Der Satz von Vieta verbindet die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten: für die normierte Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) ist die Summe der Wurzeln gleich \(-p\) und das Produkt gleich \(q\). Dies ermöglicht es, die Wurzeln mündlich durch Raten zu finden – ohne Diskriminante. Auf dieser Seite finden Sie die genauen Formeln für die normierte Gleichung und für die allgemeine Form, den Umkehrsatz von Vieta, den Algorithmus zur Wurzelauswahl, gelöste Beispiele und einen interaktiven Trainer.
Was ist der Satz von Vieta?
Der Satz von Vieta ist eine Regel, die die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten in Beziehung setzt. Er lautet wie folgt: Wenn \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der normierten quadratischen Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) sind, dann gilt:
In Worten: Die Summe der Wurzeln ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem konstanten Glied. Das Minuszeichen bei der Summe ist der wichtigste Punkt des gesamten Themas: es wird genau \(-p\) geschrieben, nicht \(p\).
Für eine allgemeine Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) (wobei \(a \neq 0\)) ergeben sich die Formeln durch Division durch \(a\):
Der Satz gilt nur, wenn reelle Wurzeln existieren, d.h. wenn \(D \ge 0\). Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es nichts zu erraten: es gibt keine reellen Zahlen mit einer solchen Summe und einem solchen Produkt.
Normierte Gleichung und allgemeine Form: wo man durch a teilen muss
Eine quadratische Gleichung, bei der der Koeffizient von \(x^2\) gleich eins ist, wird als normiert bezeichnet: \(x^2 + px + q = 0\). Genau für diese ist der Satz von Vieta am kürzesten formuliert, daher beginnt die Wurzelauswahl immer mit der Normierung.
Wenn \(a \neq 1\), wird die Gleichung zuerst durch \(a\) geteilt. Zum Beispiel wird \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) nach der Division durch \(3\) zu \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), d.h. \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Daraus folgt \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) und \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Der gleiche Gedanke kann sofort für die allgemeine Form aufgeschrieben werden, ohne die Gleichung zu normieren: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Der häufigste Fehler ist, die 'kurzen' Formeln \(-p\) und \(q\) auf eine nicht-normierte Gleichung anzuwenden und eine Summe von \(10\) anstelle von \(\frac{10}{3}\) zu erhalten.
Umkehrsatz von Vieta
Der Satz von Vieta hat einen Umkehrsatz, und dieser erlaubt es, Gleichungen durch Raten zu lösen. Er lautet wie folgt: Wenn die Zahlen \(m\) und \(n\) so sind, dass
dann sind \(m\) und \(n\) die Wurzeln der Gleichung \(x^2 + px + q = 0\).
Der Unterschied ist grundlegend. Der direkte Satz geht von den Wurzeln zu den Koeffizienten: die Wurzeln sind bereits bekannt, wir erhalten Beziehungen zwischen ihnen. Der Umkehrsatz geht von den Koeffizienten zu den Wurzeln: wir erraten ein Zahlenpaar mit der richtigen Summe und dem richtigen Produkt – und haben das volle Recht, sie als Wurzeln zu bezeichnen, ohne etwas weiter beweisen zu müssen.
Daraus ergibt sich auch die nützliche Regel: Wenn \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln sind, dann lässt sich das Polynom in Faktoren zerlegen \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Zum Beispiel ist \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Wurzelauswahl nach dem Satz von Vieta: Algorithmus
Die Wurzelauswahl ist die wichtigste praktische Anwendung des Satzes. Sie ist schneller als die Diskriminante, wenn die Wurzeln ganze Zahlen sind, und umfasst fünf Schritte.
Vorzeichen der Wurzeln nach den Koeffizienten p und q
Schon vor dem Raten kann man erkennen, welche Vorzeichen die Wurzeln haben werden – man muss nur die Vorzeichen von \(p\) und \(q\) betrachten. Dies verkürzt die Auswahl erheblich: man sieht sofort, ob man nach einem Paar aus zwei positiven Zahlen, zwei negativen Zahlen oder Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen suchen muss.
| p und q | Wurzeln | Beispiel |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | beide > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | beide < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | unterschiedliche Vorzeichen | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 und −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Satz von Vieta oder Diskriminante: Was wählen?
Die Lösungsformel über die Diskriminante \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funktioniert immer, erfordert aber Berechnungen. Der Satz von Vieta ist sofort anwendbar, aber nur, wenn die Wurzeln erraten werden können – normalerweise sind das kleine ganze Zahlen.
Die praktische Regel lautet:
- die Gleichung ist normiert, und \(q\) lässt sich in ein Paar kleiner Faktoren zerlegen → versuche es mit Raten nach Vieta, die Lösung ist mündlich;
- die Koeffizienten sind groß oder gebrochen, die Wurzeln sind nicht in 10–15 Sekunden zu erraten → berechne die Diskriminante;
- nur die Anzahl der Wurzeln oder die Vorzeichen der Wurzeln werden benötigt, die Wurzeln selbst nicht → \(D\) und die obige Vorzeichentabelle reichen aus.
