = 3, dann 3 + 3 = 6, dann 2 × 6 = 12. Jede Ebene der Gruppierung wird vor der äußeren aufgelöst.
