Proportionen lösen: Grundlegende Eigenschaft und Aufgabenlösung

Ein Verhältnis zweier Zahlen ist ihr Quotient. Das Verhältnis \(2:3\) (gelesen „zwei zu drei“) zeigt, wie vielmal eine Zahl größer ist als die andere oder welchen Teil die eine von der anderen ausmacht. Man kann es auf zwei Arten schreiben: \(2:3\) oder als Bruch \(\frac{2}{3}\) – das ist dasselbe.

Eine Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse:

In einer Proportion gibt es vier Zahlen, und sie haben Namen. Die Zahlen an den Rändern der Schreibweise sind die äußeren Glieder, die Zahlen in der Mitte sind die mittleren Glieder. Eine Proportion ist korrekt, wenn beide Verhältnisse gleich einer Zahl sind.

Grundlegende Eigenschaft der Proportion: Das Produkt der äußeren Glieder ist gleich dem Produkt der mittleren Glieder.

Warum ist das so? Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) mit \(b \cdot d\). Links kürzt sich \(b\), rechts \(d\), und es bleibt genau \(a \cdot d = c \cdot b\). Keine Magie – nur eine normale Eigenschaft von Gleichungen.

Genau das nennen Schüler „Proportionen über Kreuz lösen“: Zahlen werden diagonal, über Kreuz, multipliziert. Die Eigenschaft gilt auch umgekehrt: Wenn für vier Zahlen (keine davon ist Null) \(a \cdot d = b \cdot c\) gilt, dann kann man daraus eine korrekte Proportion bilden.

Daraus ergeben sich sofort zwei Fähigkeiten: prüfen, ob eine Proportion korrekt ist, und darin eine unbekannte Zahl finden.

Aus der grundlegenden Eigenschaft ergeben sich zwei kurze Regeln:

• unbekanntes äußeres Glied = Produkt der mittleren Glieder : bekanntes äußeres Glied;
• unbekanntes mittleres Glied = Produkt der äußeren Glieder : bekanntes mittleres Glied.

Man muss sie nicht auswendig lernen. Ein universeller Trick reicht: Über Kreuz multiplizieren, eine Gleichung der Form „Zahl \(\cdot\, x\) = Zahl“ erhalten und dann dividieren. Wir zeigen dies Schritt für Schritt am Beispiel der Proportion \(x : 7 = 12 : 21\).

Der letzte Schritt – die Überprüfung – dauert fünf Sekunden und deckt fast jeden Rechenfehler auf, daher sollte man ihn nicht überspringen.

Zwei Größen nennt man direkt proportional, wenn sich bei einer Vervielfachung der einen Größe die andere Größe im gleichen Verhältnis vervielfacht. Doppelt so viele Hefte gekauft – doppelt so viel bezahlt. Bei solchen Größen ist ihr Verhältnis konstant.

Größen sind indirekt proportional, wenn sich bei einer Vervielfachung der einen Größe die andere Größe im gleichen Verhältnis verringert. Doppelt so viele Arbeiter – halb so viele Tage für die gleiche Arbeit. Bei solchen Größen ist ihr Produkt konstant.

Der Hauptunterschied zeigt sich, wenn wir die Proportion aufstellen. Bei direkter Abhängigkeit wird sie „wie gegeben“ aufgestellt: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Bei indirekter Abhängigkeit wird das zweite Verhältnis umgekehrt: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).

Warum? Bei indirekter Abhängigkeit ist das Produkt konstant: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Dividieren wir beide Seiten durch \(a_2 \cdot b_1\) – und wir erhalten genau \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Der „Umkehrung“ ist also kein Zauberspruch, den man sich merken muss, sondern eine Folge davon, dass das Produkt konstant bleibt, nicht das Verhältnis.

Textaufgaben „zu Proportionen“ werden nach einem Schema gelöst:

1. Die Bedingung in zwei Spalten aufschreiben, sodass gleiche Größen untereinander stehen (Portionen unter Portionen, Gramm unter Gramm).
2. Das Gesuchte mit \(x\) bezeichnen.
3. Die Art der Abhängigkeit bestimmen: die erste Größe gedanklich erhöhen und sehen, ob die zweite steigt oder fällt.
4. Eine Proportion aufstellen – bei indirekter Abhängigkeit das zweite Verhältnis umkehren.
5. Über Kreuz multiplizieren und lösen, und prüfen, ob die Antwort sinnvoll ist.

Wir zeigen es am Beispiel eines Rezepts. Für 4 Portionen Pfannkuchen werden 300 g Mehl benötigt – wie viel Mehl für 6 Portionen? Mehr Portionen bedeuten mehr Mehl: direkte Abhängigkeit, die Proportion wird „wie gegeben“ aufgestellt:

Für 6 Portionen werden 450 g Mehl benötigt. Die Antwort ist sinnvoll: die Anzahl der Portionen hat sich um das Eineinhalbfache erhöht, und es wurde auch das Eineinhalbfache an Mehl benötigt.

Ganz ähnlich werden Aufgaben zu Maßstäben (Abstand auf der Karte verhält sich zu Abstand auf der Karte wie 1 zu Zahl des Maßstabs) und zu Preisen (Menge der Ware verhält sich zu Menge wie Kosten zu Kosten) gelöst. Ausführliche Erklärungen finden Sie unten in den Beispielen.

Ein Prozent ist ein Hundertstel einer Zahl, daher wird jede einfache Prozentaufgabe zu einer Proportion:

Irgendwo ist eine der vier Zahlen unbekannt – diese finden wir über Kreuz.

Teil finden. Wie viel sind 15% von 240? Wir stellen auf \(x : 240 = 15 : 100\), also \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) und \(x = 36\).

Ganzes finden. Die Zahl 21 macht 35% einer bestimmten Zahl aus. Wir stellen auf \(21 : x = 35 : 100\), also \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) und \(x = 60\).

Prozent finden. Wie viel Prozent sind 18 von 45? Wir stellen auf \(18 : 45 = p : 100\), also \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) und \(p = 40\), also 40%.

Ein Verfahren – drei verschiedene Aufgabentypen, nichts Zusätzliches muss gemerkt werden. Gesondert steht nur die Frage „um wie viel Prozent ist die Größe gewachsen oder gesunken“: Hier berechnet man zuerst die Änderung und teilt sie dann durch den ursprünglichen Wert – das ist bereits die Formel für die prozentuale Änderung, keine einfache Proportion mehr.