Eine Kombination ist ebenfalls nützlich: Wenn du die Diskriminante berechnet und die Wurzeln gefunden hast – überprüfe die Antwort mit Vieta. Die Summe sollte \(-p\) ergeben, das Produkt \(q\). Eine solche Überprüfung dauert ein paar Sekunden und fängt fast jeden Rechenfehler ab.
Beispiele für Lösungen nach dem Satz von Vieta
Beispiel 1. Wurzelauswahl: beide Wurzeln sind positiv
Löse \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Schritt 1. Die Gleichung ist normiert: \(p = -9\), \(q = 20\).
Schritt 2. Wir prüfen die Diskriminante: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – es gibt zwei Wurzeln.
Schritt 3. Wir schreiben die Beziehungen auf: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Schritt 4. Wir gehen die Zerlegungen von 20 durch: \(1\cdot 20\) (Summe 21), \(2\cdot 10\) (Summe 12), \(4\cdot 5\) (Summe 9) – das letzte Paar passt. Beide Faktoren sind positiv, weil \(q > 0\) und \(p < 0\).
Schritt 5. Überprüfung durch Einsetzen. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Beispiel 2. Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen
Löse \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Schritt 1. Die Gleichung ist normiert: \(p = 3\), \(q = -28\).
Schritt 2. Da \(q < 0\), haben die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen und die Diskriminante ist garantiert positiv: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Schritt 3. Beziehungen: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Schritt 4. Zerlegungen von 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Wir brauchen eine Differenz von 3 – das Paar 4 und 7 passt. Da die Summe negativ ist, nehmen wir die Wurzel mit dem größeren Betrag negativ: \(4\) und \(-7\).
Schritt 5. Überprüfung. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Beispiel 3. Gleichung in allgemeiner Form (a ≠ 1)
Löse \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Schritt 1. Da der Koeffizient \(a = 3\), dürfen die 'kurzen' Formeln \(-p\) und \(q\) nicht angewendet werden. Wir verwenden die allgemeine Form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Schritt 2. Das Produkt ist 1 – das bedeutet, die Wurzeln sind reziprok zueinander: wenn eine gleich \(t\) ist, ist die andere \(\tfrac{1}{t}\). Die Summe \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) deutet auf \(t = 3\) hin, denn \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Schritt 3. Überprüfung durch Einsetzen. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Antwort: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Beispiel 4. Gleichung aus ihren Wurzeln bilden
Aufgabe. Bilde eine normierte quadratische Gleichung, deren Wurzeln \(-4\) und \(6\) sind.
Schritt 1. Wir berechnen Summe und Produkt: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Schritt 2. Nach dem Umkehrsatz von Vieta sind die Koeffizienten \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) und \(q = x_1 x_2 = -24\). Hier liegt die Hauptfalle: \(p\) ist die Summe mit umgekehrtem Vorzeichen.
Schritt 3. Wir schreiben die Gleichung auf: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Schritt 4. Überprüfung durch Einsetzen. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Antwort: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Das gleiche Ergebnis liefert die Zerlegung \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Beispiel 5. Überprüfung einer fremden Antwort nach dem Satz von Vieta
Aufgabe. Ein Schüler hat die Gleichung \(x^2 + 5x + 6 = 0\) gelöst und die Antwort aufgeschrieben: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Überprüfe, ob er sich geirrt hat.
Schritt 1. Nach Vieta müsste gelten \(x_1 + x_2 = -p = -5\) und \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Schritt 2. Bei der vorgeschlagenen Antwort stimmt das Produkt (\(2\cdot 3 = 6\)), aber die Summe nicht: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Die Antwort ist also falsch: das Vorzeichen wurde vergessen.
Schritt 3. Wir suchen das richtige Paar: wir brauchen Zahlen mit dem Produkt 6 und der Summe \(-5\) – das sind \(-2\) und \(-3\) (beide negativ, weil \(q > 0\) und \(p > 0\)).
Schritt 4. Überprüfung durch Einsetzen. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Antwort: Die richtigen Wurzeln sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Häufige Fehler beim Arbeiten mit dem Satz von Vieta
-
Das Minuszeichen bei der Summe wird vergessen: es wird $x_1 + x_2 = p$ statt $x_1 + x_2 = -p$ geschrieben.
Das Minuszeichen steht nur bei der Summe, das Produkt wird mit dem gleichen Vorzeichen genommen: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Überprüfe dies an der einfachen Gleichung \(x^2 - 5x + 6 = 0\): hier ist \(p = -5\), die Summe der Wurzeln ist \(5\), und die Wurzeln sind tatsächlich 2 und 3.
-
Die Formeln $-p$ und $q$ werden auf eine nicht-normierte Gleichung angewendet: für $2x^2 - 9x + 4 = 0$ wird gesagt 'Summe 9, Produkt 4'.
Solange \(a \neq 1\), gelten die Formeln der allgemeinen Form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Die Wurzeln hier sind 4 und \(\tfrac{1}{2}\), nicht 4 und 1. Oder teile zuerst die gesamte Gleichung durch \(a\).
