Teilbarkeitsregeln: Tabelle und Beispiele

Eine Teilbarkeitsregel ist eine Regel, nach der man feststellen kann, ob eine Zahl ganzzahlig durch eine andere Zahl teilbar ist, ohne die Division selbst durchzuführen. Man muss nur die letzten Ziffern oder die Summe aller Ziffern der Zahl betrachten.

Teilbarkeitsregeln sind überall nützlich, wo man schnell die „Struktur“ einer Zahl verstehen muss:

• beim Kürzen von Brüchen – man sieht sofort, womit man Zähler und Nenner kürzen kann;
• beim Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren;
• beim Finden des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen;
• beim schnellen Überprüfen von Antworten in Aufgaben und Übungen.

Es ist wichtig, zwei verschiedene Fragen nicht zu verwechseln. „Ist 3726 durch 9 teilbar?“ – darauf antwortet die Teilbarkeitsregel: Die Quersumme 3 + 7 + 2 + 6 = 18 ist durch 9 teilbar, also ja. Und „Wie viel ergibt das?“ – das ist die eigentliche Division: 3726 : 9 = 414. Die Regel gibt nur die Antwort „ja“ oder „nein“, aber dafür sofort und im Kopf.

Alle schulischen Teilbarkeitsregeln sind praktisch in einer Tabelle zusammengefasst. Die Farbe zeigt an, worauf man achten muss: auf die letzte Ziffer, auf die Quersumme, auf den „Schwanz“ aus zwei bis drei letzten Ziffern oder sofort auf zwei Regeln.

Die einfachste Gruppe: Wir betrachten nur die letzte Ziffer, die anderen sind unwichtig.

• durch 2 sind alle geraden Zahlen teilbar – solche, die auf 0, 2, 4, 6 oder 8 enden;
• durch 5 – Zahlen, die auf 0 oder 5 enden;
• durch 10 – Zahlen, die auf 0 enden.

Die Länge der Zahl spielt keine Rolle: 987 654 320 ist durch 2, 5 und 10 teilbar, weil sie auf Null endet. Und 1435 ist durch 5 teilbar (letzte Ziffer 5), aber weder durch 2 noch durch 10 – die Zahl ist ungerade.

Daraus folgt eine nützliche Schlussfolgerung: Durch 10 sind genau die Zahlen teilbar, die gleichzeitig durch 2 und 5 teilbar sind.

Hier ist die letzte Ziffer unwichtig – es zählt die Summe aller Ziffern der Zahl:

• eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist;
• eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Wenn die Summe groß ausfällt, kann man die Regel erneut auf die Summe anwenden: Bei der Zahl 899 991 ist die Quersumme 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, und bei 45 ist die Summe 4 + 5 = 9 – das bedeutet, die ursprüngliche Zahl ist sowohl durch 9 als auch durch 3 teilbar.

Die Regeln sind ähnlich, ersetzen sich aber nicht gegenseitig. Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar – denn die Neun selbst ist durch Drei teilbar. Das Umgekehrte gilt nicht: Die Quersumme kann durch 3 teilbar sein und gleichzeitig nicht durch 9, und dann erfüllt die Zahl nur eine der beiden Regeln. Beide Fälle werden unten behandelt.

Eine einzelne letzte Ziffer reicht hier nicht aus – man braucht einen „Schwanz“ aus mehreren letzten Ziffern:

• durch 4 ist eine Zahl teilbar, deren letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden;
• durch 8 – wenn die letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden;
• durch 25 – wenn die letzten beiden Ziffern 00, 25, 50 oder 75 bilden.

Warum der „Schwanz“ ausreicht: 100 ist durch 4 und 25 teilbar, und 1000 ist durch 8 teilbar. Daher ist alles, was links davon steht, bereits selbst durch die benötigte Zahl teilbar und beeinflusst das Ergebnis nicht.

Daraus folgt eine wichtige Konsequenz: Gerade Zahlen sind nicht automatisch durch 4 oder 8 teilbar. Eine Zahl kann gerade sein, aber wenn ihr „Schwanz“ aus zwei oder drei Ziffern nicht ganzzahlig teilbar ist, dann ist auch die ganze Zahl nicht teilbar. Die Analyse der „Schwänze“ wird weiter unten behandelt.

Die Sechs hat keine eigene, separate Regel: 6 = 2 · 3, und die Faktoren sind teilerfremd. Daher ist die Regel zusammengesetzt – eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar ist.

Prüfen wir 5124: Die letzte Ziffer ist 4 – die Zahl ist gerade, also durch 2 teilbar; die Quersumme 5 + 1 + 2 + 4 = 12 ist durch 3 teilbar. Beide Bedingungen sind erfüllt → 5124 : 6 = 854.

Nur gerade zu sein reicht nicht: 1000 ist gerade, aber seine Quersumme ist 1 und nicht durch 3 teilbar, daher ist die Zahl nicht durch 6 teilbar. Auch die umgekehrte Hälfte funktioniert nicht: Bei 4521 ist die Quersumme 12 durch 3 teilbar, aber die Zahl selbst ist ungerade – sie ist also auch nicht durch 6 teilbar.

Genauso werden andere zusammengesetzte Regeln gebildet: für 12 – teilbar durch 3 und 4, für 15 – durch 3 und 5, für 18 – durch 2 und 9, für 45 – durch 5 und 9.

Die Teilbarkeitsregel für 11 verwendet die alternierende Quersumme. Die Ziffern werden von rechts beginnend addiert, wobei das Vorzeichen abwechselnd wechselt: plus, minus, plus, minus. Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist (einschließlich Null), dann ist auch die gesamte Zahl durch 11 teilbar.

Dieselbe Regel wird oft anders formuliert: Die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen muss durch 11 teilbar sein. Das ist dieselbe Regel.