-
Es werden Wurzeln erraten, ohne die Diskriminante zu prüfen: bei $x^2 + x + 1 = 0$ versucht man, ein Zahlenpaar mit der Summe $-1$ und dem Produkt $1$ zu finden.
Stelle zuerst sicher, dass Wurzeln existieren: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), es gibt keine reellen Wurzeln, Raten ist unmöglich. Der Satz von Vieta gilt nur bei \(D \ge 0\).
-
Es wird nur nach dem Produkt ein Paar erraten, ohne die Summe zu prüfen: für $x^2 - 8x + 12 = 0$ werden 3 und 4 genommen, weil ihr Produkt 12 ist.
Beide Beziehungen müssen gleichzeitig geprüft werden. Für \(x^2 - 8x + 12 = 0\) ergeben sich die Paare (1; 12), (2; 6), (3; 4) für das Produkt 12, aber nur das Paar 2 und 6 für die Summe 8. Überprüfung: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) und \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Beim Bilden einer Gleichung aus den Wurzeln wird $p$ gleich der Summe genommen: für die Wurzeln 2 und 5 wird $x^2 + 7x + 10 = 0$ geschrieben.
Der Koeffizient \(p\) ist gleich der Summe mit umgekehrtem Vorzeichen: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), also \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Das Einsetzen bestätigt: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Es wird angenommen, dass der Satz von Vieta nur für ganze Wurzeln gilt, und er wird nicht zur Überprüfung der Antwort verwendet.
Die Beziehungen \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 x_2 = q\) gelten für alle reellen Wurzeln – ganze, gebrochene und irrationale. Das mündliche Raten ist nur für ganze Zahlen praktisch, für andere bleibt der Satz eine schnelle Methode zur Überprüfung einer nach der Diskriminante gefundenen Antwort.
Fragen und Antworten
Wie lautet der Satz von Vieta in einfachen Worten?
Wenn eine normierte quadratische Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) Wurzeln hat, dann ist ihre Summe gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und ihr Produkt ist gleich dem konstanten Glied: \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 x_2 = q\).
Wie groß sind die Summe und das Produkt der Wurzeln der Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$?
Für eine Gleichung in allgemeiner Form ist die Summe der Wurzeln \(-\dfrac{b}{a}\) und das Produkt \(\dfrac{c}{a}\). Diese Formeln ergeben sich aus dem normierten Fall durch Division der gesamten Gleichung durch \(a\).
Worin unterscheidet sich der Umkehrsatz von Vieta vom direkten Satz?
Der direkte Satz geht von den Wurzeln zu den Koeffizienten: wenn die Wurzeln bekannt sind, erhalten wir die Summe \(-p\) und das Produkt \(q\). Der Umkehrsatz geht umgekehrt: wenn ein Zahlenpaar die gewünschte Summe und das gewünschte Produkt ergibt, dann sind diese Zahlen die Wurzeln der Gleichung. Gerade der Umkehrsatz erlaubt es, Gleichungen durch Raten zu lösen.
Wie errät man die Wurzeln nach dem Satz von Vieta?
Bringe die Gleichung in die Form \(x^2 + px + q = 0\), stelle sicher, dass \(D \ge 0\), schreibe \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 x_2 = q\) auf, gehe die Zerlegungen von \(q\) in Zahlenpaare durch und wähle das Paar aus, dessen Summe \(-p\) ist. Zum Beispiel sind für \(x^2 + 6x + 8 = 0\) Zahlen mit dem Produkt 8 und der Summe \(-6\) gesucht – das sind \(-2\) und \(-4\).
Gilt der Satz von Vieta, wenn der Koeffizient von $x^2$ nicht eins ist?
Ja, aber in der allgemeinen Form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Die kurzen Formeln \(-p\) und \(q\) gelten nur für die normierte Gleichung, daher wird bei \(a \neq 1\) die Gleichung zuerst durch \(a\) geteilt.
Was tun, wenn die Wurzeln nach dem Satz von Vieta nicht zu erraten sind?
Das bedeutet, die Wurzeln sind keine ganzen Zahlen oder existieren gar nicht. Berechne die Diskriminante: bei \(D < 0\) gibt es keine reellen Wurzeln, und bei \(D \ge 0\) finde die Wurzeln mit der Formel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) und überprüfe dann die Antwort mit dem Satz von Vieta.
Wie bestimmt man die Vorzeichen der Wurzeln, ohne die Gleichung zu lösen?
Nach den Vorzeichen von \(p\) und \(q\) bei \(D \ge 0\): wenn \(q > 0\) und \(p < 0\) – beide Wurzeln sind positiv; wenn \(q > 0\) und \(p > 0\) – beide Wurzeln sind negativ; wenn \(q < 0\) – die Wurzeln haben unterschiedliche Vorzeichen; wenn \(q = 0\) – eine der Wurzeln ist Null.
In welcher Klasse wird der Satz von Vieta behandelt?
In der 8. Klasse im Algebraunterricht, direkt nach quadratischen Gleichungen und der Diskriminante. Weiterhin wird er bei der Zerlegung von quadratischen Trinomien in Faktoren \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), bei der Untersuchung von Wurzeln mit Parametern und in Aufgaben der OGE und ЕГЭ verwendet.
